魯棒多目標優(yōu)化問題的最優(yōu)性和對偶性

周俊屹，鄭 霜

(重慶師范大學 數(shù)學科學學院，重慶 401331)

0 引 言

眾所周知，在經(jīng)濟管理、工程設計、生態(tài)保護與道路交通運輸?shù)阮I(lǐng)域中，存在著大量的多目標優(yōu)化問題。自20世紀70年代以來，關(guān)于多目標優(yōu)化理論與方法的研究已有大量重要而基礎的研究成果[1-3]。又由于真實世界中多目標優(yōu)化問題的數(shù)據(jù)通常是不確定的，因此研究不確定型魯棒多目標優(yōu)化問題就有了十分重要的理論意義與應用價值，其中魯棒多目標優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件和對偶性也受到了研究者們的廣泛關(guān)注。

2013年，Chuong等人[4]考慮了非光滑半無限多目標優(yōu)化問題，提出了一類根據(jù)局部 Lipschitz 函數(shù)極限次微分的廣義凸和嚴格廣義凸函數(shù)，研究了在廣義凸和嚴格廣義凸下有效解和弱有效解的充分條件，并且探索了在廣義凸和嚴格廣義凸下的弱對偶性和強對偶性；2016年，Chuong[5]考慮不確定魯棒多目標優(yōu)化問題，基于Ehrgott等人提出的魯棒有效解。在廣義凸性下，建立了局部魯棒Pareto有效解和局部魯Pareto弱有效解的一些最優(yōu)性條件，表述了魯棒多目標優(yōu)化問題的對偶問題，探索廣義凸性下的弱對偶性和強對偶性。

受文獻[4-5]研究工作的啟示，利用極限法錐和極限次微分，進一步在廣義偽凸和嚴格廣義偽凸的條件之下研究了一類魯棒有效解的一些最優(yōu)性條件和強弱對偶性。

1 預備知識

為了得到結(jié)論，首先給出一些基本記號和基本定義。序關(guān)系在多目標優(yōu)化問題研究中扮演了十分基礎且重要的作用[6]，一般采用下面空間中序關(guān)系：

Rp空間的一些常用子集定義：

的正象限。

設Rni是歐氏空間且Ωi是Rni的非空緊子集，其中?i∈(1，...，l)，ni∈N：={1，2，...，q}。

考慮以下形式的多目標優(yōu)化問題

(UP)minf(x)

s.t.gi(x，wi)≤0，i=1，...，l，

其中x∈Rn是決策變量，wi∈Ωi是不確定參數(shù)，gi：Rn×Ωi→R，i=1，...，l是給定的函數(shù)。

對于研究的問題(UP)，通常有與之相關(guān)的魯棒對應

(RP)minf(x)

s.t.x∈C，

其中可行集C定義為

C：={x∈Rn|gi(x，wi)≤0，?wi∈Ωi，i=1，...，l}

(1)

(2)

將問題(UP)的局部魯棒Pareto(弱)有效解解集定義為locS(RP)(locSw(RP))。

定義中，若U=Rn，則問題(UP)的魯棒Pareto(弱)有效解解集定義為S(RP)(Sw(RP))。

使得

(3)

2 主要結(jié)果

2.1 魯棒多目標問題的最優(yōu)性條件

為了刻畫問題(UP)的魯棒Pareto(弱)有效解的充分條件，需要首先給出(f，g)在某一給定點處廣義偽凸和嚴格廣義偽凸的定義如下。

使得

(4)

(5)

因此

(6)

這必然能夠推出存在k0∈{1，...，m}，使得

(7)

(8)

因此

2.2 魯棒對偶問題的最優(yōu)性條件

這一部分，首先給出定義并建立魯棒多目標優(yōu)化問題的對偶問題，再在廣義偽凸和嚴格廣義偽凸的條件之下探索強弱對偶性。

與魯棒多目標優(yōu)化問題(RP)相關(guān)，下面是對偶魯棒多目標優(yōu)化問題

s.t.(z，λ.μ)∈CD

對偶問題(RD)的(局部)魯棒(弱)有效解的定義類似于定義2，將對偶問題(RD)的魯棒Pareto(弱)有效解解集記作(Sw(RD))S(RD)。

定理2 (弱魯棒對偶性)令x∈C和(z，λ，μ)∈CD。

(Ⅰ)若(f，g)在z處是廣義偽凸的，則

(Ⅱ)若(f，g)在z處是嚴格廣義偽凸的，則

(9)

(10)

因x∈C，由式(10)可以得到

與式(9)矛盾故(Ⅰ)得證。

再證明(Ⅱ)。反證：假設

(11)

(12)

式(11)意味著x≠z,若x=z，則

由式(11)推出

這是不可能的。因為x∈C可以推出

因為x∈C因而可以得到

與式(12)矛盾。故(Ⅱ)得證。

定理3 (強魯棒對偶性)

(13)

(14)

故

(Ⅱ)中(f，g)在任意點z∈Rn處是嚴格廣義偽凸的，由定理2的(Ⅱ)則有