鄭雪靜 陳清華
一線數(shù)學(xué)教師往往習(xí)慣于解題和就題論題,卻很少站在命題者的角度探尋試題命制的源流,事實(shí)上,數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題、高考試題、自主招生試題通常都具有深刻的命題背景,善于追溯問(wèn)題的本源,而不是像波利亞所說(shuō)的“像是帽子里跑出一只兔子”那樣憑空而來(lái),下面的兩道試題的分析期許能起到拋磚引玉的效果,
這是一個(gè)含有6個(gè)未知量的不等式,命題者是如何想到這樣不等式?為何這6個(gè)實(shí)數(shù)之間會(huì)存在這樣的關(guān)系?下面我們來(lái)探個(gè)究竟.
1.1 試題I的源流
兩個(gè)引理,已經(jīng)啟示我們命題的背景了,下面的解法進(jìn)一步地告訴我們這個(gè)不等式的“源”.
1.2 試題I的解答
其實(shí),不僅在競(jìng)賽試題中有相應(yīng)的命題背景,高考中有些數(shù)學(xué)試題也具有豐富的問(wèn)題本“源”.
2 試題Ⅱ
(2015年高考福建卷·理15)一個(gè)二元碼由0和1組成的數(shù)字串X1X2…xn(n∈N+),其中xk(k=l,2…,n)稱(chēng)為第七位碼元,二元碼是通信中常用的碼,但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?).已知某種二元碼x1X2…'X7的碼元滿(mǎn)足如下校驗(yàn)方程組:
現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于____.
該試題源于什么背景?命題者是如何想到的?為何用3個(gè)校驗(yàn)方程就可判定哪位碼元發(fā)生錯(cuò)誤?下面我們也來(lái)探個(gè)究竟.
2.1 試題Ⅱ的源流
計(jì)算機(jī)、通信等以二進(jìn)制表示數(shù)據(jù),但由于受元器件質(zhì)量、電路故障或者噪音干擾等因素的影響,在對(duì)二進(jìn)制數(shù)據(jù)進(jìn)行處理、傳輸和存儲(chǔ)的過(guò)程中,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)誤碼(將1變?yōu)?或?qū)?變?yōu)?).這就有如何發(fā)現(xiàn)、糾正、解決誤碼的問(wèn)題,所有解決這類(lèi)問(wèn)題的方法就是在原始數(shù)據(jù)(數(shù)碼位)基礎(chǔ)上增加幾位校驗(yàn)(冗余)位,奇偶校驗(yàn)碼是一種增加二進(jìn)制傳輸系統(tǒng)最小距離的簡(jiǎn)單和廣泛采用的方法,分為奇校驗(yàn)碼和偶校驗(yàn)碼,一個(gè)二進(jìn)制碼字,如果它的碼元有奇數(shù)個(gè),稱(chēng)其具有奇性,如碼字:“1101101”有5個(gè)1,因此,這個(gè)碼字具有奇性,同樣,偶性碼字具有偶數(shù)個(gè)1.奇偶校驗(yàn)是給每一個(gè)碼字加一個(gè)校驗(yàn)位,用它來(lái)構(gòu)成奇性或偶性校驗(yàn),但奇偶校驗(yàn)編碼通過(guò)增加一位校驗(yàn)位來(lái)使編碼中1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)(奇校驗(yàn))或者為偶數(shù)(偶校驗(yàn)),其利用的是編碼中1的個(gè)數(shù)的奇偶性作為依據(jù),所以不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)位錯(cuò)誤,在一個(gè)典型系統(tǒng)里,在傳輸以前,由奇偶發(fā)生器把奇偶校驗(yàn)位加到每個(gè)字中,原有信息中的數(shù)字在接收機(jī)中被檢測(cè),如果沒(méi)有出現(xiàn)正確的奇、偶性,這個(gè)信息標(biāo)定為錯(cuò)誤的,這時(shí)系統(tǒng)就會(huì)把錯(cuò)誤的字拋掉或者請(qǐng)求重新發(fā)送,
在計(jì)算機(jī)中,有種位運(yùn)算符,其針對(duì)兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)的位進(jìn)行邏輯運(yùn)算,包括“與”、“非”、“或”、“異或(XOR)”4種運(yùn)算,對(duì)于“異或”運(yùn)算,這種算法最早是用在無(wú)線電通信上,那時(shí)計(jì)算機(jī)還沒(méi)出現(xiàn),電碼原文跟密鑰進(jìn)行異或得到密文,密文發(fā)出去后,接收方用相同密鑰對(duì)密文進(jìn)行異或計(jì)算得到原文,比如,通過(guò)1001 XOR 1111=0110加密得到密文;反過(guò)來(lái),通過(guò)0110 XOR 1111=1001解密得到原文,
對(duì)于接收方,可以根據(jù)3個(gè)校驗(yàn)方程對(duì)接收到的信息進(jìn)行奇偶測(cè)試:
若3個(gè)校驗(yàn)方程都成立,即方程式右邊都等于0,則說(shuō)明沒(méi)有錯(cuò),若不成立即方程式右邊不等于0,說(shuō)明有錯(cuò),從3個(gè)方程式的右邊的值,可以判斷是哪一位出錯(cuò),比如,是第3位數(shù)字出錯(cuò),則A=0(因?yàn)榇朔匠虥](méi)有x3),而B(niǎo)=l,C=1.它們可構(gòu)成二進(jìn)制ABC,以C為最低有效位,則錯(cuò)誤位置就可以簡(jiǎn)單地用二進(jìn)數(shù)ABC=011表示,其實(shí),因(011)2=3,從而說(shuō)明第3位數(shù)字出錯(cuò),若3個(gè)方程式的右邊的值為001,因(001)2 =1,說(shuō)明是第1位出錯(cuò).
2.2 試題Ⅱ的解答
發(fā)現(xiàn)方程組中的第一個(gè)校驗(yàn)方程和第三個(gè)校驗(yàn)方程不成立,第二個(gè)校驗(yàn)方程成立,由第一個(gè)和第三個(gè)校驗(yàn)方程說(shuō)明第1、3、4、5、6、7中有一位碼元發(fā)生錯(cuò)誤,由第二個(gè)校驗(yàn)方程說(shuō)明第2、3、6、7位中沒(méi)有碼元發(fā)生錯(cuò)誤,因第一個(gè)校驗(yàn)方程和第三個(gè)校驗(yàn)方程都有X5,從而可以推知發(fā)生錯(cuò)誤的碼元只能是第5位,即k=5.從而通信過(guò)程中正確的碼元應(yīng)該為1101001.
解法2由解法1的方程組(2),得到三個(gè)校驗(yàn)方程的結(jié)果為101,從而可以直接由二制進(jìn)換算成十進(jìn)制(101)2=lx 22 +0×21 +lx 2°=5,直接得到k=5.
解法3k從1到7逐次的取值,代入校驗(yàn)方程組(1),只要不滿(mǎn)足校驗(yàn)方程組(1)中的任何一個(gè)校驗(yàn)方程,則就是所求k.比如,當(dāng)k=l時(shí),則X1=0,
3 啟示
3.1 高觀初數(shù)的應(yīng)用
法國(guó)數(shù)學(xué)家F·克萊因認(rèn)為:教師應(yīng)具備較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn),因?yàn)橛^點(diǎn)越高,事物越顯得簡(jiǎn)單,教師要能站得高,才能看得遠(yuǎn),試題I具有深刻的高等數(shù)學(xué)背景[5],從高等代數(shù)的矩陣性質(zhì)揭示初等數(shù)學(xué)的不等式關(guān)系,命題立意新穎,也是近幾年高考試題、競(jìng)賽試題、自主招生的一個(gè)命題特點(diǎn),此題在用初等數(shù)學(xué)方法和高等數(shù)學(xué)方法解題的對(duì)比中可以看出,用初等數(shù)學(xué)解法需要一些技巧,而用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解答更顯優(yōu)勢(shì),徐利治先生有言:“由于數(shù)學(xué)科學(xué)是一個(gè)有機(jī)統(tǒng)一體,許多分支學(xué)科都有共同的客觀本原,這就決定了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)必然是互通的,”中學(xué)教師平時(shí)教學(xué)應(yīng)該多站在高觀點(diǎn)下思考初等數(shù)學(xué)的問(wèn)題,站在更高的角度俯瞰初等數(shù)學(xué),以更好地在高觀點(diǎn)下服務(wù)中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué),開(kāi)闊視野,提升境界.
3.2 教學(xué)視角的轉(zhuǎn)變
在數(shù)學(xué)教學(xué)中,不僅要讓學(xué)生知其然,還要讓學(xué)生知其所以然,更要讓學(xué)生了解甚至主動(dòng)去探究何由以知其所以然,一方面,探尋問(wèn)題的本“源”,追溯數(shù)學(xué)思維發(fā)展的源泉,不只見(jiàn)樹(shù)林,還見(jiàn)森林;[4]另一方面,把握問(wèn)題的“流”,培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成縱向、橫向思考問(wèn)題的習(xí)慣,拓展學(xué)生的視野,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和廣闊性,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,挖掘?qū)W生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能,由“結(jié)果性教學(xué)”向“過(guò)程性教學(xué)”轉(zhuǎn)變,當(dāng)然,這與教師自身的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)有關(guān),對(duì)教師的專(zhuān)業(yè)化水平提出了更高要求.
3.3 素養(yǎng)立意的命題
考試對(duì)教學(xué)具有很強(qiáng)的導(dǎo)向功能,影響著教師教學(xué)的深度和廣度.2017年高考《考試大綱》指出:科學(xué)設(shè)計(jì)命題內(nèi)容,增強(qiáng)基礎(chǔ)性、綜合性,著重考查學(xué)生獨(dú)立思考和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,高考考試內(nèi)容注重頂層設(shè)計(jì),明確“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”四層考查目標(biāo),以及“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”四個(gè)考查要求.2018年新一輪高中課程改革在上海、浙江先行試行的基礎(chǔ)上也即將在全國(guó)全面啟動(dòng),期望通過(guò)改革讓學(xué)習(xí)、教學(xué)、高考的要求保持一致,高校人才選拔,自主招生,大學(xué)先修課程,這些對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求越來(lái)越高,以知識(shí)和能力為載體,突出素養(yǎng)立意,使命題有“源”而“活”、有“源”而“新”,隨著信息技術(shù)的發(fā)展,大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái),具備一些信息素養(yǎng)(Information Literacy)是每一名高中生的基本素養(yǎng),試題Ⅱ的命題值得借鑒.
3.4 數(shù)學(xué)文化的滲透
數(shù)學(xué)文化的主要內(nèi)涵是一種理性思維方式在實(shí)踐過(guò)程中的不斷探索,形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用.[5]新頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出,數(shù)學(xué)承載著思想和文化,是人類(lèi)文明的重要組成部分,要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值[6],教育部考試中心《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》([2016]179號(hào))指出:高考在能力要求內(nèi)涵方面增加數(shù)學(xué)文化的要求,試題Ⅱ展示了數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)、通信中的應(yīng)用價(jià)值,很好地滲透了數(shù)學(xué)文化的因素.
3.5 精英人才的選拔
在初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接處命題,或以時(shí)代為背景命題,這些已成為創(chuàng)新性試題命制的主流,高考、自主招生、大學(xué)先修課程,在這些選拔性考試中,命制一些能啟發(fā)和促進(jìn)學(xué)生向更深層次、從多角度思考問(wèn)題的題目,才能更好地把學(xué)生的能力區(qū)分出來(lái),才能更進(jìn)一步考查學(xué)生進(jìn)入高校學(xué)習(xí)的潛能,促進(jìn)精英人才的有效選拔,同時(shí),新一輪高中數(shù)學(xué)課程改革將壓縮必修的學(xué)分,增加選修的學(xué)分,以鼓勵(lì)在共同基礎(chǔ)上學(xué)生的個(gè)性發(fā)展,為人才選拔開(kāi)通更具選擇性的途徑,這些變化將給命題帶來(lái)更多的挑戰(zhàn)和機(jī)遇,
參考文獻(xiàn)
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[6]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[s].北京:人民教育出版社,2017