基于自適應梯度先驗的旋轉模糊圖像復原算法

王新春， 王隆隆， 莫波， 劉福祥， 亓賀

(1.北京理工大學 宇航學院, 北京 100081; 2.北京航天自動控制研究所 宇航智能控制技術國家級重點實驗室, 北京 100081)

0 引言

彈載紅外成像系統(tǒng)隨彈體作高速旋轉運動時，由于在曝光時間內目標場景與成像傳感器之間產(chǎn)生較大的旋轉角度，導致所獲取的圖像存在嚴重旋轉模糊，對后續(xù)的目標識別與圖像跟蹤工作造成極大困擾。因此，有效地快速復原旋轉運動模糊圖像具有很重要的現(xiàn)實意義。

旋轉運動模糊是一種空間非均勻的運動模糊形式，其模糊程度隨旋轉半徑的增大而加劇。針對這一問題，Sawchuk[1]通過極坐標變換，將直角坐標系下的旋轉運動模糊變?yōu)闃O坐標系下旋轉角方向的平移運動模糊來進行恢復處理，但由于過程中反復進行坐標變換和灰度插值，算法的計算量相對較大且容易丟失原始圖像信息。Joshi等[2]、Gupta等[3]對相機動作路徑進行分解并構造相應的高維稀疏矩陣，將非均勻運動模糊過程模擬為高維稀疏矩陣和圖像向量的乘積。通過迭代求解稀疏矩陣和清晰圖像的最大后驗概率分布函數(shù)，該方法可以取得非常好的復原效果。但是，由于在每一次迭代優(yōu)化過程中需要存儲和處理超高維度的稀疏矩陣，導致該算法計算耗時過長且內存占用過量，很難在工程實際中得到應用。目前，工程上常采用沿模糊路徑像素提取的快速復原方法。如Hong等[4]基于Bresenham 路徑提取空間不變的模糊像素，避免了坐標變換的復雜運算，同時使用約束最小二乘復原算法提高了圖像的恢復效果，缺點是由于假設相鄰像素差分極小，算法對圖像邊緣的復原存在著過正則化的問題。Zheng等[5]在相同算法提取像素的基礎上，通過剔除頻率域下模糊矩陣的“病態(tài)成分”，改進維納濾波方法，避免了復原過程的過正則化問題，缺點是由于改進的維納濾波仍需要噪聲的先驗信息，導致圖像的復原結果對噪聲變化比較敏感。羅院紅等[6]利用最小偏差圓弧插補算法提取模糊路徑像素，并通過方向約束的梯度加載復原算法提高算法的抗噪能力，但與約束最小二乘復原算法類似，該算法在圖像邊緣復原中同樣存在著過正則化問題。以上方法存在的缺陷都可認為是由于復原方法對圖像先驗信息利用不足而導致的。

鑒于正則化方法在利用圖像先驗信息作為約束項，克服圖像復原病態(tài)特性的良好應用[7-9]，本文摒棄相鄰像素差分極小的假設，引入圖像微分先驗，提出一種新的基于自適應梯度先驗的旋轉模糊圖像復原算法。該算法在沿運動模糊路徑初步復原圖像的基礎上，通過設計邊緣保持濾波器、梯度先驗估計方法來估計圖像的輪廓信息，并將其作為梯度先驗知識進行正則化約束，有效地抑制了復原的過正則化問題，提高了復原結果的抗噪能力。同時，經(jīng)過推導該算法可以實現(xiàn)頻域下求解，大幅提升了運算速度，為其在工程應用提供了可能。

另外，由于當以不同半徑圓循環(huán)提取圖像中像素時，一部分像素不能被任何圓形路徑覆蓋，導致復原圖像中必然出現(xiàn)空穴點。對于此問題，本文改進高密度椒鹽噪聲的消除算法[10-11]，設計提出了一種新的專門針對Bresenham算法空穴點的自適應中值濾波算法。與文獻[4-6]中采用的中值濾波或鄰域求均值的方法相比，該算法只是針對像素中的空穴點進行自適應的梯度濾波，避免了圖像被過度平滑的問題，同時由于被處理像素數(shù)量的減少，插值效率也得以提升。

1 旋轉模糊圖像退化模型

電荷耦合器件(CCD)圖像傳感器的成像過程其實就是場景能量在曝光時間內，在CCD像平面的積累過程，而旋轉運動造成的圖像模糊則相應地可以認為是原始圖像的像素灰度沿一系列同心圓弧積分的結果[12]。設原始圖像為f(x,y)，旋轉模糊圖像為g(x,y)，則在曝光時間T內，實際采集的模糊圖像g(x,y)與原圖像f(x,y)的關系可表述為

(1)

采用極坐標的形式表示為

(2)

將(2)式中r用下標表示，并令s=rωt，ar=rωT，l=rθ，則(2)式可用一維形式表示為

(3)

為了在離散情況下考慮旋轉運動模糊圖像的復原問題，將(3)式進行離散化，用離散坐標i來表示l，有

(4)

式中：gr(i)和fr(i)分別為半徑為r的圓周上像素的模糊灰度值和原始灰度值序列，其周期為Nr，Nr為圓周上像素的總數(shù)；ar為模糊長度，用像素個數(shù)表示，ar≥1.

定義對應半徑為r時的一維點擴散函數(shù)，

(5)

則(4)式可用離散卷積的形式統(tǒng)一表示為

(6)

(6)式即為旋轉運動模糊圖像在半徑為r圓周上的退化模型。從模型可以看出，原始圖像像素灰度值沿以旋轉中心為圓心的一系列同心圓路徑在像平面內進行模糊，且同一圓周上各像素灰度的模糊路徑是空間不變的，即具有相同的模糊長度和相同的點擴散函數(shù)，如圖1所示。因此，旋轉運動模糊圖像的復原問題可以分解成一系列以同心圓路徑(模糊路徑)為局部域的模糊一致的線性復原問題。

圖1 旋轉運動模糊路徑示意圖Fig.1 Blurring path of rotary motion

2 基于自適應梯度先驗的復原算法

將(6)式的旋轉模糊退化模型寫成矢量方程的形式：

g=Hf+η,

(7)

式中：g=[gr(0),gr(1),…,gr(Nr-1)]T為模糊圖像灰度值序；f=[fr(0),fr(1),…,fr(Nr-1)]T為原始圖像灰度值序列；H為由點擴散函數(shù)hr(i)構成的Nr×Nr循環(huán)矩陣，其元素值以及階數(shù)隨模糊路徑的不同而發(fā)生變化，且H大多數(shù)情況下是不可逆的。這導致圖像復原問題通常具有病態(tài)特性，不能直接對其逆過程進行求解。

從正則化方法的角度出發(fā)，這類逆問題的求解可以通過加入合適的正則項來約束解空間，將上述不適定問題改變?yōu)檫m定問題：

(8)

本文引入圖像梯度的稀疏先驗信息，定義正則化項和正則化參數(shù)為

(9)

式中：w(1)和w(2)分別為圖像1階梯度和2階梯度的先驗序列；λ(1)和λ(2)為其相應的加權比例系數(shù)。將(9)式代入到(8)式，有

(10)

對目標函數(shù)J(f)關于f求偏導，并令其等于0，

(11)

可得，

(12)

(13)

(14)

(13) 式、(14)式給出了一種基于圖像微分先驗的模糊圖像快速復原算法。然而，由于在實際復原過程中，原始圖像微分信息并不是已知的，導致該算法不能被直接使用。這里，本文提出一種新的基于自適應梯度先驗的復原算法，它包括圖像初步復原—邊緣保持濾波—梯度先驗估計—圖像最終復原4個步驟，具體如下。

2.1 圖像初步復原

設w(1)=0,w(2)=0，此時是將相鄰像素的差分極小作為空間相關的約束條件，相應的復原方程退化為

(15)

2.2 邊緣保持濾波

(16)

式中：k為反饋系數(shù)；u為兩個相鄰像素在轉換域之間的距離[14]。

2.3 梯度先驗估計

(17)

2.4 圖像最終復原

對估計得到的先驗項w(1)、w(2)進行傅里葉變換，代入(13)式、(14)式，得到最終圖像復原結果。

3 基于查表決策的自適應中值濾波算法

為實時復原旋轉運動模糊圖像，在使用上述復原算法前，必須首先快速提取出沿模糊路徑上各像素點的灰度信息。本文采用Bresenham路徑提取方法，通過簡單的誤差判斷對原像平面進行畫圓掃描，提取得到位于特定圓弧路徑上的像素點及其像素值。該方法可保證提取出的離散圓弧，在位置上是最佳逼近理想圓弧，各對應像素點的最大位置誤差不超過0.5個像素，并且由于過程中避開了三角函數(shù)、開方等復雜運算，像素提取的在線計算時間大幅減少。

但是，當以不同半徑的Bresenham路徑提取圖像中像素時，一部分像素不能被任何圓形路徑覆蓋，導致最終復原圖像中必然會出現(xiàn)空穴點，如圖2(a)所示。這些空穴點處的像素灰度值為0，可以被視為椒鹽噪聲，采用傳統(tǒng)中值濾波或鄰域求均值的方法來進行消除。但這一過程同時會使其他像素點的圖像信息過度平滑，導致細節(jié)丟失。這里，本文提出了一種基于查表決策的梯度自適應中值濾波算法。該算法通過對空穴點像素進行查找、分類，并進行自適應的梯度濾波處理，避免了非空穴點像素的過度平滑問題，同時，由于被處理像素數(shù)量的減少，算法的計算量小，運算效率高。

圖2 Bresenham路徑提取導致的像素空穴點分布圖Fig.2 Distribution diagram of missing pixels (holes) caused by Bresenham circular fetching

該算法計算過程主要由裁剪圖像空穴點和自適應中值濾波兩部分組成。具體如下：

1)遍歷查找空穴點像素位置，并根據(jù)其鄰域內的空穴點分布狀況對其進行分類。由于像素空穴點的分布完全取決于Bresenham畫圓算法，與圖像自身的內容無關，如圖2(b)所示。因此，這一過程可以離線計算，計算結果預存于內存單元。實際實驗中，為保證鄰域內像素之間具有較高的相關性，選用3×3的窗口大小對空穴點像素進行分類，分類結果如圖3所示。

圖3 圖像空穴點分布情況歸類統(tǒng)計Fig.3 Distribution statistics of missing pixels (holes)

圖3中，黑色方格表示中心空穴點像素，紅色方格和橙色方格表示其鄰域內必然存在和可能存在的其他空穴點像素。

2)使用查表法，在相應的空穴點像素位置上進行自適應中值濾波操作。算法步驟如表1所示。

表1 自適應中值濾波算法步驟

圖4 以空穴點為中心的3×3窗口示意圖Fig.4 3×3 window of missing pixels

4 實驗結果及分析

4.1 復原效果評價指標

除了直觀的視覺圖像復原效果，本文采用峰值信噪比(PSNR)、信噪比改善因子(ISNR)及均方根誤差(RMSE)作為客觀評價指標來評價圖像復原前后的效果。PSNR，ISNR及RMSE定義分別為

(18)

(19)

(20)

式中：M、N分別為圖像的長和寬。

一般說來，PSNR和ISNR數(shù)值越大，RMSE數(shù)值越小，則說明圖像的復原效果越好，反之則說明復原效果越差。

4.2 仿真圖復原效果比較

本文提出的自適應梯度先驗復原算法是一種基于模糊路徑提取的快速復原方法。首先，為驗證其快速性，本文測試對比了該方法與Sawchuk[1]的極坐標轉換復原(CTR)方法、Joshi等稀疏矩陣復原方法的圖像復原效果和算法耗用時長。測試所用圖像由旋轉角度為15°的模糊退化圖像疊加信噪比為40 dB的高斯白噪聲而得，大小為145×145像素，計算機配置為Intel(R) Core(TM) i5-4200H 2.80 GHz，RAM 8.00 GB. 仿真對比結果如表2所示。

從表2可以看出：本文所提出的復原算法取得了不錯的復原效果，PSNR 和ISNR 值都比較高，耗用時長也相對較小，基本能達到工程應用的實時性要求；極坐標復原方法進行了兩次坐標變換和兩次灰度插值，耗用時間相對較長，且由于離散過程極坐標的統(tǒng)一量化，導致圖像外緣信息部分丟失，再次插值后復原圖像出現(xiàn)一定程度的模糊問題；Joshi等[2]的復原方法通過對目標函數(shù)的迭代優(yōu)化可以取得極好的復原效果，復原圖像PSNR超過了30 dB，但由于迭代過程反復處理超高維的稀疏矩陣導致計算量過大，算法處理時間將近1 h ，基本無工程應用價值。

其次，考慮到環(huán)境噪聲變化對復原算法的影響，本文對模糊退化圖像疊加不同信噪比高斯噪聲進行仿真實驗。實驗所用圖像大小為435×435像素，模糊角度15°，信噪比分別為40 dB、30 dB、20 dB. 為突出本文算法的魯棒性和抗噪能力，本文算法與文獻[4-5，7]中的復原算法進行了實驗對比，對比的圖像復原效果及評價指標如表3～表5所示。

表2 不同類別圖像復原算法的復原過程及效果比較

Tab.2 Restoration process and effect comparison of different types of image restoration algorithms

表3 不同噪聲條件下的各算法圖像復原效果

從表3～表5可以看到：采用文獻[7]中梯度加載算法得到的復原圖像存在明顯的振鈴效應，且這一現(xiàn)象隨信噪比的降低而加劇，在信噪比為20 dB時，復原圖像已基本不能識別，ISNR<0 dB；與之相比，由文獻[4]中約束最小二乘算法得到的復原圖像有了明顯改善，PSNR和ISNR值有所提升，但其在低信噪比情況下仍存在一定程度的振鈴效應；文獻[5]中的維納濾波算法剔除了頻率域下模糊矩陣的“病態(tài)成分”，削弱了復原圖像的振鈴效應，但由于仍需要噪聲先驗，在給定濾波系數(shù)條件下對變化噪聲的抑制能力較弱，且復原圖像存在過度平滑，細節(jié)丟失的問題；本文算法在20 dB、30 dB、40 dB信噪比條件下都相對較好地復原了圖像中的細節(jié)信息，并且由于合理估計并使用了圖像梯度的先驗信息，有效地減弱了復原圖像的振鈴效應，PSNR和ISNR值也明顯超出其他3種算法，這說明本文復原算法具有較強的抗噪能力。

表4 不同噪聲條件下的復原圖像PSNR值

表5 不同噪聲條件下的復原圖像ISNR值

最后，為檢驗本文算法對不同旋轉角度模糊圖像的復原能力，本文設計了一系列不同旋轉角度的模糊圖像進行復原，并計算不同噪聲條件下各復原圖像的RMSE. 圖5為信噪比分別為20 dB、30 dB、40 dB時復原圖像RMSE隨旋轉角度的變化曲線。

圖5 不同噪聲條件RMSE隨旋轉角度的變化曲線Fig.5 RMSE versus rotational angle under different SNRs

一般說來，當RMSE>24時，復原圖像的視覺效果非常差[4]。以此為臨界條件，可以仿真計算不同噪聲條件下，復原算法所能承受的最大旋轉角度。從圖5可以看出，本文復原算法在20 dB信噪比條件下可以復原最大旋轉角度為35°的模糊圖像，而當信噪比為40 dB和60 dB時，可復原模糊圖像的最大旋轉角度將超過60°，基本可覆蓋工程應用中絕大部分的高速旋轉運動模糊問題。圖6為不同復原算法在信噪比為20 dB條件下，復原圖像RMSE的對比曲線。從圖6可以看出，相比于文獻[4-5，7]中的復原算法，本文提出的算法可解決更大旋轉角度模糊的圖像復原問題，這表明本文算法具有更強的魯棒性和適應能力。

圖6 不同復原算法的RMSE隨旋轉角度的變化曲線Fig.6 RMSE versus rotational angle

4.3 實際復原效果

在實際模糊圖像中，像素的模糊運動模型和干擾噪聲與理論分析存在較大差異，為驗證本文復原算法的實際可行性，本文將工業(yè)CCD相機固定到轉速可調的旋轉運動模擬平臺，以采集的實際模糊圖像對算法進行復原測試。算法所需的圖像旋轉中心可使用激光輔助確定，旋轉角度信息則由CCD相機曝光時間和平臺轉速相乘而得。測試的圖像復原效果如圖7所示。圖7(a)為實際采集的模糊圖像，圖7(d)為其最終的復原圖像，通過這兩幅圖的對比可以看到，盡管在復原圖像的邊緣出現(xiàn)一定程度的振鈴效應和細節(jié)模糊問題(由旋轉圓心不穩(wěn)定、旋轉角度存在誤差、圖像噪聲非高斯、模糊模型不匹配等因素導致)，但圖形主體部分，如變形的支架、邊緣處模糊的旋翼均得到了一定程度的復原，這表明本文提出的算法可用于實際旋轉模糊圖像的復原，具有一定的工程應用價值。

圖7 實際旋轉模糊圖像復原效果Fig.7 Restored results of actual rotary blurred image

5 結論

針對彈載紅外成像系統(tǒng)隨彈體作高速旋轉運動時圖像存在的旋轉模糊問題，本文提出了一種基于自適應梯度先驗的旋轉模糊圖像復原算法。該算法首先對初步復原圖像進行邊緣保持濾波及降噪處理，估計出原始圖像的輪廓信息；然后將其作為梯度先驗知識進行正則化約束，對模糊圖像展開反卷積復原；最后，采用設計提出的自適應中值濾波算法對復原圖像的空穴點進行插值，避免復原圖像的過度平滑問題。通過仿真實驗對比了本文算法與其他復原算法的結果，對比分析結果表明：本文提出的復原算法實時性好，魯棒性強，可適應更強的噪聲條件和較大的旋轉角度；同時，圖像復原結果在噪聲抑制、細節(jié)復原及削弱振鈴效應方面也具有突出的優(yōu)越性；對現(xiàn)實中采集的旋轉模糊圖像，本文算法實現(xiàn)了較大程度的復原，具有重要的工程應用價值。