迷人的特殊素?cái)?shù)

謝鳴

最近，一位來自美國(guó)佛羅里達(dá)州的業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，發(fā)現(xiàn)了人類已知的最大素?cái)?shù)2^82589933-1;該數(shù)有24862048位，如果用普通字號(hào)將它打印下來，其長(zhǎng)度將超過100公里！有關(guān)專家認(rèn)為，這是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)重大突破。

眾所周知，數(shù)學(xué)的起點(diǎn)是自然數(shù)，自然數(shù)的基礎(chǔ)是素?cái)?shù)（prime numbers）。素?cái)?shù)又稱質(zhì)數(shù)或不可約數(shù)，是指在一個(gè)大于1的自然數(shù)中，除了1和此整數(shù)自身外，無法被其他自然數(shù)整除的數(shù);換句話說，就是該數(shù)除了1和它本身以外不再有其他約數(shù)的數(shù)。比1大但不是素?cái)?shù)的數(shù)稱為合數(shù)，1和0既非素?cái)?shù)也非合數(shù)，而合數(shù)是由若干個(gè)素?cái)?shù)相乘而得到的。

2300多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得已證明素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，如2、3、5、7、11、13等等。由于素?cái)?shù)具有許多獨(dú)特性質(zhì)，它一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家和無數(shù)的業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者;人們對(duì)它的認(rèn)識(shí)和研究有一個(gè)過程，是逐步深化的。在數(shù)學(xué)中，有幾種特殊素?cái)?shù)十分迷人。

梅森素?cái)?shù)

形如2^P-1（即2的P次方減1，其中指數(shù)P為素?cái)?shù)）的數(shù)，稱為梅森數(shù)。它是以17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家梅森（M. Mersenne）之名命名的;如果梅森數(shù)是素?cái)?shù)，就稱為梅森素?cái)?shù)，如2^2-1=3、2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127等。

梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人有關(guān)研究的基礎(chǔ)上，對(duì)2^P-1z做了大量的計(jì)算和驗(yàn)證，并于1644年在他的《物理數(shù)學(xué)隨感》一書中斷言：在不大于257的素?cái)?shù)中，當(dāng)P=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257 時(shí)，2^P-1是素?cái)?shù)，其他都是合數(shù)。前面的7個(gè)數(shù)（即2、3、5、7、13、17、19）已被前人所證實(shí)，而后面的4個(gè)數(shù)（即31、67、127、257）則是梅森自己的推斷。當(dāng)時(shí)有人相信梅森的斷言（也稱“梅森猜想”）是正確的，但后來人們才知道他的斷言其實(shí)包含著若干錯(cuò)漏。

在手算筆錄年代，人們歷盡無數(shù)艱辛，一共只找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。而電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，尤其是網(wǎng)格計(jì)算時(shí)代的到來，大大加快了梅森素?cái)?shù)探究的步伐。至今人們已找到51個(gè)梅森素?cái)?shù)，其中最新最大的是2^82589933-1;該數(shù)也是人類已知的最大素?cái)?shù)。目前全球有近70萬人參與一個(gè)名為“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”的國(guó)際合作項(xiàng)目，動(dòng)用了超過185萬核中央處理器，聯(lián)網(wǎng)來尋找新的梅森素?cái)?shù)。

在梅森素?cái)?shù)的基礎(chǔ)研究方面，法國(guó)數(shù)學(xué)家盧卡斯（F. Lucas）和美國(guó)數(shù)學(xué)家雷默（D. Lehmer）都作出了重要貢獻(xiàn);以他們命名的“盧卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測(cè)梅森數(shù)素性的最佳方法。另外，中國(guó)數(shù)學(xué)家及語言學(xué)家周海中給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式;這一研究成果被國(guó)際上譽(yù)為“周氏猜測(cè)”，并受到了很高的評(píng)價(jià)。

17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家梅森

費(fèi)馬素?cái)?shù)

形如2^（2^N）+1（其中指數(shù)N為非負(fù)整數(shù)）的數(shù)稱為費(fèi)馬數(shù)，它是以17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（P. Fermat）之名命名的;如果費(fèi)馬數(shù)是素?cái)?shù)，就稱為費(fèi)馬素?cái)?shù)，如2^（2^0）+1=3、2^（2^1）+1=5、2^（2^2）+1=17、2^（2^3）+1=257等。

費(fèi)馬于1640年提出一個(gè)猜想：2^（2^N）+1的數(shù)一定為素?cái)?shù)，但他并沒有給出一個(gè)完全的證明。1732年，瑞士數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家歐拉（L. Euler）在研究這個(gè)問題時(shí)發(fā)現(xiàn)，2^（2^5）+1=641×6700417不是素?cái)?shù);這意味著它是一個(gè)合數(shù)，因此費(fèi)馬猜想是錯(cuò)誤的。以后人們又陸續(xù)找到了不少反例，如2^（2^6）+1=274177×67280421310721、2^（2^7）+1=59649589127497217×5704689200685129054721等。迄今為止，費(fèi)馬素?cái)?shù)除了被費(fèi)馬本人所證實(shí)的那5個(gè)外，竟然沒有再發(fā)現(xiàn)一個(gè)！

目前，許多數(shù)學(xué)難題的研究都是利用計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)算功能來進(jìn)行的，但即使如此，所得結(jié)果也很有限。例如，目前只知道5個(gè)費(fèi)馬數(shù)是素?cái)?shù)，并發(fā)現(xiàn)226個(gè)費(fèi)馬數(shù)是合數(shù)，但這對(duì)于無限個(gè)費(fèi)馬數(shù)來說，可以說知之甚少。

順帶一提，費(fèi)馬小定理是現(xiàn)代素?cái)?shù)判定方法的基礎(chǔ)，如果該定理的逆命題成立的話，那么判別素?cái)?shù)就變得很容易了。不幸的是，費(fèi)馬小定理的逆定理并不成立，使之不成立的合數(shù)稱為偽素?cái)?shù)，可見偽素?cái)?shù)在數(shù)學(xué)的研究中占有重要地位。

實(shí)際上，千百年來，人們一直在尋找這樣一個(gè)能求出所有素?cái)?shù)的公式。但直到現(xiàn)在，誰也未能找到這樣一個(gè)公式，而且誰也未能找到證據(jù)，說這樣的公式就一定不存在。雖然費(fèi)馬猜想失敗了，但有意思的是，1801年德國(guó)數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家高斯（J. Gauss）卻證明了參照費(fèi)馬素?cái)?shù)，可以用直尺和圓規(guī)將圓周等分;他本人就據(jù)此作出了正十七邊形。

孿生素?cái)?shù)

孿生素?cái)?shù)也稱為雙生素?cái)?shù)，是指一對(duì)素?cái)?shù)，它們之間相差2，如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。目前已知的一對(duì)最大孿生素?cái)?shù)為2996863034895×2^1290000±1;它有388342位數(shù)，是在2016年9月發(fā)現(xiàn)的。

在手算筆錄年代，人們歷盡無數(shù)艱辛，一共只找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。

費(fèi)馬素?cái)?shù)除了被費(fèi)馬本人所證實(shí)的那5個(gè)外，竟然沒有再發(fā)現(xiàn)一個(gè)！

歐幾里得是最早注意到孿生素?cái)?shù)這種有趣現(xiàn)象的人，他曾大膽猜想：存在無窮多對(duì)孿生素?cái)?shù)。這一猜想被稱為“孿生素?cái)?shù)猜想”。

法國(guó)數(shù)學(xué)家波利尼亞克（A. Polignac）在1849年提出了更一般的猜想（即“波利尼亞克猜想”）：對(duì)所有正整數(shù)K，存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對(duì)（P，P+2K）。K等于1時(shí)就是孿生素?cái)?shù)猜想，而K等于其他正整數(shù)時(shí)就稱為弱孿生素?cái)?shù)猜想（即孿生素?cái)?shù)猜想的弱化版）。因此，也有數(shù)學(xué)家把波利尼亞克作為孿生素?cái)?shù)猜想的提出者。

英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代（G. Hardy）和李特爾伍德（J. Littlewood）在1921年提出一個(gè)與波利尼亞克猜想類似的猜想，現(xiàn)在通稱為“哈代-李特爾伍德猜想”或“強(qiáng)孿生素?cái)?shù)猜想”（即孿生素?cái)?shù)猜想的強(qiáng)化版）。這一猜想不僅提出孿生素?cái)?shù)有無窮多對(duì)，而且還給出其漸近分布形式。由于孿生素?cái)?shù)的分布極不均勻，并且隨著數(shù)的增大變得越來越稀疏，研究孿生素?cái)?shù)分布模式的難度也就非常之大。

值得一提的是，在孿生素?cái)?shù)的基礎(chǔ)研究方面，美籍華人數(shù)學(xué)家張益唐取得了重大突破;他在2013年證明：存在無窮多個(gè)之差小于7000萬的素?cái)?shù)對(duì)。雖然7000萬貌似一個(gè)非常大的數(shù)字，但不管數(shù)字多大，有限范圍的存在意味著，相連素?cái)?shù)之差并不是一直增長(zhǎng)的;而且，從2到7000萬的跨越，與7000萬到無窮大的跨越不可同日而語。

回文素?cái)?shù)

回文素?cái)?shù)（palindromic primes）是指既是素?cái)?shù)又是回文數(shù)的整數(shù)，如十進(jìn)制中的11、101、131、151等。除了最小的回文素?cái)?shù)11，偶數(shù)位的數(shù)不存在回文素?cái)?shù)。人們已知：兩位回文素?cái)?shù)1個(gè)，三位回文素?cái)?shù)15個(gè)，五位回文素?cái)?shù)93個(gè)，七位回文素?cái)?shù)668個(gè)，九位回文素?cái)?shù)5172個(gè)。目前已知最大的回文素?cái)?shù)有320237位數(shù)，是在2014年3月發(fā)現(xiàn)的。

需要指出的是，回文素?cái)?shù)與記數(shù)系統(tǒng)的進(jìn)位制有關(guān)。目前，人們還不知道在十進(jìn)制中是否有無窮多個(gè)回文素?cái)?shù);在二進(jìn)制中，回文素?cái)?shù)包括梅森素?cái)?shù)和費(fèi)馬素?cái)?shù)。

這些特殊素?cái)?shù)有的具備實(shí)用價(jià)值（如梅森素?cái)?shù)），有的還看不到任何實(shí)用價(jià)值（如孿生素?cái)?shù)）。不管怎樣，它們都是著名的數(shù)學(xué)難題。探究這些難題，揭開其奧秘，正是人們長(zhǎng)久以來的科學(xué)追求。正如德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特（D. Hilbert）所言：“我們必須知道，我們必將知道?！?/p>