對2017年全國卷一道高考試題的探究

陳言

2017年高考全國理科卷I第16題內(nèi)涵豐富，是教學(xué)的好素材，可通過一題多解、一題多變，挖掘試題中所隱藏的某些規(guī)律，提煉數(shù)學(xué)思想方法，提高教學(xué)實效.

1 試題再現(xiàn)

（2017年高考全國I卷·理16）如圖1，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓0上的點，？DBC，？ECA，？FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起？DBC，？ECA，？FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐，當(dāng)？ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為____.

本題以幾何知識為背景，通過折疊將平面圖形轉(zhuǎn)化為空間圖形，然后研究三棱錐體積的最大值，試題將知識、方法、思想融為一體，突出研究性、探索性和實踐性，綜合性較強(qiáng)、難度較大，意在考查考生空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力、運算求解能力、分析問題和解決問題能力;考查考生在處理有關(guān)折疊和最值問題上的思想方法，

折疊問題是立體幾何中的一類典型問題，而最值問題又是歷年高考的高頻考點問題，折疊與最值問題是命制試題的極佳素材，將兩者綜合起來考查使得試題內(nèi)涵豐富，思想鮮明，考生解決此類問題的思維過程應(yīng)該是（1）分析題設(shè)條件，弄清楚平面圖形是如何折疊成空間圖形的，并根據(jù)條件作出正確的圖形;（2）分清折疊前后兩圖形中元素間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，哪些發(fā)生了變化，哪些沒有變化，即對于折疊前后線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較，觀察并判斷變化情況;（3）數(shù)學(xué)建模、代數(shù)計算、邏輯論證、求得結(jié)果.

2 解法探究

筆者注意到多數(shù)以“高考試題匯編”為名的書籍中，這道試題的解答幾乎都是通過構(gòu)造三棱錐體積函數(shù)模型，利用求導(dǎo)數(shù)的方法予以解決，其實同樣屬于“通性通法”，本題還可以利用基本不等式解答：

3 變式探究

思考1翻閱近五年的全國卷可以發(fā)現(xiàn)，與球有關(guān)的問題是高考的熱點問題，以理科試卷為例，涉及對球的查考的試題有：2018年全國卷Ⅲ第10題、2017年全國卷Ⅲ第8題、2016年全國卷I第6題、2016年全國卷Ⅲ第10題、2015年全國卷I第11題、2015年全國卷Ⅱ第9題、2014年全國大綱卷第8題，球是特殊的空間幾何體，把涉及球與柱體的切接、球與錐體的切接、球與球相切、球與幾何體各條棱相切、球與旋轉(zhuǎn)體切接的這些問題命制成試題，能夠有效考查考生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想方法，因此筆者借鑒2016年全國新課標(biāo)Ⅲ卷的第10題，嘗試對本題進(jìn)行改編，探索按題中要求折疊后，當(dāng)三棱錐的內(nèi)切球體積最大時，所得三棱錐體積的大小，

探究如圖2，連接OD交BC與點G，

經(jīng)過以上探究，可以編制試題如下：

試題變式1如圖4，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上等邊三角形ABC的中心為O，D，E，F(xiàn)為圓O上的點，？DBC，？ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐，隨著ABC邊長的變化，當(dāng)三棱錐的內(nèi)切球半徑最大時，三棱錐體積為____.

思考2在原題中，命題者在紙片上放一個等邊三角形（三角形的中心與圓心重合），由解答過程可知當(dāng)圓心到等邊三角形各邊的距離為2時，所得三棱錐體積最大，如果把題中等邊三角形改成正方形，且正方形的中心與圓心重合，保留其它相應(yīng)條件，然后按題中方法再進(jìn)行一次折疊，那么圓心到正方形各邊的距離是多少時所得四棱錐的體積最大？

探究如圖4，正方形ABCD的中心與圓O的圓心重合，E，F(xiàn)，M，Ⅳ為圓O上的點，EAB，F(xiàn)BC，MCD，NDA分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形，連接OF交BC于點G，

由題意知OF上BC，

設(shè)OG =x，則FG=5-x，

沿虛線剪開折疊成四棱錐后，

故當(dāng)x=2時四棱錐的體積最大，

于是原試題可以進(jìn)行如下第二次改編：

試題變式2如圖4，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O.E，F(xiàn)，M，N為圓O上的點EAB，F(xiàn)BC，MCD，NDA分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起EAB，F(xiàn)BC，MCD.NDA，使得E，F(xiàn)，M，Ⅳ重合，得到四棱錐，隨著正方形ABCD邊長的變化，當(dāng)四棱錐體積取得最大值時，圓心O到正方形各邊的距離為____.

思考3我們發(fā)現(xiàn)圓形紙片上不論是等邊三角形還是正方形，只要按照題中所給方法將圖形折疊后，若所得錐體的體積最大，則圓心O到錐體底面各邊距離都等于2，這就引發(fā)一個思考，如果僅將原題中的等邊三角形改成正多邊形，再模仿原題的折疊方式折疊成一個正棱錐，當(dāng)正棱錐的體積最大時，圓心O到底面正多邊形各邊的距離是否還是27若把圓形紙片的半徑改為r，再實施相同的操作，當(dāng)正棱錐體積最大時，圓心O到正多邊形各邊的距離為一，

探究圓形紙片的圓心為O，半徑為r，該紙片上的正多邊形A1A2A3…An的中心為O，B1，B2，B3，…，Bn為圓上的點，這些點與正多邊形的各邊構(gòu)成分別以B1，B1，B3，…，Bn為頂點的等腰三角形（如圖5），現(xiàn)按原題方式折疊成正n棱錐，連接OB1交A1A2于點M，由題意知OBl上A1 A2，設(shè)OM =x，

試題變式3如圖5，圓形紙片的圓心為O，半徑為r，該紙片上的正多邊形A1A2A3…An中心為O.B1，B2，B3，…，Bn為圓上的點，B1A1A2，B2 A2A3，…，BnAnA1分別是以A1A2，A2A3，…，AnA1為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以A1A2，A2A3，…，AnA1為折痕折起B(yǎng)1A1A2，B2 A2A3，…，BnAnA1，使得B1，B2，B3，…，Bn重合，得到一個正n棱錐，隨著正多邊形A1A2A3…An邊長的變化，當(dāng)正n棱錐的體積最大時，圓心O到正多邊形各邊的距離為____.

4 教學(xué)建議

從2016年起教育部考試中心經(jīng)過“調(diào)布局、克難點”、修訂“考試大綱”，將“立德樹人、服務(wù)選拔、導(dǎo)向教學(xué)”作為高考的核心立場與基本功能，由此設(shè)計和制定了能夠充分體現(xiàn)這一核心立場的“一體四層四翼”高考評價體系，并全面對接基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)和高考綜合改革，在高考試卷上強(qiáng)化對核心知識、關(guān)鍵能力的考查，強(qiáng)化學(xué)科核心素養(yǎng)的滲透，強(qiáng)化應(yīng)用意識，突出創(chuàng)新能力，試題不斷推陳出新，作為一線教師應(yīng)認(rèn)真研究課程標(biāo)準(zhǔn)、考試大綱和近年來的高考試題，充分利用高考試題的典型性、導(dǎo)向性組織課堂教學(xué)，從知識、規(guī)律、思想、方法等方面引導(dǎo)學(xué)生分析研究高考試題，通過一題多解、一題多變，不斷創(chuàng)設(shè)新穎的問題情境，構(gòu)造一個個有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題，圍繞必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值，從認(rèn)知水平和能力水平等各層面上精準(zhǔn)解決學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的疑點和難點，有效培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

5 結(jié)束語

高考試題是教師教學(xué)以及學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)典素材，教師在日常教學(xué)工作中，應(yīng)加強(qiáng)對高考試題的研究與思考，探索試題背后的內(nèi)在本質(zhì)，借鑒試題命制的手法，對試題進(jìn)行變式和拓展延伸，積極嘗試設(shè)計一些新試題，這樣做一是能夠準(zhǔn)確評價學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的發(fā)展?fàn)顩r、實際水平，二是能夠根據(jù)學(xué)生實際情況，因材施教，最終達(dá)到提高課堂教學(xué)實效、提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.