論大學(xué)數(shù)學(xué)在計算機專業(yè)課中的應(yīng)用

鄭素華 曾 鈺 韓曉艷

（青島工學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，山東 青島 266399）

大學(xué)數(shù)學(xué)是理工類專業(yè)的基礎(chǔ)課程，是每一個理工科學(xué)生必須學(xué)習(xí)的內(nèi)容。大學(xué)數(shù)學(xué)包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論語數(shù)理統(tǒng)計三門課，對后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)非常重要。但在實際教學(xué)中，常常有同學(xué)感到疑惑，大學(xué)數(shù)學(xué)對以后的哪些專業(yè)課到底有什么幫助。由于大學(xué)數(shù)學(xué)老師都是數(shù)學(xué)專業(yè)出身，往往并不是十分熟悉這些聯(lián)系。本文通過三門課中的三個例子對這個問題加以討論，希望對學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)有所幫助。

一、微分方程在信號與系統(tǒng)中的應(yīng)用舉例

我們在高等數(shù)學(xué)中專門有一章講的是微分方程，其中線性方程是其中的重點，同濟大學(xué)版本用了四節(jié)的內(nèi)容介紹了一階線性微分方、線性方程解得結(jié)構(gòu)、高階常系數(shù)齊次和非齊次線性微分的解法。在學(xué)習(xí)信號與系統(tǒng)這門專業(yè)課中，我們知道線性時不變系統(tǒng)是最常見的最有用的一類系統(tǒng)，描述這類系統(tǒng)輸入-輸出特性的是常系數(shù)線性微分方程。從微分方程出發(fā)，在時間域中研究輸入信號通過系統(tǒng)后響應(yīng)的變化規(guī)律，是研究系統(tǒng)時域特性的重要方法即時域分析法。

例1設(shè)有二階系統(tǒng)的微分方程為y"（t）+5y'（t）+6y（t）=f'（t）求輸入信號f（t）=9e-t·ε（t）的零狀態(tài)響應(yīng)。

解：由系統(tǒng)對應(yīng)的特征方程λ2+5λ+6=0

得特征根λ1=-2，λ2=-3；將f'（t）代入原方程，有

從而，F(xiàn)（t）=3ε（t）-3e-tε（t）x2（t）=(e-2t-e-3t)ε（t）故零狀態(tài)響應(yīng)

另外，分析工程上常用的周期和非周期信號的一些基本特性以及信號在系統(tǒng)中的傳輸問題時，傅里葉級數(shù)（對周期信號）和傅里葉積分（對非周期信號）是最基本的分析工具。當(dāng)然，在各門專業(yè)課中常見的積分、微分表示的問題也非常多，限于篇幅，僅以此例說明高等數(shù)學(xué)是計算機各專業(yè)課的基礎(chǔ)。

二、矩陣運算在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用舉例

矩陣在計算機專業(yè)課中的應(yīng)用隨處可見，本文舉一個矩陣運算在圖形的幾何運算中的例子。在某種意義上來說，圖像的幾何運算是與點運算相對立的。圖像幾何算法中國的圖像平移、圖像鏡像、圖像縮放和圖像旋轉(zhuǎn)都是通過矩陣的運算實現(xiàn)的。

1、圖像平移

圖像平移就是使圖像沿水平方向或豎直方向平移。具體算法為：如果把坐標原點（0，0）平移到點（x0，y0）處，則變換公式為：

其中（x，y）是原圖像坐標，（x'，y'）是變換后的圖像坐標，圖像中的各像素點移動了距離。此過程可用矩陣的運算表示為：

2、圖像鏡像

鏡像是一個物體相對于一個鏡面的復(fù)制品。分為水平鏡像和垂直鏡像兩種。水平鏡像用矩陣形式表示為：

垂直鏡像用矩陣形式表示為：

其中W和H分別表示為圖像的寬和高。

3、圖像縮放

圖像的縮小和放大的定義是，將圖像中的點（x，y）經(jīng)縮小和放大后其位置變?yōu)椋▁'，y'），則兩者之間的關(guān)系是：x'=ax，y'=by

a和b分別是x方向和y方向的放大率。a和b比1大時放大，比1小時縮小。當(dāng)a=-1，b=1時，會產(chǎn)生一個關(guān)于y軸對稱的鏡像；當(dāng)a=1，b=-1時，會產(chǎn)生一個關(guān)于x軸對稱的鏡像。此過程用矩陣表示為：

5、圖像旋轉(zhuǎn)

如果平面的所有點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ0，則它的變換公式為：

逆變換公式為：x'=x cosθ+y sinθ，y'=-x sinθ+y cosθ

用矩陣表示為：

另外，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門建立在嚴格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的學(xué)科，它已形成了一種新型的圖像處理方法和理論，并成為計算機數(shù)字圖像處理的一個主要研究領(lǐng)域。

三、貝葉斯公式在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用舉例——貝葉斯分類器

20世紀90年代以來的一些理論分析和實驗結(jié)果表明，很多情況下多層感知器的輸出可以看作是對貝葉斯后驗概率的估計。設(shè)所有訓(xùn)練樣本的集合是X，其中屬于ω1類和ω2類的樣本的集合分別是X1和X，則訓(xùn)練的均方誤差為：

把樣本x看作隨機變量，其概率密度函數(shù)為p（x），設(shè)兩類的先驗概率分別是 p（ω1）和 p（ω2），p（x|ωi），i=1，2 是兩類樣本的類條件概率密度，p（ωi|x），i=1，2 是樣本 x 屬于 ωi的后驗概率。設(shè)訓(xùn)練樣本無窮大，且它們的分布反映真實的概率分布，則上面誤差就成為：

利用貝葉斯公式

上式可轉(zhuǎn)化為

這說明：當(dāng)訓(xùn)練樣本為無窮多時，以使均方誤差最小為目標訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出在統(tǒng)計意義上是對樣本后驗概率的最小均方誤差估計。

結(jié)語

由以上討論，我們知道大學(xué)數(shù)學(xué)的知識點在計算機各專業(yè)課中的應(yīng)用是非常廣泛的.本文僅討論了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計中各一個知識點的應(yīng)用，當(dāng)然大學(xué)數(shù)學(xué)對計算機專業(yè)課的基礎(chǔ)作用不僅于此。比如，鏈式求導(dǎo)法則在深度學(xué)習(xí)的作用等，可以繼續(xù)加以討論。

另外，我們還可以討論大學(xué)數(shù)學(xué)對建筑類專業(yè)課和機械類專業(yè)課的重要基礎(chǔ)作用。從而，可以在教學(xué)中加以運用，正面回答同學(xué)們“學(xué)這些有什么用”的問題，進而提高課堂教學(xué)效果。