基于柯西中值定理的極限研究

王曉松 徐瑩

摘 要：柯西中值定理是微積分的一個(gè)基本定理，它在拉格朗日中值定理的證明及許多未定型極限的運(yùn)算上都起著重要的作用。本文基于柯西中值定理進(jìn)行極限延伸，重點(diǎn)對(duì)其定理及其證明進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：柯西中值定理；柯西定理；極限；證明

一、引言

柯西是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，他發(fā)明的許多定理和公式都以其姓名來命名，如柯西中值定理、柯西積分定理、柯西積分公式、柯西不等式等。其中柯西中值定理是微積分學(xué)中一個(gè)非常重要的定理，它對(duì)于許多等式、不等式的證明、極限的運(yùn)算方面都起著至關(guān)重要的作用。本文基于柯西中值定理，與函數(shù)極限的概念相結(jié)合，重點(diǎn)研究?jī)煞N特殊類型的極限及其證明。

二、柯西定理及證明

定理1（柯西中值定理）：若函數(shù)[f（x）]，[F（x）]滿足：

（1）在[a，b]上連續(xù)。

（2）在[a，b]上可導(dǎo)，且[F'x]在[a，b]內(nèi)每一點(diǎn)均不為零，則至少存在一點(diǎn)[ε∈a，b]，使得：[fb-f（a）Fb-F（a）=f'εF'ε]。

定理2：若函數(shù)[f（x）]定義于區(qū)間[a，+∞]上，且在每一個(gè)有窮的區(qū)間[a，b]內(nèi)是有界的，則：

（1）[limx→+∞f（x）x]=[limx→+∞fx+1-f（x）]。

（2）[limx→+∞f（x）1x=limx→+∞f（x+1）x]（[f（x）≥C≥0]），假定在等式右端的極限都存在。

證明：

（1）記[limx→+∞fx+1-f（x）=A]，任給[ε>0]，必存在正數(shù)[X0>a]，使當(dāng)x[≥X0]時(shí)，恒有[fx+1-fx-A<ε2]。

現(xiàn)設(shè)x[>X0+1]，于是，恰有一個(gè)正整數(shù)n（依賴于x），滿足n[≤x-X0

令[τ=x-X0-n]，則0[≤τ<1]，x=[X0+τ+n]。

有[f（x）x-A=nxfx-fX0+τn-A+fX0+τx-X0+τAx]。

易得[nxfx-fX0+τn-A≤fX0+τ+n-fX0+τn-A]

=[1nk=1nfX0+τ+k-fX0+τ+k-1-A]

[≤1nk=1nfX0+τ+k-fX0+τ+k-1-A<1n·nε3=ε3]。

由假定，[f（x）]在[X0≤xX1]時(shí)，恒有[f（X0+τ）x<ε3（0≤τ<1）]；

另外，顯然存在正數(shù)[X2]，使當(dāng)x[>X2]時(shí)，恒有[（X0+1）Ax<ε3]。

令X=max[X0+1，X1，X2]，于是，當(dāng)X[>X]時(shí)，必有[f（x）X-A<ε3+ε3+ε3=ε]。

由此可知：[limx→+∞f（x）x=A]，故（1）得證。

（2）由假定[f（x）≥C>0]，記[limx→+∞f（x+1）f（x）=A']，顯然[A'≥0]，下證[A'>0]。事實(shí)上，若[A'=0]，則存在正數(shù)[X0]，使當(dāng)x[≥X0]時(shí)，必有0[

于是0[

由此可知，[ limx→+∞fX0+n=0]，此顯然與[f（x）≥C>0]矛盾，故此有[A'>0]。

由于[f（x）≥C>0]且[f（x）]在每個(gè)有窮區(qū)間[a，b]內(nèi)有界，故函數(shù)[lnf（x）]在每個(gè)有窮區(qū)間[a，b]內(nèi)也有界，并且[limx→+∞lnfx+1-lnf（x）=limx→+∞lnf（x+1）f（x）=lnA']。

于是，將（1）的結(jié)果用于函數(shù)[lnf（x）]，即知[limx→+∞lnf（x）x=lnA']。故有[limx→+∞f（x）1x=limx→+∞elnf（x）1x=limx→+∞elnf（x）x=elnA'= A']。

證明完畢。

三、結(jié)論

柯西中值定理是微積分中一個(gè)非常著名的定理，它在微積分、復(fù)變函數(shù)等多門數(shù)學(xué)學(xué)科中都起著至關(guān)重要的作用，它的證明、應(yīng)用及其延伸一直是教師探討學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。本文對(duì)柯西中值定理進(jìn)行了極限延伸，重點(diǎn)研究?jī)煞N特殊類型的極限類型并進(jìn)行證明。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)指引學(xué)生將其結(jié)論運(yùn)用到具體的解題過程中，并對(duì)柯西定理進(jìn)一步深入研究推導(dǎo)，得出更多結(jié)論并實(shí)際應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介

王曉松（1983—），女，安徽省宿州市人，助教，學(xué)士，主要從事數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

徐瑩（1984—），女，安徽省宿州市人，二級(jí)教師，本科，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究。