2018年高考全國l卷理科數(shù)學(xué)第21題的若干思考

黃順進(jìn) 黃耿躍

1 試題呈現(xiàn)

2 初步分析

題目所給的函數(shù)是由反比函數(shù)、正比例函數(shù)、對數(shù)函數(shù)3個(gè)基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算組合而成，給考生的感覺是題干簡潔，看了就會想往下做，具有一定的親和力，第一問討論函數(shù)的單調(diào)性，中等生基本能拿到分?jǐn)?shù)，第二問證明不等式，對考生的思維能力、運(yùn)算能力等要求較高，且要懂得利用第（1）問的結(jié)論，敢于代入不等式的左邊進(jìn)行化簡，才能順利求證不等式.

3 第（Ⅱ）問錯(cuò)誤解法的思考

事實(shí)上，這樣的問題等價(jià)是錯(cuò)誤的，理由就是把存在性問題，看成任意性問題，且沒有注意到a與x1，x2還是互相關(guān)聯(lián)的，導(dǎo)致產(chǎn)生錯(cuò)誤的解法.

4 試題第（Ⅱ）問多種解法的思考

解法1構(gòu)造關(guān)于x1或X2的函數(shù)

由第（ I）問知，f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

解法2構(gòu)造關(guān)于a的函數(shù)

從而原不等式得證，

評注由第（I）問有x1+X2=a，X1X2 =1可知x1，x2，a三者是存在一定的內(nèi)在聯(lián)系的，是互相牽制的，只要選定其中一個(gè)為變量，就可構(gòu)造出新函數(shù)，于是也可以構(gòu)造出關(guān)于a的函數(shù)，但中間要利用到洛比達(dá)法則或極限的思想進(jìn)行說明，

解法3 利用函數(shù)的單調(diào)性

從而，原不等式得證，

評注在構(gòu)造新函數(shù)前，必須把參數(shù)a消去，如果所構(gòu)造的函數(shù)含有參數(shù)a將使求解陷入死胡同，難以為繼，

解法4 利用整體換元構(gòu)造函數(shù)

5 試題題源的思考

很多教師看到全國1卷的這道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題，第一時(shí)間就想到2011年湖南文科第21題：

（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2，記過點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直線的斜率為k，問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由，

筆者以為，不能因?yàn)檎业搅烁呖碱}的題源，就認(rèn)為高考出這種題目水平太低了，而是要深入地去反思：為什么高考敢這樣考？筆者認(rèn)為，這種題目是經(jīng)典題，它蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)的思想方法，是可以區(qū)分不同思維層次的考生，所以高考敢于用推陳出新命題手法命制試題，這應(yīng)該引起一線教學(xué)的重視.

6 對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中雙元問題的復(fù)習(xí)思考

17世紀(jì)，數(shù)學(xué)的發(fā)展突飛猛進(jìn)，實(shí)現(xiàn)了從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折，變量數(shù)學(xué)又經(jīng)歷了單變量到多變量的發(fā)展變化，應(yīng)該說中學(xué)階段在研究變量問題時(shí)，更主要的還是以單變量問題為主，所以，這就給了我們求解雙變量問題的啟發(fā)，即：想方設(shè)法把雙元問題通過換元或其它方法，轉(zhuǎn)化成單變量問題，才能進(jìn)行問題求解，事實(shí)上，本文提供的4種方法的本質(zhì)都是轉(zhuǎn)化成構(gòu)造單變量函數(shù)問題.