單自由度復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的奇異性探究

王亞楠

摘 要：受結(jié)構(gòu)模式與原動(dòng)力輸入方式的影響，單自由度平面連桿機(jī)構(gòu)存在顯著的運(yùn)動(dòng)奇異性問(wèn)題。本文從闡釋單自由度復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的概念與類(lèi)型入手，針對(duì)等效四連桿機(jī)構(gòu)的死點(diǎn)位置進(jìn)行了分析，圍繞包含2～3個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)的平面六連桿機(jī)構(gòu)與單自由度雙蝶八連桿機(jī)構(gòu)兩個(gè)實(shí)例針對(duì)其奇異性進(jìn)行了探討，以供參考。

關(guān)鍵詞：平面連桿機(jī)構(gòu)；單自由度；奇異性；等效四連桿機(jī)構(gòu)

1引言

奇異性主要用來(lái)描述連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性，當(dāng)連桿機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中到達(dá)了死點(diǎn)位置，受輸入極限值的影響，連桿機(jī)構(gòu)即會(huì)發(fā)生瞬時(shí)失控或鎖死問(wèn)題，嚴(yán)重妨礙到連桿機(jī)構(gòu)的連續(xù)性運(yùn)動(dòng)。然而同樣也存在部分裝置需尋找到死點(diǎn)位置完成自鎖，因此針對(duì)單自由度復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的奇異性研究具有一定的實(shí)用價(jià)值。

2單自由度復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的概念與類(lèi)型

2.1等效連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性

從一階等效連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)速率與運(yùn)動(dòng)特性角度入手，該機(jī)構(gòu)主要由構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)瞬心承擔(dān)瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)作用，以此保障其繼承原始連桿機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)特征。鑒于等效連桿機(jī)構(gòu)的桿件數(shù)量少于原始復(fù)雜機(jī)構(gòu)，因此在進(jìn)行機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)特性判斷時(shí)也需要應(yīng)用全新的方法。通常在單自由度復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)中，主要借助等效四連桿機(jī)構(gòu)法用以展示其一階運(yùn)動(dòng)特性，等效四連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)部包含4個(gè)速度瞬心，這些速度瞬心位于原始連桿相鄰部位，用以判斷連桿機(jī)構(gòu)的速度分布狀態(tài)及運(yùn)動(dòng)傳遞特性，其中選取相應(yīng)4個(gè)瞬心充當(dāng)?shù)刃倪B桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)，從而描述單自由度平面連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特征。

具體來(lái)說(shuō)，等效四連桿機(jī)構(gòu)的主要構(gòu)件由原始連桿機(jī)構(gòu)中的4個(gè)連桿與4個(gè)速度瞬心構(gòu)成，其中選取1個(gè)瞬心充當(dāng)其輸入關(guān)節(jié)，用以連接復(fù)雜連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)部的輸入桿與機(jī)架桿，而另外2個(gè)連桿則自動(dòng)成為連桿機(jī)構(gòu)中的輸出桿和連架桿。將4個(gè)連桿以機(jī)架、輸入、連架、輸出的次序進(jìn)行排列連接，相鄰兩桿件的速度瞬心即構(gòu)成等效四連桿機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)關(guān)節(jié)，用以保障復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)特性。

2.2等效四連桿機(jī)構(gòu)的主要類(lèi)型

在單自由度復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)中尋找等效四連桿機(jī)構(gòu)時(shí)，首先要選取對(duì)應(yīng)的機(jī)架桿與輸入桿，將二者相連即可定位輸入關(guān)節(jié)，隨即在機(jī)構(gòu)內(nèi)部任意選取2個(gè)桿件作為連架桿和輸出桿，進(jìn)而依照上述次序?qū)U件有序連接，即可在任意兩桿件的連接處找到運(yùn)動(dòng)瞬心，確定其中的4個(gè)關(guān)節(jié)，而相鄰2個(gè)關(guān)節(jié)間的等效桿即成為機(jī)構(gòu)中的4個(gè)桿件。

通常情況下，等效四連桿機(jī)構(gòu)主要涵蓋以下兩種分類(lèi)：類(lèi)型A，機(jī)構(gòu)中的桿件由原復(fù)雜連桿機(jī)構(gòu)中的四桿環(huán)直接構(gòu)成；類(lèi)型B，機(jī)構(gòu)中的桿件來(lái)源于原復(fù)雜連桿機(jī)構(gòu)中的非四桿環(huán)，其桿件既有可能是桿環(huán)中的部分桿件，也有可能是其他環(huán)中的桿件。受其桿件來(lái)源差異性影響，等效四連桿機(jī)構(gòu)的桿件組合方式也呈現(xiàn)出多種形態(tài)。以StephensonⅡ型六桿機(jī)構(gòu)為例，[A0ECC0]結(jié)構(gòu)中的連桿EC與[AA0C0F]結(jié)構(gòu)中的三元桿BCD的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持一致，當(dāng)其中的桿1、桿2分別充當(dāng)機(jī)架桿與輸入桿，運(yùn)動(dòng)瞬心[I12]充當(dāng)輸入關(guān)節(jié)時(shí)，其中的桿[A0E]與桿[A0AB0]即可等效成為相同單元，而[A0ECC0]即為復(fù)雜連桿機(jī)構(gòu)中的等效四連桿機(jī)構(gòu)。在此需要注意的是，其中選取桿AD與桿[B0B]分別作延長(zhǎng)線(xiàn)，其交點(diǎn)也可作為運(yùn)動(dòng)瞬心[I25]。由此該六桿機(jī)構(gòu)中的等效四連桿機(jī)構(gòu)主要由原始桿1、2、5、6與[I12]、[I25]、[I56]以及[I61]組成。此外，倘若在該六桿機(jī)構(gòu)中選取桿1、2作為機(jī)架桿與輸入干，選取桿3、5作為連架桿與輸出桿，則四桿件與其對(duì)應(yīng)瞬心[I12]、[I23]、[I35]以及[I51]也可構(gòu)成一個(gè)等效四連桿機(jī)構(gòu)[A0ADF]。

3關(guān)于等效四連桿機(jī)構(gòu)的死點(diǎn)位置分析

等效四連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)死點(diǎn)主要位于其連桿與輸入桿共線(xiàn)處或3個(gè)非輸入關(guān)節(jié)共線(xiàn)處，由于單自由度復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)部含有數(shù)量較多的桿件，其桿環(huán)與輸入方式也呈現(xiàn)出多樣性特征，針對(duì)死點(diǎn)位置與機(jī)構(gòu)特征的分析存在一定的難度，而依托等效四連桿機(jī)構(gòu)法進(jìn)行死點(diǎn)位置研究可以為該問(wèn)題的解決提供借鑒思路。

通常等效四連桿機(jī)構(gòu)的4個(gè)關(guān)節(jié)中僅包含1個(gè)輸入關(guān)節(jié)，等效四連桿機(jī)構(gòu)的死點(diǎn)位置也可看做復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的死點(diǎn)位置，因此其判斷規(guī)則可總結(jié)為以下兩點(diǎn)：其一，當(dāng)位于復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)部的等效四連桿機(jī)構(gòu)的3個(gè)非輸入關(guān)節(jié)共線(xiàn)，則其判斷該復(fù)雜機(jī)構(gòu)的死點(diǎn)位置；其二，倘若任意復(fù)雜平面機(jī)構(gòu)中的等效四連桿機(jī)構(gòu)位于死點(diǎn)位置，則該復(fù)雜機(jī)構(gòu)也一定位于死點(diǎn)位置。在此需要注意的是，倘若類(lèi)型A中的等效四連桿機(jī)構(gòu)位于死點(diǎn)位置，則其原始復(fù)雜機(jī)構(gòu)也必然處于死點(diǎn)位置，同時(shí)也可推斷出類(lèi)型B中的等效四連桿機(jī)構(gòu)處于死點(diǎn)位置；同理類(lèi)型B中的等效四連桿機(jī)構(gòu)處于死點(diǎn)位置也可決定其原始復(fù)雜機(jī)構(gòu)處于死點(diǎn)位置，但卻并不能判斷類(lèi)型A的等效四連桿機(jī)構(gòu)處于死點(diǎn)位置，這是因?yàn)轭?lèi)型B中的等效四連桿機(jī)構(gòu)的桿件來(lái)源于原復(fù)雜機(jī)構(gòu)中的不同環(huán)。

具體來(lái)說(shuō)，假設(shè)選取某桿件1、2分別作為等效四連桿機(jī)構(gòu)中的機(jī)架桿與輸入桿，選取任意p、q桿作為連架桿與輸出桿，其4個(gè)桿件對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)瞬心分別為[I12]、[I2p]、[Ipq]以及[I1q]。其中桿件p、q、2的速度關(guān)系為：

[ωpω2=I12I2pI1pI2p]

[ωqω2=I12I2qI1qI2q]

當(dāng)該復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)位于死點(diǎn)位置時(shí)，上述公式即可得到無(wú)窮大值，[I1pI2p]的值為0，兩個(gè)瞬心重合，且瞬心[Ipq]在直線(xiàn)[I1pI1q]與直線(xiàn)[I2pI2q]上，該復(fù)雜平面機(jī)構(gòu)中等效四連桿機(jī)構(gòu)的非輸入關(guān)節(jié)[I2p]、[Ipq]以及[I1q]共線(xiàn)。倘若在該復(fù)雜平面結(jié)構(gòu)中任意選取兩個(gè)桿件充當(dāng)?shù)刃倪B桿機(jī)構(gòu)中的桿件p與q，當(dāng)類(lèi)型A中的等效四連桿機(jī)構(gòu)位于死點(diǎn)位置，則可判斷類(lèi)型B中的等效四連桿機(jī)構(gòu)也必然也位于死點(diǎn)位置。由此可證明，該判斷規(guī)則為單自由度復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)死點(diǎn)位置的充分必要條件，能夠有效判斷出連桿機(jī)構(gòu)死點(diǎn)的幾何構(gòu)型。

4基于實(shí)例的單自由度復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的奇異性探討

4.1包含2～3個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)的平面六連桿機(jī)構(gòu)

以Stephenson六連桿機(jī)構(gòu)作為研究對(duì)象，首先選取其中的2個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)替換為移動(dòng)關(guān)節(jié)，借助等效四連桿機(jī)構(gòu)判斷方法針對(duì)其死點(diǎn)位置進(jìn)行判斷。將移動(dòng)關(guān)節(jié)A設(shè)定為機(jī)構(gòu)中的輸入關(guān)節(jié)，分別選取構(gòu)件3、4作為機(jī)構(gòu)中的2個(gè)桿件，依托等效四連桿機(jī)構(gòu)法可判斷出該機(jī)構(gòu)的死點(diǎn)位置位于類(lèi)型A的等效四連桿機(jī)構(gòu)[I12I24I34I13]中瞬心[I24]、瞬心[I34]與瞬心[I13]所處的同一條直線(xiàn)上，即為該機(jī)構(gòu)的奇異位置。同時(shí)，由于四桿環(huán)ABCD構(gòu)成了曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，依據(jù)死點(diǎn)位置判斷原則可判斷其位于死點(diǎn)位置，其中桿件BC與滑塊導(dǎo)路方向保持垂直關(guān)系。假設(shè)選取構(gòu)件4、5作為等效四連桿機(jī)構(gòu)中的連架桿與輸出桿，則依據(jù)三心定理可判斷出桿件2、5的運(yùn)動(dòng)瞬心[I25]與桿件1、5的運(yùn)動(dòng)瞬心[I15]所處的具體位置，進(jìn)而在類(lèi)型B的等效四連桿機(jī)構(gòu)[I12I25I45I15]中瞬心[I25]、[I45]與[I15]位于同一條直線(xiàn)上，即為該復(fù)雜機(jī)構(gòu)的奇異位置，此時(shí)桿件EF與滑塊導(dǎo)路方向呈垂直關(guān)系。

接下來(lái)同樣以Stephenson六連桿機(jī)構(gòu)作為研究對(duì)象，選取其中的3個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)替換為移動(dòng)關(guān)節(jié)，設(shè)關(guān)節(jié)A為輸入關(guān)節(jié)，桿1、2分別作為機(jī)架桿與輸入桿，桿3、4為連架桿與輸出桿，則可判斷處當(dāng)該機(jī)構(gòu)中的等效四連桿機(jī)構(gòu)[I12I24I34I13]中瞬心[I24]、[I34]與[I13]處于同一條直線(xiàn)上時(shí)，即為該機(jī)構(gòu)的奇異位置。當(dāng)選擇桿4、5作為連架桿和輸出桿時(shí)，則在機(jī)構(gòu)中的等效四連桿機(jī)構(gòu)[I12I25I45I15]中的瞬心[I25]、[I45]、[I15]處于同一條直線(xiàn)上時(shí)，即可判斷為該機(jī)構(gòu)的奇異位置。

4.2單自由度雙蝶八連桿機(jī)構(gòu)

以PENNOCK所設(shè)計(jì)的單自由度雙蝶八連桿機(jī)構(gòu)作為研究對(duì)象，利用等效四連桿機(jī)構(gòu)法尋找其死點(diǎn)位置，便可以有效判斷出該復(fù)雜機(jī)構(gòu)的奇異性。在該機(jī)構(gòu)中任意選取桿1、2作為機(jī)架桿與輸入桿，選取桿3、7作為連架桿與輸出桿，將其依照指定次序進(jìn)行組合，構(gòu)成等效四連桿機(jī)構(gòu)[I12I23I37I17]。當(dāng)該等效四連桿機(jī)構(gòu)中的三個(gè)非輸入關(guān)節(jié)[I23]、[I37]與[I17]共線(xiàn)時(shí)，即可判斷出該等效四連桿機(jī)構(gòu)處于死點(diǎn)位置，進(jìn)而推斷出該單自由度雙蝶八連桿機(jī)構(gòu)同樣處于死點(diǎn)位置，由此便可以準(zhǔn)確有效地判斷出單自由度復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的奇異性，為同類(lèi)型連桿機(jī)構(gòu)的研究提供重要借鑒價(jià)值。

5結(jié)論

通過(guò)研究等效四連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性與基本類(lèi)型，能夠?yàn)閱巫杂啥葟?fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)的奇異性判斷提供重要研究思路。當(dāng)前已有多名國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了諸如等效機(jī)械手工作空間法、虛桿等效法、判別式法、Clifford代數(shù)法等研究方法，未來(lái)還應(yīng)進(jìn)一步針對(duì)復(fù)雜平面連桿機(jī)構(gòu)在死點(diǎn)位置的構(gòu)型進(jìn)行深入研究。

參考文獻(xiàn)

[1]王俊卿，王愛(ài)玲，宋勝濤等.混合驅(qū)動(dòng)平面3-RRR機(jī)構(gòu)的免奇異分析及仿真[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2010，26，（5）.

[2]劉霞.平面多回路機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度、奇異位形分析及控制實(shí)驗(yàn)研究[D].河北工業(yè)大學(xué)，2015.

[3]馬剛，王三民，袁茹等.速度瞬心解析法及其在平面Ⅲ級(jí)機(jī)構(gòu)奇異性分析中的應(yīng)用研究[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，28，（5）.