傾斜巖面樁樁端豎向承載力計(jì)算方法

孫義舟，童建富，齊添，孫宏磊，蔡袁強(qiáng)

(1.浙江大學(xué)濱海和城市巖土工程研究中心，浙江杭州，310058；2.浙江金瑞建筑設(shè)計(jì)院有限公司，浙江杭州，310003；3.廣州環(huán)保投資集團(tuán)有限公司，廣東廣州，510330)

隨著我國(guó)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的全面開(kāi)展，許多公路需要在山區(qū)修建。山區(qū)巖體狀況復(fù)雜，許多樁基需要修建在傾斜的基巖巖面上，按照水平巖層分布進(jìn)行設(shè)計(jì)比較危險(xiǎn)，而增大嵌入比則會(huì)增大工程造價(jià)，同時(shí)給施工帶來(lái)困難。對(duì)于嵌巖樁而言，樁端承載是其主要承載形式，因此，對(duì)傾斜巖面樁豎向樁端承載能力的評(píng)價(jià)與破壞機(jī)理的分析對(duì)工程建設(shè)有著重要意義。針對(duì)傾斜巖面嵌巖樁承載特性，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者從不同方面展開(kāi)了試驗(yàn)研究和理論分析。陳帝江[1]從理論分析角度對(duì)比研究了平坡樁基與斜坡樁基豎向承載機(jī)理的異同，并利用有限元軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬。葛嘉誠(chéng)等[2]利用克里格插值法對(duì)貴州某峽谷區(qū)斜坡基巖嵌巖樁進(jìn)行空間分析，認(rèn)為斜坡嵌巖樁的承載性能受嵌入度和基巖傾角影響。上述研究成果對(duì)傾斜巖面嵌巖樁的承載機(jī)理進(jìn)行了定性分析，但具體理論和數(shù)值定量求解還尚未完善，因此，一些學(xué)者通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)建立理論框架，對(duì)斜坡樁基承載機(jī)理進(jìn)行深入分析。楊明輝等[3]采用冪級(jí)數(shù)解得到了斜坡樁的內(nèi)力與位移分析方法。張洪波[4]研究了陡坡橋梁樁基的承載機(jī)理及荷載豎向傳遞機(jī)理。程劉勇等[5]總結(jié)了斜坡樁基豎向極限承載力的變化規(guī)律及其影響因素。MUTHUKKUMARAN等[6]通過(guò)室內(nèi)模型試驗(yàn)研究了斜坡地基中單樁水平受荷的承載機(jī)理。趙明華等[7-8]揭示了考慮陡坡效應(yīng)和嵌固深度效應(yīng)的高陡坡樁柱式橋墩的承載機(jī)理并提出適用于工程的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，在此基礎(chǔ)上，楊超煒等[9]推導(dǎo)了具有“P-Δ”效應(yīng)的陡坡雙樁結(jié)構(gòu)分析方法。為更清晰表述破壞的開(kāi)展和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，應(yīng)用滑移線場(chǎng)理論求解斜坡嵌巖樁豎向承載力和承載機(jī)理是一種十分重要的手段。SERRANO等[10]引入瞬時(shí)內(nèi)摩擦角，提出了基于滑移線場(chǎng)Riemann常量和Hoek-Brown非線性破壞準(zhǔn)則[11]的嵌巖樁荷載系數(shù)。SERRANO等[12]將該方法與FLAC軟件數(shù)值分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。傾斜巖面樁基豎向承載機(jī)理和承載力計(jì)算的研究多針對(duì)數(shù)值模擬和試驗(yàn)研究方面，而利用滑移線場(chǎng)理論求解是一種概念清晰且直觀的方式，有必要對(duì)此開(kāi)展研究。本文作者根據(jù)水平巖面樁基滑移線求解理論[10]，基于Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則[11]和Meyerhof塑性理論[13]，建立傾斜巖面樁樁端豎向承載模型，研究巖面傾角、樁嵌入比等因素對(duì)樁端承載力的影響，總結(jié)了傾斜巖面樁基樁端豎向承載力計(jì)算方法，以期為相關(guān)工程設(shè)計(jì)和理論研究提供參考。

1 計(jì)算模型與假設(shè)

由于巖面傾斜導(dǎo)致的樁側(cè)巖體非對(duì)稱分布，缺失巖體部分的樁前區(qū)域首先發(fā)生破壞，從而使得傾斜巖面樁極限承載力由單側(cè)破壞標(biāo)準(zhǔn)來(lái)確定，破壞模型如圖1所示，其中，η為巖面傾斜角度；α為滑動(dòng)破壞面與水平面夾角，轉(zhuǎn)角取逆時(shí)針為正；σv為上覆壓力；HS為樁在土體中長(zhǎng)度；HR為樁端嵌入巖體的深度；B為樁徑。

根據(jù)MEYERHOF[13]提出的基礎(chǔ)破壞模型和理想塑性理論，首先建立直徑為B的樁嵌入傾斜巖面的平面應(yīng)變分析模型。嵌入比其中，為樁前一側(cè)嵌入深度。采用文獻(xiàn)[10]中方法對(duì)帶星號(hào)參數(shù)進(jìn)行量綱一化，用不帶星號(hào)的符號(hào)表示。

圖1 破壞狀態(tài)示意圖Fig.1 Schematic graph of state of destruction

1.1 基本假設(shè)與破壞標(biāo)準(zhǔn)

1.1.1 基本假設(shè)

采用水平巖面樁基滑移線求解理論[10]假設(shè)：

1)計(jì)算采用平面應(yīng)變假定；

2)巖體無(wú)黏聚力，均質(zhì)且各向同性，視巖體為遵循Hoek-Brown準(zhǔn)則的C-φ材料；當(dāng)應(yīng)力達(dá)到Hoek-Brown的強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，判定巖體破壞，達(dá)到極限承載力，并假定巖體的變形不經(jīng)歷應(yīng)變硬化過(guò)程；

3)破壞區(qū)域假設(shè)，根據(jù)MEYERHOF[13]提出的滑移線場(chǎng)確定樁端破壞區(qū)域；

4)滑移線場(chǎng)假設(shè)，應(yīng)力和應(yīng)變的滑移線場(chǎng)相同。

1.1.2 Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則

Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則[11]是一種用于研究巖體力學(xué)特性十分有效的經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)則，其表達(dá)式如下：

式中：為大主應(yīng)力；為小主應(yīng)力；σC為完整巖體的無(wú)側(cè)限抗壓強(qiáng)度；m和s為Hoek-Brown理論的巖石特性參數(shù)，分別代表巖體的軟硬程度和破碎程度，可通過(guò)巖石類型m0和地質(zhì)力學(xué)指數(shù)R或Hoek-Brown理論(1997版)的GSI指數(shù)[14]得到：

根據(jù)Hoek-Brown理論[14]，當(dāng)天然巖體未擾動(dòng)時(shí)，a=28，b=9。

1.2 應(yīng)力參數(shù)與瞬時(shí)內(nèi)摩擦角

根據(jù)SERRANO等[15]提出的簡(jiǎn)化過(guò)程，采用平均應(yīng)力p*和應(yīng)力圓半徑q*替代和可得

式中:β為強(qiáng)度模量，ξ為巖石的抗拉強(qiáng)度，。

為簡(jiǎn)化表達(dá)Hoek-Brown準(zhǔn)則，對(duì)p*和q*進(jìn)行量綱一化，式(4)可以寫成

根據(jù)SERRANO等[15]定義巖石瞬時(shí)內(nèi)摩擦角ρ為

量綱一化參數(shù)q和p可采用瞬時(shí)內(nèi)摩擦角表示：

在應(yīng)力坐標(biāo)系中，量綱一的Mohr應(yīng)力圓坐標(biāo)可表示為瞬時(shí)內(nèi)摩擦角ρ的函數(shù)：

根據(jù)上述Mohr應(yīng)力圓坐標(biāo)表示形式，瞬時(shí)內(nèi)摩擦角可表示為

1.3 計(jì)算方法

1.3.1 計(jì)算模型

在平面應(yīng)變假設(shè)下，極限承載力σh垂直于作用樁底面(邊界2)，滑動(dòng)面(邊界1)與水平面夾角定義為角度α，樁端應(yīng)力關(guān)系如圖2所示。

圖2 滑移線場(chǎng)的應(yīng)力關(guān)系示意圖Fig.2 Schematic graph of stress relation of slip line field

1.3.2 假定滑動(dòng)面

為方便分析，假定滑動(dòng)面傾角α為已知，以覆蓋層壓力hm為計(jì)算的切入點(diǎn)，首先計(jì)算OCD三角形區(qū)域的質(zhì)量W*：

式中：α為滑動(dòng)面傾角；γR為巖體重度。

巖石自重部分的平均上覆壓力hmR為

考慮土體自重：

式中：γS為土體重度。

對(duì)于與邊界1平行的應(yīng)力分量t1及垂直的應(yīng)力分量s1，有：

應(yīng)力圓示意圖如圖3所示，其中，G圓代表大主應(yīng)力圓，S圓代表小主應(yīng)力圓，P為邊界1上的點(diǎn)。由圖3可知：可能存在2種類型的上覆壓力，即被動(dòng)壓應(yīng)力和主動(dòng)壓應(yīng)力；當(dāng)hm小于巖石無(wú)側(cè)限抗壓強(qiáng)度σcm時(shí)，邊界1上的應(yīng)力條件可能出現(xiàn)在應(yīng)力圓上的任何位置；當(dāng)hm大于σcm時(shí)，邊界1的應(yīng)力條件僅可能出現(xiàn)在應(yīng)力圓的部分區(qū)域，其中，位于TL1和之間的應(yīng)力因超過(guò)破壞標(biāo)準(zhǔn)故不存在，位于和0之間的潛在應(yīng)力條件在實(shí)際中也不會(huì)出現(xiàn)。

圖3 應(yīng)力圓示意圖Fig.3 Schematic graph of stress circle

在實(shí)際中，小主應(yīng)力圓的狀態(tài)較為常見(jiàn)，最具有研究意義，故本文僅對(duì)的情況進(jìn)行分析。

對(duì)于巖面傾斜的情況，傾角α可能為負(fù)(逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為正)，應(yīng)力條件仍可在應(yīng)力坐標(biāo)系中表示出來(lái)，相應(yīng)的應(yīng)力方向和強(qiáng)度準(zhǔn)則的判定則隨傾角α的正、負(fù)而直接改變，Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則包線以應(yīng)力坐標(biāo)系橫軸σ為對(duì)稱軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn)。

1.3.3 邊界1應(yīng)力圓分析

施加在假定滑動(dòng)面OC的上覆壓力σv和破壞面所承受的應(yīng)力f與極限承載力σh相平衡(如圖4所示)，若這種平衡被打破，即發(fā)生破壞。

巖面傾角對(duì)于承載力的影響體現(xiàn)在滑動(dòng)面傾角α，通過(guò)對(duì)α的分析可得到ρ1的求解方法。結(jié)合圖3的幾何關(guān)系，可得

圖4 破壞區(qū)域應(yīng)力關(guān)系Fig.4 Stress relation of failure zone

式中：p1和q1為取決于瞬時(shí)摩擦角ρ的應(yīng)力參數(shù)。

由式(17)可得，假定滑動(dòng)面邊界1的傾角α的表達(dá)式為

對(duì)于給定的hm，若α已知，則可確定ρ1，反之亦然。

當(dāng)α>0時(shí)邊界1的Mohr圓如圖5所示。由圖5可知：邊界1相對(duì)于豎軸的大主應(yīng)力傾角為

此關(guān)系式為邊界1確定了大主應(yīng)力σ1I的方向。從圖5中的幾何關(guān)系還可以推導(dǎo)出角度ε：

其中，邊界1和邊界2的大主應(yīng)力σ1I與應(yīng)力場(chǎng)的特征線方向形成的角度μ1和μ2分別為：

圖5 α>0時(shí)邊界1的Mohr圓Fig.5 Mohr circle of boundary 1 whenα>0

1.3.4 Riemann常量的傳遞與轉(zhuǎn)化

根據(jù)滑移線的性質(zhì)[16]，沿一條滑移線上的Riemann積分常數(shù)相同，即可由已知邊界的應(yīng)力條件求得待求邊界上的應(yīng)力，并由此得出樁端的極限承載力。

對(duì)于邊界1和邊界2，有[10]：

其中：C為固定常數(shù)；

鑒于實(shí)際情況下傾斜巖面樁荷載為垂直荷載，邊界2主應(yīng)力傾角為0°，即

1.3.5 嵌入比n

由圖1所示幾何關(guān)系，嵌入比n可表示為

根據(jù)SERRANO等[15]的滑移線場(chǎng)結(jié)論，OABC區(qū)域有特定比例關(guān)系：

在塑性區(qū)中，下式成立：

在樁底三角形O'OM的塑性區(qū)域，有

由三角函數(shù)關(guān)系可得DOC區(qū)域的關(guān)系，有

嵌入比n和其他量的關(guān)系式為

1.3.6 極限承載力

綜上所述，在已知上覆荷載hm、嵌入比n、巖面傾角η和巖石強(qiáng)度參數(shù)ξ的情況下，通過(guò)聯(lián)立式(8)，(18)，(20)，(24)和(30)，可得到6 個(gè)方程，求解6個(gè)未知量(α，q，p，ρ1，ρ2，ε)，方程可解。

由于本非線性復(fù)雜方程組人工推導(dǎo)求解困難，故基于MATLAB軟件編程求得數(shù)值解。

現(xiàn)已知邊界1和邊界2對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)內(nèi)摩擦角ρ1和ρ2，可得到邊界2的應(yīng)力參數(shù)：

施加在邊界2上的應(yīng)力σ2為垂直應(yīng)力，主應(yīng)力如下：

樁底垂直應(yīng)力即樁端極限承載力表達(dá)式為

式中：NSβ為平面應(yīng)變假設(shè)下的傾斜巖面嵌巖樁樁端荷載系數(shù)，

上述樁端承載力基于平面應(yīng)變假設(shè)獲得，但實(shí)際情況中必須考慮到樁的空間效應(yīng)。為此，根據(jù)BEER[17]提出的關(guān)于樁的空間效應(yīng)影響理論，引入傾斜巖面嵌巖樁形狀系數(shù)sβ：

平均內(nèi)摩擦角ρm與Hoek-Brown準(zhǔn)則的斜率角度θ有以下關(guān)系：

因此，平均內(nèi)摩擦角可由下式確定：

考慮空間效應(yīng)后的荷載系數(shù)NSβP，有

乘以系數(shù)β得到極限承載力：

2 算例

選取中等強(qiáng)度巖體材料[18]進(jìn)行算例分析，參數(shù)如表1所示。

當(dāng)巖面傾角0°時(shí)，模型轉(zhuǎn)化為水平巖面嵌巖樁樁端承載力的計(jì)算，按照水平巖面嵌巖樁滑移線理論[10]進(jìn)行計(jì)算，可得樁端豎向極限承載力為55.04 MPa，與采用本文提出的計(jì)算方法求解的樁端承載力結(jié)果一致。

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameters

3 參數(shù)研究

3.1 不同巖面傾角下嵌入比對(duì)承載力的影響

在上覆荷載hm=0.1和樁徑為1 m的條件下，研究在不同巖面傾角下斜坡嵌巖樁的樁端承載力與嵌入比的關(guān)系，其中承載力以荷載系數(shù)NSβP體現(xiàn)。

圖6所示為不同巖面傾角下樁嵌入比與荷載系數(shù)的關(guān)系曲線。從圖6可知，隨嵌入比增大，傾斜巖面嵌巖樁荷載系數(shù)NSβP呈增大趨勢(shì)，樁端承載力逐漸增大；當(dāng)嵌入比較小時(shí)，巖面傾角越大荷載系數(shù)越??；當(dāng)嵌入比增大至一定值后，不同巖面傾角的傾斜巖面樁的承載力逐漸接近，達(dá)到某一定值時(shí)荷載系數(shù)不再增大，各巖面傾角狀態(tài)下的樁端承載力一致，定義此狀態(tài)嵌入比為極限嵌入比。

由圖6還可知：當(dāng)巖面傾角較小時(shí)，荷載系數(shù)增長(zhǎng)率隨嵌入比增大而減小；而當(dāng)傾角較大時(shí)，增長(zhǎng)速率呈先增大后減小趨勢(shì)，說(shuō)明巖面傾角越大，對(duì)樁端承載力的影響越顯著；當(dāng)達(dá)到極限嵌入比時(shí)，巖面傾角對(duì)樁端承載力無(wú)影響。

圖6 ξ=0.005時(shí)嵌入比與荷載系數(shù)關(guān)系曲線Fig.6 Relationship between embedding ratio and load coefficient whenξ=0.005

3.2 不同巖面傾角下嵌入比對(duì)滑動(dòng)面傾角的影響

在上覆荷載hm=0.1和樁徑為1 m的條件下，研究不同巖面傾角下嵌入比與滑動(dòng)面傾角的關(guān)系。圖7所示為不同巖面傾角下樁嵌入比與滑動(dòng)面傾角α的關(guān)系曲線。

圖7 ξ=0.005時(shí)嵌入比n與滑動(dòng)面傾角關(guān)系曲線Fig.7 Relationship between embedding rationand dip angle of sliding surface whenξ=0.005

從圖7可知，嵌入比n=0時(shí)所對(duì)應(yīng)的α即為巖面傾角，隨嵌入比增大，滑動(dòng)面傾角α逐漸增大，或由負(fù)轉(zhuǎn)正呈增大趨勢(shì)；與圖7所示關(guān)系類似；當(dāng)嵌入比較小時(shí)，巖面傾角越大α越小，即可能為負(fù)值；當(dāng)嵌入比增大至一定值后，不同巖面傾角情況的α逐漸接近90°，達(dá)到極限嵌入比時(shí)α趨近90°，并基本保持不變。

由圖7還可知：當(dāng)巖面傾角較小時(shí)，傾角α增長(zhǎng)率隨嵌入比增大而減小，而當(dāng)傾角較大時(shí)，α的變化率呈先大后小趨勢(shì)，這說(shuō)明巖面傾角越大，對(duì)滑動(dòng)面傾角的影響越顯著；當(dāng)達(dá)到極限嵌入比時(shí)，巖面傾角對(duì)滑動(dòng)面傾角無(wú)影響，α均趨近90°。

3.3 巖石抗拉強(qiáng)度ξ的影響

由圖8可知：ξ與極限嵌入比大致呈反比例關(guān)系，ξ愈大則該巖體的嵌巖樁極限嵌入比愈小。樁端巖體為小主應(yīng)力破壞情況，即時(shí)，根據(jù)圖8的曲線可確定不同巖石抗拉強(qiáng)度ξ所對(duì)應(yīng)的極限嵌入比，該情況工程實(shí)際中也較為常見(jiàn)。例如，當(dāng)巖體ξ=0.005時(shí)，僅在hm<0.2時(shí)可利用圖8查得樁極限嵌入比。

圖8 巖石抗拉強(qiáng)度ξ與極限嵌入比關(guān)系曲線Fig.8 Relationship between tensile strength ξ of rock and ultimate embedment ratio

圖9 巖石抗拉強(qiáng)度ξ與最大荷載系數(shù)NSβP關(guān)系曲線Fig.9 Relationship between tensile strength ξ of rock and ultimate load coefficientNSβP

圖9中ξ所對(duì)應(yīng)的NSβP是在極限嵌入比狀態(tài)下得到的，即為最大荷載系數(shù)，表示該巖體所能達(dá)到的最大樁端承載力。由圖9可知：ξ愈大，則巖體的最大樁端承載力愈大，最大荷載系數(shù)的增長(zhǎng)率減小，說(shuō)明ξ對(duì)最大承載力的提升效果逐漸減弱。

4 結(jié)論

1)在不同巖面傾角下，嵌入比愈大，樁端承載力愈大，且?guī)r面傾角越大，對(duì)于樁端承載力的影響越顯著。當(dāng)達(dá)極限嵌入比時(shí)，同種巖體的不同巖面傾角下的樁端承載力均達(dá)到最大。

2)在不同巖面傾角下，嵌入比愈大，滑動(dòng)面傾角愈大，且?guī)r面傾角越大，對(duì)于滑動(dòng)面傾角的影響越顯著。當(dāng)達(dá)極限嵌入比時(shí)，同種巖體的不同巖面傾角下的滑動(dòng)面傾角均趨近90°。

3)巖石抗拉強(qiáng)度與極限嵌入比大致呈反比例關(guān)系，提出在樁端巖體為小主應(yīng)力破壞情況下的巖石抗拉強(qiáng)度-極限嵌入比關(guān)系曲線。巖石抗拉強(qiáng)度愈大，最大荷載系數(shù)愈大且增長(zhǎng)率逐漸減小。