一類隨機時滯捕食者-食餌模型的定性分析

尹文倩，劉桂榮

(山西大學 數(shù)學科學學院， 太原 030006)

隨著現(xiàn)代工業(yè)和農(nóng)業(yè)的發(fā)展，環(huán)境污染已成為重要的社會生態(tài)問題之一。環(huán)境中各種毒素的存在導致許多物種滅絕，這促使很多學者研究毒素對種群的影響[1-4]。

在現(xiàn)實生活中生物會受到環(huán)境噪聲的影響。為此，建立下列隨機時滯捕食者-食餌模型：

(1)

1 主要結(jié)論

下面采用反證法來證明τ∞=∞ a.s.。若這個結(jié)論不成立，則存在常數(shù)T>τ和ε∈(0，1)使得P{τ∞≤T}>ε。因此，對任意n≥n0，令Ωn={τn≤T}，從而

P{Ωn}≥ε

(2)

任取n≥n0且0≤t≤(τn∧T)，由It公式得

a13(t)x3(t-τ13)]-0.5a21(t)x1(t-τ21)-0.5a31(t)x1(t-τ31)-

a23(t)x3(t-τ23)]+0.5a12(t)x2(t-τ12)+0.5a32(t)x2(t-τ32)-

a32(t)x2(t-τ32)]+0.5a13(t)x3(t-τ13)+0.5a23(t)x3(t-τ23)+

0.5[-r1(t)+r01(t)c01(t)+r2(t)+r02(t)c02(t)+r3(t)+r03(t)c03(t)]+

(3)

其中：

(4)

對式(4)兩邊同時從0到τn∧T積分并取數(shù)學期望得

E[Q(x(τn∧T))+V(x(τn∧T))]≤Q(x(0))+V(x(0))+KE(τn∧T)

由此可得EV(x(τn∧T))≤Q(x(0))+V(x(0))+KT。對n≥n0，由τn的定義可知，對每個ω∈Ωn，存在x(τn，ω)的某個分量xi(τn，ω)等于n或者1/n。結(jié)合式(2)可得

(5)

其中IΩn代表Ωn上的示性函數(shù)。令n→∞可得，等式(5)的右端等于∞，這與式(5)矛盾。因此τ∞=∞ a.s.，從而模型(1)在[-τ,∞)上存在唯一正解。

定理2

1) 對于模型(1)中的食餌種群x1，若〈b1(t)〉*<0，種群x1滅絕；若〈b1(t)〉*=0，則種群x1隨機非平均持久。

證明

1) 對于lnx1(t)應用It公式[8]并積分得

(6)

同理：

(7)

(8)

同理

(9)

由此可得，對0

注意到，M1i(t)是初值為M1i(0)=0的連續(xù)局部鞅,i=1,2,且

從而

(10)

注意到存在常數(shù)T2>T1，使得對于T2≤k-1≤t≤k及k≥k0，都有

(2lnk)/t≤ε/6，M11(t)/t≤ε/6，M12(t)/t≤ε/6

(11)

將其代入式(10)可得

(12)

根據(jù)洛必達法則可知

2) 若〈b1(t)〉*≤0，由 1) 知，〈x1(t)〉*=0。注意到〈-bi(t)〉*<0，從而存在充分小的ε>0和T3>0，使得當t>T3時有〈-bi(t)〉<〈-bi(t)〉*+ε<0,i=2,3。由式(7)及式(9)得，對幾乎所有的ω∈Ω，存在一個整數(shù)值隨機變量k0=k0(ω)使得當k≥k0時，

t-1lnxi(t)≤t-1lnxi(0)+〈-bi(t)〉+t-1Mi1(t)+t-1Mi2(t)+t-1(2lnk)+

(13)

兩邊同時取上極限，則由強大數(shù)定律得

若〈b1(t)〉*>0時，下面證明結(jié)論(2)仍成立。由式(6)及(11)得

t-1lnx1(t)≤t-1lnx1(0)+〈b1(t)〉*+ε/2-(a11*-ε)〈x1(t)+ε/2,t>T2

類似于 1)中情形〈b1(t)〉*=0的證明方法，可得

〈x1(t)〉*≤〈b1(t)〉*/11*a.s.

(14)

根據(jù)式(7)及(13)知，對幾乎所有的ω∈Ω，存在整數(shù)值隨機變量k0=k0(ω)使得當k≥k0時，

t-1lnxi(t)≤t-1lnxi(0)+〈-bi(t)〉+t-1Mi1(t)+t-1Mi2(t)+t-1(2lnk)+

兩邊同時取上極限，由強大數(shù)定律得

(15)

另一方面，對于固定的ε>0，對幾乎所有的ω∈Ω，存在一個整數(shù)值隨機變量k0=k0(ω)，T2>0，使得當k≥k0，t>T4時，

由式(7)及(9)可得，對任意的t>T4有

注：由定理2的證明過程可知，當食餌種群滅絕時，捕食者種群也滅絕。

2 數(shù)值模擬

假設模型(1)的初值為φ1(t)=φ2(t)=φ3(t)=0.3e0.5t，t∈[-τ,0]。為了驗證本文的理論結(jié)果的合理性，選取下列參數(shù)：r1(t)=0.1+0.01sint，r01(t)=0.1+0.01sint，c01(t)=0.4sint,r2(t)=0.1+0.04sint，r02(t)=0.03sint，c02(t)=0.5sint，r3(t)=0.1+0.03sint,r03(t)=0.04sint，c03(t)=0.3×sint,a11(t)=a12(t)=a13(t)=0.3,a21(t)=a22(t)=a23(t)=a31(t)=a32(t)=a33(t)=0.4,τ12=τ13=τ21=τ23=τ31=τ32=1。

圖1 種群的數(shù)量變化