劉徽和祖沖之曾計算圓周率的近似值嗎？

鞠實兒 張一杰

(中山大學邏輯與認知研究所，廣州 510275)

1 問題與方法

1.1 周徑率是圓周率π嗎？

明末西學東漸，西方數(shù)學開始傳入中國。萬歷三十五年(1607)，徐光啟和利瑪竇完成Elements(《幾何原本》)前六卷的翻譯，在數(shù)學領(lǐng)域?qū)嵤┲形鲿ā?[1]，頁374)其中：徐利二人將幾何中的“Circulus”翻譯為中國算學(以下簡稱：中算)中的“圓”([2]，頁31)。根據(jù)這一翻譯，中算本土概念“圓”被等同于歐氏幾何之“Circulus”(1)在沒有特別指明的情況下，本文用“歐氏幾何”指在起源于歐幾里得《幾何原本》，在近現(xiàn)代已經(jīng)成熟的歐氏平面幾何。此處“Circulus”與后文“Circle”的所指為同一對象，即歐氏幾何中的圓。。這一事件使得作為圓周率π概念之基礎(chǔ)的幾何對象Circulus被引入到中國傳統(tǒng)語境中，兩者被等價?？滴跷迨?1713)，康熙皇帝下令御制之《數(shù)理精蘊》，于六十一年(1722)銅活字印刷。([3]，頁613—620，641—643，647—674)此書體現(xiàn)了康熙帝所倡“西學中源”說：“有湯若望、南懷仁、安多、閔明我，相繼治理歷法，間明算學。而度數(shù)之理，漸加詳備。然詢其所自，皆云本中土所流傳?！?[4]，頁3—16；[5])把西方傳教士傳入的歷法算學說成“中土流傳”，又云“其圓方矩度之規(guī)，推測分合之用，莫不與西法相為表里?！悦鲾?shù)學之宗，使學者知中外本無二理焉爾。”(2)康熙學自傳教士、最終修訂入《數(shù)理精蘊》之7卷本《幾何原本》，并非徐利二人譯本，屬于另一版本鏈，見[6][7]。亦參見[3]，頁613—620，641—643，647—674。乾隆年間，《四庫全書》收錄之《數(shù)理精蘊》提要云：“徑一者，周三一四一五九二六五，泰西法亦同其率”(3)見[8]，頁799。原文為“六二五”，下劃線為筆者所加。耐人尋味的是，此處對率的表述在論斷“泰西亦同”的同時，仍保留中算傳統(tǒng)的一組率數(shù)的形式。；通過皇權(quán)，以官方經(jīng)典的方式確立：中國古算中周徑相與之率(本文簡稱：周徑率)就是歐氏幾何中的圓周率π(4)周徑相與之率，即魏晉數(shù)學家劉徽《九章筭術(shù)》的注解中對古算圓周與徑的關(guān)系的描述。。

進一步，近現(xiàn)代學者在介紹中國的數(shù)學成果時，往往也把周徑率翻譯為圓周率π。咸豐二年(1852)，傳教士偉烈亞力(Alexander Wylie，1815—1887)以歐氏幾何中的“circle”和“ratio”(“比率”)來描述劉徽和祖沖之的計算成果；同時，最先以圓周率的形式向西方介紹了中算家劉徽(活躍于263)和祖沖之(429—500)(簡稱劉祖)在周徑率計算方面的成果([9]，頁170—171)。1913年，數(shù)學史家三上義夫(Mikami Yoshio)發(fā)表了數(shù)學史專著《中日數(shù)學發(fā)展史》。在此書中，他亦將中算的周徑率等同于歐氏幾何中圓周率，用分數(shù)形式記祖沖之求得的“周率355、徑率113”為355/113，并稱之為“π的祖沖之分數(shù)值”，([10]，頁135—137)進而命名之為祖沖之率(以下簡稱祖率)([10]，頁50)。1917年，茅以升在《中國圓周率略史》中向國內(nèi)介紹了三上義夫的發(fā)現(xiàn)[11]。中國數(shù)學史奠基人李儼、錢寶琮的著作中亦是以圓周率π解釋劉祖關(guān)于周徑率的成果[12][13]。由此，劉祖曾計算圓周率的近似值成為中外公認的事實。

根據(jù)以上所述，經(jīng)明末清初西學東漸和近現(xiàn)代中外學人共同努力，劉徽算學中的圓和周徑率最終分別被等同于歐氏幾何學的Circle和π，從而將劉徽和祖沖之關(guān)于周徑率的研究納入世界數(shù)學發(fā)展之主流。但是，除了引證《墨經(jīng)》關(guān)于圓的描述之外，對于上述等同性是否成立這一關(guān)鍵問題，尚未作深入探討。對此作進一步研究，將導向?qū)χ袊糯銓W本土特性更為全面的理解。

1.2 中算史研究的本土化程序

正如后期維特根斯坦(Ludwig Wittgenstein)所述，詞匯系統(tǒng)或語言在其使用過程中獲取意義(5)見[14]，維特根斯坦《哲學研究》中對語言游戲和詞的含義的論述，如其第一部分編號1—31，37—43。。而語言使用是語境制約下的社會活動。語境主要包括如下要素：文化傳統(tǒng)、基于文化傳統(tǒng)的社會政治制度、處于文化傳統(tǒng)和制度中的語言使用者的具體境況等。這些要素蘊含了文本形成和傳播的動因、支撐文本的概念框架和預設(shè)，以及闡明文本中結(jié)論所依據(jù)的理由。正是在社會文化語境中，社會成員書寫文本，進行交流和形成意義。因此，如果我們致力于把握文本的原意，那么只能依據(jù)文本在其中生成并獲取意義社會文化語境，對文本進行解讀和解釋，將文本展現(xiàn)相應社會文化語境中自然生成的事物(6)文本研究人員所把握的文本原義，實際上是指：經(jīng)過研究得到的關(guān)于原義的可靠假說。雖然，它不能等同于原義；但研究人員可以對它進行修改，使之與現(xiàn)有的古代文獻和解讀相一致；它與悖離原義的誤解具有明顯的區(qū)別。。這就是據(jù)中釋中思想的合理性根源。

長久以來，在中國古代算學史研究中有一種方法論傳統(tǒng)：盡量運用現(xiàn)代數(shù)學的概念與方法，從原始數(shù)學文獻中發(fā)現(xiàn)數(shù)學事實，解釋或證實所發(fā)現(xiàn)事實的數(shù)學意義及其正確性。其實質(zhì)就是：采用主要源自西方的現(xiàn)代數(shù)學所具有的概念、原理和方法作為基本框架，分析、整理和解釋中國古代文獻；試圖在中國傳統(tǒng)算學發(fā)現(xiàn)相應于現(xiàn)代數(shù)學的成果。這就是中算史研究中所謂的“據(jù)西釋中”方法。與之相對立的是“據(jù)中釋中”：根據(jù)文獻所處歷史文化背景和中國古代已有的算學和其他領(lǐng)域的知識，拒絕利用中國古代文化中不曾具有的元素，對相應的古代數(shù)學文獻進行解釋(7)這一方法也可以擴展到其他傳統(tǒng)文化研究領(lǐng)域，如佛教因明研究，見[15]，頁116—117。。

從語言人類學角度，不同的文化具有不同的語言，不同的語言各自具有劃分世界和構(gòu)建經(jīng)驗范疇的詞匯系統(tǒng)。([16]，頁54—56)從中國古代社會文化語境及其從中產(chǎn)生的中國古代知識文本，與源于西方文化的語言及其學術(shù)思想大相徑庭。從語用學的觀點看，文本的意義既依賴于相應社會文化中業(yè)已形成的知識系統(tǒng)，又依賴于文本在其中出現(xiàn)的具體語境。因此，隸屬于不同社會文化的文本的意義至多部分相同。如果用在西方或近現(xiàn)代文化中生成的知識和語言系統(tǒng)，去描述、解釋和重構(gòu)中國古代文本，那么這些被重構(gòu)的文本將在西方或近現(xiàn)代文化中獲取意義，而由此獲取的意義是中國古代文本原先所不具有的。這就是我們據(jù)斥據(jù)西釋中的原因。

在數(shù)學史研究方面，吳文俊分析了據(jù)西釋中方法的一個典型案例——各家用添加平行線或代數(shù)方程方法對《海島算經(jīng)》諸題結(jié)論的證明，指出這類據(jù)西釋中的方法易于引發(fā)的“錯誤”：“充其量只是用現(xiàn)代方法驗證了劉徽的那些公式與定理都正確無誤而已。這非特完全不足以反映當時的數(shù)學情況， 反而使古代輝煌的成就因之而淹沒不彰?！@些錯誤方法已經(jīng)泛濫于絕大多數(shù)流行的數(shù)學史著作之中，致使古代數(shù)學的真實情況不僅淹沒不彰，而且面目全非，許多巴比倫神話、印度神話以及丟番圖神話之所以產(chǎn)生，這是主要的原因之一?！?[17]，頁128—129)簡言之，這種方法導致了數(shù)學史研究中濫用現(xiàn)代數(shù)學概念與符號去接受古代數(shù)學成果的傾向[18]。

正因為如此，在“《海島算經(jīng)》古證探源”一文中，吳文俊提出古證復原三項原則。([19]，頁162)其核心是：要根據(jù)中國古代史實史料和當時當?shù)厮銓W實際發(fā)展水平，來描述當時當?shù)氐乃銓W證明；不能套用現(xiàn)代的或其他地區(qū)的數(shù)學成果與方法，人為地構(gòu)建預知的結(jié)果。因此，古證復原的先決條件是：按中算的本來面貌描述它的概念框架和研究方法。否則，中算包括古證的基本思想從一開始就被遮蔽了。這就是說：在研究中國古代算學史中的“證明”時，不能簡單地“據(jù)西釋中”。

為了克服上述方法論的局限，本文提出中算史本土化研究程序。其要點是：根據(jù)文獻學的研究成果，選擇合適文本；根據(jù)漢語言文字學，解讀文本；運用歷史學的方法，描述文本所在的社會文化語境；拒絕使用當時和當?shù)夭淮嬖诘睦碚摽蚣芎蜕鐣幕蛩亟庾x文本；僅將文本置于它所在的社會文化語境，根據(jù)當時語境解釋文本，進而完成對文本的據(jù)中釋中。

本文的目標是：根據(jù)中算史本土化研究程序，重新解讀劉祖計算周徑率概念及其計算方法，進而說明周徑率異于圓周率；最后，在此基礎(chǔ)上從古為今用的角度展望劉祖周徑率研究的現(xiàn)代價值。

2 劉徽圓之概念及其起源

2.1 先秦學者的圓概念

在現(xiàn)代英文語境中，圓周率被定義為“the ratio of a circle’s circumference to its diameter”，記為π。在現(xiàn)代漢語中，它被譯為：圓的周長與它的直徑的比，同樣也用希臘字母π標記。數(shù)學家已經(jīng)證明π是無理數(shù)，而現(xiàn)代數(shù)學的工作之一就是計算它的近似值(8)近年來逐漸演變?yōu)閷﹄娮佑嬎銠C的測試。。值得一提的是：數(shù)學史家一般認為，劉徽在《九章算術(shù)注》中計算了圓周率π的近似值(9)如文獻[12]，頁20—22；[13]，頁65—68；[20]，頁249；[21]，頁225，234—243。。但是，如果劉徽眼中的“圓”及“周徑率”的所指并非歐氏幾何術(shù)語“圓”及“圓周率”的所指，而周徑率和圓周率又具有不同的數(shù)學性質(zhì)，那么我們就有理由懷疑這一看法的正確性。因此，要完成本文的目標，首先必須澄清劉徽的術(shù)語“圓”和“周徑率”的含義。

根據(jù)劉徽所處時代已有的中國古代典籍記載，作為中國古代算學研究對象的圓，它是一類可感知、可想象的具體對象。首先，圓是用器具(圓)規(guī)制作而成：

《詩經(jīng)·小雅·沔水》鄭玄箋：“規(guī)者，正圓之器?！?[22]，頁665)

《墨經(jīng)·經(jīng)上》：“圓，一中同長也?！?[23]，頁311)

《墨經(jīng)·經(jīng)說上》：“圓，規(guī)寫交也?！?[23]，頁343)

《孟子·離婁上》：“不以規(guī)矩，不能成方圓?！?[24]，頁475)

其中，“規(guī)寫交也”描述一個經(jīng)驗可觀察的作圓過程：一部具有兩個距離固定之端點的器具，使其一端不動，移動另一端，保持“一中同長”即兩端點距離不變，刻畫一首尾相交的形狀；從而具體說明了作圓器具和操作過程所具有的經(jīng)驗特征即“一中同長”，解釋了《經(jīng)》中相對應的條目。相比較而言，歐氏幾何的圓是由定義給出的理想客體，用物理器具尺規(guī)作出的物理圖形本身不是幾何客體，而是一種象形文字，作為示意圖展現(xiàn)幾何客體的特性。

不僅如此，規(guī)和矩還是判定圓和方這類物體的方法：

《荀子·賦》(亦見《莊子》)：“圓者中規(guī)，方者中矩?！?[25]，頁474)

《周禮·考工記》：“規(guī)之以視其圓也，矩之以視其匡也?！?10)[22]，頁1077。矩原作“萭”，鄭眾云“書或作矩”。

其中，“視”表明：用規(guī)矩判方圓是一個經(jīng)驗直觀的過程。而歐氏幾何拒絕使用任何經(jīng)驗的方式來判定幾何圖形的性質(zhì)。

最后，從方可做圓，破觚可為圓：

《周髀筭經(jīng)》：“圓出于方，方出于矩?！薄叭f物周事而圓方用焉，大匠造制而規(guī)矩設(shè)焉，或毀方而為圓，或毀圓而為方?！?[26]，頁33，36)

《史記·酷吏列傳》：“破觚而為圓?！?[27]，頁3803)

這表明：有先秦時期學者認為，在日常生產(chǎn)實踐中存在對方或觚進行加工的方法，其結(jié)果是可用規(guī)判定為圓的物體。

在這種觀點之下，中算中的圓具有以下三大特征：

(1)用規(guī)矩可制作方圓，它們是可觀察的具體物體；

(2)用規(guī)矩可判定方圓，判定的過程是日常的直觀的；

(3)圓和方并非不相容，可從方做圓。

為了便于比較，用當下的術(shù)語說：規(guī)是物理器具，用它制作和判定的物體就是日?？捎|摸的物體。其次，作為器具制作而成的經(jīng)驗物體，圓的邊緣不可能理想地光滑。因此，上述先秦文獻中界定的圓從本性上不同于歐氏幾何定義的作為理想物體的圓。

2.2 劉徽繼承了先秦學者的圓概念

從劉徽《九章》注中“規(guī)”字的用法可以說明：他在注中所論及的圓具有上述三大特征，進而繼承并沿用了先秦時期關(guān)于圓的這種界定(11)當然，無論先秦時期或劉徽，“圓”仍可用于指更廣義的圓形，如“天圓地方”，“圓穹”等。不過本文考察的是作為古算計算對象的圓。。其中，符合上述特征1的情形有：

《九章筭術(shù)·少廣章》：規(guī)之為圓囷，徑二寸，高二寸(12)本文所引《九章》及其劉徽注，底本為[28]。并參考[29]之?？?，后文及注釋亦簡稱“《匯?！繁尽?。。

此處規(guī)作為動詞使用，意謂用規(guī)制作圓形之體。

符合上述特征2的情形有：

《九章筭術(shù)·方田章》：弧體法當應規(guī)。

《九章筭術(shù)·方田章》：周三者，從其六觚之環(huán)耳。以推圓規(guī)多少之覺(較)，乃弓之與弦也。

此處引文一表明：弧的形狀應該與圓弧重合，其中規(guī)意指圓(13)參見[30]中66頁注9。。引文二指出：若將周率三的六觚之環(huán)作為圓周，這個“圓周”與真正的圓周相比，就像弓和弦一樣。顯然，規(guī)在這一引文中用作判定圓的標準和規(guī)范。

進一步的證據(jù)是，在《九章》劉徽注中“規(guī)”共出現(xiàn)9次，其用法出處如下表：

表1 在《九章》劉徽注中“規(guī)”的用法出處

續(xù)表1

不難看出，除去塹堵術(shù)中，規(guī)意指“規(guī)范”和一處通假字；劉徽用“規(guī)”不出此三種含義：1.規(guī)作圓；2.規(guī)判圓/圓體；3.規(guī)就是指所作的圓/圓體(14)如同“范”以其作為鑄造的標準器具一樣，“規(guī)”在“規(guī)范”一詞中很可能正是以“圓之標準”為義，才構(gòu)成了其意為標準的“規(guī)范”語義。如果去掉現(xiàn)代漢語“規(guī)范”作為理解的中轉(zhuǎn)，上表第5、6次“規(guī)”字可以理解為從“圓之標準”引申到“標準”。。

最后，劉徽在割圓術(shù)中割觚得圓，郭書春認為這源于漢代“破觚而為圓”的工藝(15)參見[31]，頁7。。這就是說，他所理解的圓可從方制作而得。值得一提的是：劉祖都曾用實物新莽嘉量的數(shù)據(jù)與自己的計算結(jié)果作比較，進一步驗證所得結(jié)果。所有這一切表明：劉徽完全繼承了上述先秦的圓概念，將圓看做一類日?？芍谱鞯奈矬w。

2.3 劉徽圓之概念

更為重要的是，劉徽還進一步發(fā)展了先秦學者關(guān)于圓的思想；在其《九章筭術(shù)》圓田術(shù)注中系統(tǒng)地給出破觚為圓的方法；進而表明：圓不僅是一類日常物體，而且還可以被描述為一種特殊的多角形。他指出：

《九章筭術(shù)·圓田術(shù)注》：為圖。以六觚之一面乘一弧半徑，三之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半徑，六之，則得二十四觚之冪。割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。

此處，割是指：從給定的某個圓內(nèi)多角形(即觚形)出發(fā)，通過二分觚面(邊)的方式，做出面數(shù)翻倍的圓內(nèi)多角形的過程。在這一過程中，隨多角形的面增加，面的長度變小。劉徽認為，割的過程將終止于其邊不可再割的多角形，進而與圓周完全重合。由此，劉徽通過常識上可想象的加工過程，構(gòu)造了一個其邊不可再割的多角形，并將該物體視為可用于算學研究的對象。

劉徽對圓本性的看法根植于先秦學者關(guān)于物體有窮可分性的思想。如所周知，分割物體的過程是否有終點，這是先秦時期引人關(guān)注的論題之一：

《莊子·天下》引辯者論題：一尺之捶，日取其半，萬世不竭。([32]，頁1099)

這就是所謂尺捶論題。其正題是：一尺長的物體可以無休止地二分；其反題是：二分過程在某一時刻終止于物體不可分的部分。墨子反對正題，支持反題：

《墨經(jīng)·經(jīng)下》：“非半弗斱，則不動，說在端?！?[23]，頁326—327)

《墨經(jīng)·經(jīng)說下》：“非：斱半，進前取也。前，則中無為半，猶端也。前后取，則端中也。斱必半，毋與非半，不可斱也。”([23]，頁383—384)

《墨經(jīng)·經(jīng)上》：端，體之無厚而最前者也。([23]，頁312)

《莊子·養(yǎng)生主》：彼節(jié)者有間，而刀刃者無厚。以無厚入有間，……。([32]，頁125)

引文前兩句表明：物體每次都截取其一半，當它不能被取半時，物體就是不可斫，而此不可分或取半的物體被稱為端；端可以出現(xiàn)在物體的前部，也可以出現(xiàn)在它的中間。后三句表明: 端無厚無間，是物體極薄、不可分之部分。同時，根據(jù)上述對分物體的方式可知，被分物體有前部和后部，故有窮大小。因此，按照《墨經(jīng)·經(jīng)下》和《莊子·天下》對斱半和尺捶取半過程的描述，我們有：這類被分割的物體大小有窮；隨著時間的展開逐次對它們進行分割；當物體分割至不可分的單元時，分割過程經(jīng)有窮次運行后終止。

上述思想可表述成所謂的有窮可分命題：一個有窮物體經(jīng)過有窮次分割，將終止于有窮大小的不可分割的部分。有窮可分思想恰是尺捶論題的反題，而與之相對立的正題就是物體無窮分解的觀點。辯者的論題在同時代就遭到許多貶斥：《莊子·天下》中指出辯者“能勝人之口，不能服人之心”，([32]，頁1104)荀子斥為“治怪說，玩琦辭，甚察而不惠，辯而無用，多事而寡功，不可以為治綱紀”([25]，頁93—94)。漢代獨尊儒術(shù)之后，辯者之說也隨著名辯之學的衰落而乏人問津。

因而，劉徽“割至不可割”的論斷正是上述有窮可分思想的體現(xiàn)[33]。在此思想的基礎(chǔ)上，劉徽在九章圓田術(shù)注中對上述物體圓實施割觚，進而得出物體圓由不可割的觚面組成這一結(jié)論。值得一提的是：在注中，劉徽并沒有實際完成割觚過程，上述圓概念是他在先秦有窮可分思想的基礎(chǔ)上對日常實踐中的割圓過程進行擴展的產(chǎn)物。我們稱在上述割觚過程基礎(chǔ)上形成的、其邊不可割的多角形為“劉徽圓”。而劉徽所要計算的周徑率正是劉徽圓的性質(zhì)。

3 周徑率誤解

3.1 劉徽的率及其性質(zhì)

本文所關(guān)心的是劉徽注中周徑率的性質(zhì)與計算。因此，必須先對率這一概念進行考察。對《九章筭術(shù)》及劉徽注中的率概念，郭書春和李繼閔都曾進行過詳盡的分析(16)參見[34]和[35]。亦參見林力娜法譯本《九章筭術(shù)》術(shù)語表中的“率”字條([36]，頁956—958)。。劉徽是首位對率做出清晰界定的中算家(參見[35]，頁25)。他在《九章·經(jīng)分術(shù)注》指出：

凡數(shù)相與者謂之率。率者，自相與通。有分則可散，分重疊則約也；等除法實，相與率也。(17)依《匯?！繁?4頁?？庇浶８?。

郭書春([35]，頁25)指出，這里數(shù)相當于今天數(shù)學中的量，相與則是相關(guān)性。換言之，相關(guān)事物的量構(gòu)成了率，以周徑之長具有的關(guān)系為例，《九章》所用率為“周三徑一”。為了行文方便，我們將這一表達相與關(guān)系的率稱為率關(guān)系；將相與關(guān)系中的某個事物或某個項的具體數(shù)量，稱為(某個物的)率，在上例中即為：周率三，徑率一。

上述引文中“有分則可散，分重疊則約也”一句指出：對各率中包含(籌筭)分數(shù)的情形可以運用《九章》中的分數(shù)計算方法進行通分和約分。然后劉徽提出了“等除法實”，即各率同時除以“等數(shù)”(見約分術(shù))，由此可得到“相與率”。更具體地說，“率者，自相與通”和《九章·衰分章注》：“凡所得率者，細則俱細，粗則俱粗，兩數(shù)相抱而已?！?18)依《匯?！繁?21頁，125頁校勘記校改。這兩句表述了率關(guān)系的一個性質(zhì)：各率乘或除同一個數(shù)，仍然描述原來的率關(guān)系(19)郭書春([35]，頁35)和李繼閔([34]，頁233)都用比例關(guān)系和線性關(guān)系來解釋率關(guān)系。換言之，一個率關(guān)系可以用多組率來描述，而將其中的一組率乘以不同的數(shù)就得到其他組率。最后，根據(jù)“等除法實”，劉徽界定相與率：相與率是同一率關(guān)系中這樣一組率，由這一率關(guān)系中的其他率關(guān)系對等數(shù)進行等除得到。劉徽所求“周徑相與之率”中“相與率”概念亦如此意(20)郭書春([35]，頁27)指出，這相當于互素概念。李繼閔也有同樣結(jié)論([34]，頁232)，并指出劉徽實際行文中并不嚴格區(qū)分“率”和“相與率”。。

劉徽不僅界定了相與率，還給出了相應的理論依據(jù)。他在今有術(shù)注中指出：

少者多之始，一者數(shù)之母，故為率者必等之于一。據(jù)粟率五、糲率三，是粟五而為一，糲米三而為一也。欲化粟為米者，粟當先本是一。一者，謂以五約之，令五而為一也。訖，乃以三乘之，令一而為三。如是，則率至于一，以五為三矣。

這一段引文給出了確定率關(guān)系的原則：“為率者必等之于一”(21)郭書春([35]，頁26)認為這也是確定率的方法。。同時，運用率關(guān)系“粟五糲三”的案例，對這一原則及其運用進行說明。

在率關(guān)系中，某物的率是一個數(shù)量；該數(shù)量(單位隨物而定)的某物能看作為“一”。此處的“一”是物品互換中的“一份”([35]，頁26；[34]，頁229)。例如：“粟五為一”和“糲三為一”分別是說：五個單位的粟可看作一(份)，三個單位的糲可看作一(份)。根據(jù)“為率者必等之于一”的原則，若粟與糲之間有率關(guān)系，那么一份粟對等于一份的糲；而兩者間的率關(guān)系就是：“粟率五、糲率三”。若化粟為糲，先要看已有的粟中包含多少份粟。這就是將粟的數(shù)量除以粟率5；再將粟的份數(shù)乘以糲的率3，得到份數(shù)相同的糲的數(shù)量。由此，根據(jù)粟與糲之間的率關(guān)系，一定數(shù)量的粟對等于份數(shù)相同但數(shù)量不同的糲。

不僅如此，上述引文還指出：“少者多之始，一者數(shù)之母”?？坍嬃藬?shù)量的基本性質(zhì)。首先，它以對仗的形式表明：事物的量與率之間有對應關(guān)系。其次，基于這一關(guān)系，前一句為后一句提供理由，說明數(shù)量由一而生。換言之，劉徽的率理論用兩種方式刻畫事物的數(shù)量關(guān)系。一方面，用度量單位描述事物數(shù)量的大小(以單位記)，這是具體的情形；另一方面，從率的角度，對關(guān)聯(lián)的事物用單位“一”描述——它們具有同樣多的“一”。例如：在粟糲交換關(guān)系中，粟10斗和糲6斗對等，而以率粟5糲3論，此實例中粟糲皆是二份“一”。

郭書春([35]，頁26)對劉徽上述思想的方法論特征進行了總結(jié)：“衡量一組物中諸物的率，要有一個公度，這個公度就是單位度量，亦即一，劉徽稱之為‘數(shù)之母’?！崩顕鴤ミM而指出：一者數(shù)之母的思想實質(zhì)上體現(xiàn)的中國古代數(shù)學的樸素信念，即幾何物件都能用適當選擇的單位度量出一個數(shù)值來[37]。因此，在劉徽看來，任何一個“數(shù)”都是由一生成，周徑率的精確值也是如此。用現(xiàn)在的話說：周徑率是一組整數(shù)。

3.2 周徑率及其近似值

在劉徽之前，人們就認識到了圓的周與徑之間具有相關(guān)性?！毒耪鹿g術(shù)》取周徑率為周三徑一。在《九章筭術(shù)·圓田術(shù)注》中，劉徽繼承并發(fā)展了這一觀點：

此以周徑，謂至然之數(shù)，非周三徑一之率也?！綀A之率，誠著于近，則雖遠可知也。

根據(jù)引文的前一句話，劉徽認為：周三徑一中的“周三”不是周率的準確值，故不能用來準確地表達周和徑之間的率關(guān)系；而準確的周徑率，即至然之數(shù)，是周率與徑率的準確值之間的關(guān)系。由此，如同《九章筭術(shù)》作者，劉徽肯定周徑之間存在率關(guān)系。另一方面，根據(jù)劉徽的率理論，周徑率作為一個率關(guān)系的特例，它由一對相互之間沒有等數(shù)的數(shù)組成，它們分別對應于周率和徑率的準確值。

進一步的問題是如何求得周徑率。劉徽通過割圓過程構(gòu)造劉徽圓，論證了圓田術(shù)的正確，為計算周徑率的方法奠定了基礎(chǔ)。根據(jù)這一方法，當圓內(nèi)割觚割至不可割時，得到的觚就是劉徽圓；所謂周徑率就是劉徽圓的周與徑之間的相與之率。不過，劉徽并未將圓“割至不可割”，只是從理論上對之進行分析。所以在實際計算中，劉徽使用的是一種近似計算方法：先給定圓的徑，從徑二尺的圓開始割觚，逐次求各觚的面，亦即得到觚周，再通過圓田術(shù)求觚冪。由于實際上沒有將觚割至不可割，他先計算實際所得觚的冪；根據(jù)這一觚冪，對圓冪做出估計，再用圓田術(shù)“半周半徑相乘為圓冪”逆求圓周。事實上，劉徽對192觚實施上述方法，得到他的第一組周徑率【周157，徑50】。另一方面，求觚面過程中要用到開方術(shù)，從而多半要遇到開方不盡的問題。在實際計算中，劉徽的處理方法是：把開方的結(jié)果截止在某個長度單位上(一般是忽位)，以滿足實際計算需求和可行性。

劉徽深知其計算結(jié)果只是周徑率的近似值。對于上述結(jié)果，他指出：“周率猶為微少?！逼浜螅瑒⒒沼挚偨Y(jié)道，“新術(shù)徑率猶當微少。則據(jù)周以求徑，則失之長；據(jù)徑以求周，則失之短……”不僅如此，劉徽還給出由逐次獲取的觚冪構(gòu)成的序列，認為序列各項之間的差值構(gòu)成率關(guān)系；從而“以率消息”，以此估算192觚冪與圓冪差值，求得近似圓冪；再割觚到3072觚冪來驗算，最終求得另一組率【周3927，徑1250】(22)具體討論，可參考[38]，其中，朱一文認為劉徽估算的是192觚冪與3072觚冪差值，再以后者來定圓冪。本文暫不分析劉徽的“以率消息”的具體細節(jié)。另，對這個率的相關(guān)記載，也有說法認為是祖沖之注(如李儼)，本文采納錢寶琮的意見[39]，認為是劉徽創(chuàng)作。。在實際應用中，劉徽推薦使用第一組率，對此組結(jié)果的評價則是“蓋盡其纖微矣”。所有這一切表明：劉徽本人清楚地認識的到：他給出的均只是周徑率的近似值，而不是“至然之數(shù)”(23)目前來看，劉徽的方法從本質(zhì)上也只能給出近似值。不過，劉徽心目中理想的周徑率也是“至然之數(shù)”組成的率，因而這個理想的周徑率也必須滿足前述所總結(jié)的率的重要性質(zhì)：以一組率數(shù)組成的數(shù)量關(guān)系，且“等之于一”。。

對于周徑率計算，中國古代數(shù)學家中祖沖之的成果最為顯赫。據(jù)《隋書》載：“宋末南徐州從事史祖沖之更開密法。以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率圓徑七，周二十二”([40]，頁388)。此處的關(guān)鍵是：祖沖之明確提出有圓周“正數(shù)”存在，即存在圓周準確值，而上述密、約兩率是周徑率的近似值而非精確值。

可惜的是，記載祖沖之如何計算周徑率的著作今已不存。對于祖沖之如何求“圓周正數(shù)”，李儼([12]，頁28)認為“或因劉徽割圓術(shù)方法繼續(xù)推算”，錢寶琮([13]，頁95)假定“他采用和劉徽割圓術(shù)相仿的方法”，《九章》李淳風注云：“徽雖出斯二法，終不能究其纖毫也。沖之以其不精，就中更推其數(shù)”。清《疇人傳》：“徽創(chuàng)以六觚之面割之……厥后祖沖之更開密法，仍是割之又割耳，未能于徽注之外，別立新術(shù)也?！薄吨袊鴶?shù)學史大系》中，何文炯([41]，頁121—122)據(jù)此二文獻記載，認為祖沖之“可能延續(xù)劉徽的工作”。最后，《中國科學技術(shù)史·數(shù)學卷》([3]，頁270)指出：“一般認為，他(指祖沖之)是利用劉徽的計算圓周率的程序求得π的8位有效數(shù)字的。”因而，在沒有發(fā)現(xiàn)新的文獻材料之前，本文亦沿用上述結(jié)論(24)對于祖沖之究竟如何求出約率(355，113)和密率(22，7)，學界尚未有定論。本文所關(guān)注亦非討論祖沖之如何從“正數(shù)”范圍求得上述兩個近似的率關(guān)系的具體方法。。

綜上所述，劉徽采用基于日常實踐的有窮方法研究和闡明了周徑相與之率的基本性質(zhì)。該方法的要點是：圓是日常實踐活動中可觸摸的物體，而物體有窮可分性，即通過有窮次切割可將有窮物體分割成有窮個不可再分割的部分；數(shù)量的一可公度性，即在恰當?shù)膯挝幌掠懈F事物的量總可用某一單位來度量或整數(shù)表達([21]，頁146)。在這一方法的基礎(chǔ)上，劉徽構(gòu)造劉徽圓，明確相與率概念，將周徑長度之間恒定的共變關(guān)系表達為周徑相與之率，即一組相互關(guān)聯(lián)的沒有等數(shù)的整數(shù)，最后計算周徑相與之率的近似值。而后，根據(jù)我國學者的考證與分析，正是沿用了這一理論途徑，祖沖之得到了他的周徑率。

3.3 周徑率與π的比較

在歐氏幾何中，圓周(circle，或歐氏圓)被定義為：距平面上一定點之距離為定長的點的軌跡，而定點稱為圓心；連結(jié)圓周上兩點并過圓心的線段為直徑([42]，頁4—5)。而線是無窮多點的軌跡，線只有長度，但沒有寬度；平面只有寬度和長度，但沒有厚度；圖形是點線面體的任意集合([42]，頁1)。因此，歐氏圓、圓周和直徑作為平面幾何圖形，圓周與直徑之比(ratio)的圓周率只是這些幾何圖形之間的關(guān)系。歐氏幾何學用公理化的方法描述這些幾何對象及其關(guān)系的性質(zhì)。基于上述定義和公理給定的基本概念，圓的相關(guān)性質(zhì)就可以被演繹地推導出來，如圓周曲線的連續(xù)性，圓周率π具有無理性和超越性等；而歐氏幾何學家給出的是π的近似值。

相應地，中國算學家劉徽繼承和發(fā)展先秦學者關(guān)于方圓是可觸摸物體的觀點和物體有窮可分思想；認為圓是其邊不可再割的多角形物體；周徑率則是能夠從可觸摸物體加工而成的物體的數(shù)量關(guān)系。同時，根據(jù)劉徽所闡發(fā)的數(shù)一可共度和相與之率的思想，周徑率的精確值是一組整數(shù)。最后，劉祖在日常實踐活動有窮方法的基礎(chǔ)上設(shè)計算法，通過計算給出一組周徑率的近似值。

兩相比較，不難得出如下結(jié)論：從研究對象看，劉徽圓不同于歐氏幾何圓，劉祖所計算的周徑率不是圓周率；從數(shù)學性質(zhì)看，能構(gòu)成周徑率的周徑之量須“等之于一”，其精確值是一組整數(shù)，圓周率的精確值是無理數(shù)π；從計算結(jié)果看，劉祖計算的是周徑率而不是π的近似值。值得一提的是：周率和徑率之比值這一類概念未于劉祖二人所遺留的文字。李繼閔早就指出，古今“率”含義不同，古率并非比例值。([34]，頁241—242)實際上，“率”字用來指比值是始于近代的用法。如果我們回到現(xiàn)代數(shù)學的語境，用今天之比值來描述古算周徑率的話，那么也可以說：中國古代的圓周和直徑之比值是一個有理數(shù)。

雖然，在研究對象、方法和結(jié)論等方面，上述源于兩種不同傳統(tǒng)的理論大相徑庭。然而，這絕不意味著兩者之間不具可比性。從應用的角度看，它們是用不同的方法處理相同的日?？捎|摸物體。當歐氏傳統(tǒng)學者面臨一個經(jīng)驗的具體的圓形物體的計算問題時，他首先將該經(jīng)驗性圓形物投射為歐氏圓，或用后者描述前者；然后采用歐氏幾何處理相應的計算問題，得到相應的結(jié)論；最后對該結(jié)論做經(jīng)驗解釋，使得解釋后的結(jié)論成為原圓形物計算問題的解。相較之下，當中算傳統(tǒng)的學者面臨同樣的計算問題時，他會將該圓形物視為劉徽圓，采用中算的方法處理相應的計算問題，并將計算結(jié)果視為原圓形物計算問題的解。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，在涉及圓形物的周長和直徑關(guān)系的應用領(lǐng)域，劉徽的方法在較長的歷史時期內(nèi)都能取得比歐氏幾何更為精確的計算結(jié)果。這種可比性或許也是將周徑率誤認為圓周率的原因之一。

4 總結(jié)與展望

本文按照中算史本土化研究程序，采用據(jù)中釋中的方法研究劉徽《九章筭術(shù)注》中的周徑率理論，主要結(jié)論可概括如下：在先秦文化的背景下，劉徽采用有窮主義方法構(gòu)建劉徽圓；在“等之于一”的率概念基礎(chǔ)上，提出不同于當今平面幾何中圓周率概念的周徑率概念，并計算了周徑率的近似值。由此展現(xiàn)了中算的特點。

反觀當今科技，對于計算機和人腦信息處理過程而言，信息被有窮編碼、有窮輸入、有窮步加工、有窮輸出信息，故整個過程是有窮的。同時，目前的科學認識支持如下觀點：我們?nèi)祟愓J知系統(tǒng)是有窮的和離散的。因此，如何采用有窮方法處理經(jīng)驗對象？這是一個值得關(guān)注的問題。

本文的研究表明：由劉徽發(fā)展起來的基于經(jīng)驗的有窮方法，能直接用于解決一些涉及經(jīng)驗對象計算問題，在歷史上曾具有較強的解決問題能力。我國科技發(fā)展的經(jīng)驗表明：借鑒本土歷史文化資源，能夠為解決當代問題提供有價值的啟發(fā)。因此，我們將進一步采用據(jù)中釋中的方法，探討劉徽處理經(jīng)驗圖形的有窮方法，在當代科學的背景下古為今用，探索更有效的信息和數(shù)據(jù)處理方法，為解決上述問題作出努力。

致 謝感謝朱一文副教授，他在本文寫作過程中提供了許多幫助和有益的意見；感謝韓琦教授，他對本文提供了文獻和史料上的幫助和寶貴的修改意見。本文的不足與舛誤，責任由作者承擔。