起效素?cái)?shù)的有效排除力總和與素?cái)?shù)兩個(gè)猜想

【摘 要】本文應(yīng)用起效素?cái)?shù)的有效排除力總和與自然數(shù)擴(kuò)延范圍的素?cái)?shù)的量兩者關(guān)系之原理，對羅卡爾關(guān)于“兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間至少有4個(gè)素?cái)?shù)”的命題和杰波夫關(guān)于“在n2和（n+1）2之間有一定素?cái)?shù)”猜想做出證明。此外，筆者發(fā)現(xiàn)并證明“在‘（n-1）×n至n×n之間和‘n×n至n×（n+1）之間存在一定素?cái)?shù)”的問題。

【關(guān)鍵詞】起效素?cái)?shù)的有效排除力總和；羅卡爾命題；杰波夫猜想；證明

1 關(guān)于羅卡爾命題的證明

筆者認(rèn)為，法國數(shù)學(xué)家羅卡爾關(guān)于“兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間至少有4個(gè)素?cái)?shù)”的命題，其本質(zhì)就是自然數(shù)擴(kuò)延范圍的素?cái)?shù)的量與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和之間關(guān)系的問題。筆者研究結(jié)果表明，羅卡爾關(guān)于“兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間至少有4個(gè)素?cái)?shù)”的命題，從“32至52”的擴(kuò)圍起成立，其證明定理為：

兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間的素?cái)?shù)的量=“兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間的自然數(shù)的量”減去“被起效素?cái)?shù)有效排除的量”>4（個(gè)）

1.1 起效素?cái)?shù)與起效素?cái)?shù)的有效排除力

定義1 素?cái)?shù)的有效排除線

是指一個(gè)素?cái)?shù)作為除數(shù)，將被其整除的自然數(shù)有效排除出素?cái)?shù)之外的起點(diǎn)線，亦是一個(gè)素?cái)?shù)起到有效排除作用的起始自然數(shù)。一個(gè)素?cái)?shù)起到有效排除作用的起始自然數(shù)即是該素?cái)?shù)的平方數(shù)，如素?cái)?shù)2的有效排除線從4起，素?cái)?shù)3的有效排除線從9起，其余以此類推。

定義2 素?cái)?shù)有效排除力

是指素?cái)?shù)作為除數(shù)，將可被其整除的自然數(shù)排除出素?cái)?shù)之外的實(shí)際能力，是素?cái)?shù)有效排除的自然數(shù)的量占自然數(shù)總量的比率的反映。素?cái)?shù)的有效排除力，可分單個(gè)素?cái)?shù)的有效排除力和整體素?cái)?shù)的有效排除。整體素?cái)?shù)的有效排除力，即是單個(gè)素?cái)?shù)有效排除力相加總和。

定義3 自然數(shù)的擴(kuò)延范圍

是指依照自然數(shù)的循序逐增規(guī)律，以規(guī)律有序的數(shù)學(xué)式子表達(dá)起、至兩個(gè)自然數(shù)，此起、至兩個(gè)自然數(shù)及其間隙全體自然數(shù)組成的整體?！皵U(kuò)延范圍”簡稱為“擴(kuò)圍”

“起效素?cái)?shù)”，即是“起到有效排除作用的素?cái)?shù)”的簡稱?！捌鹦?cái)?shù)有效排除力總和”，即是起到有效排除作用的素?cái)?shù)的有效排除力相加總和。

關(guān)于“起效素?cái)?shù)與起效素?cái)?shù)的有效排除力”的內(nèi)容，筆者在《素?cái)?shù)的有效排除與素?cái)?shù)沒有窮盡》、《奇素?cái)?shù)為什么不可窮盡》（《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究》2015年第21期、第17期）兩文作了解讀。主要觀點(diǎn)有：

觀點(diǎn)1 素?cái)?shù)將合數(shù)排除出素?cái)?shù)之外，不是“一哄而上”的，而是遵循有效排除線而依序“登場”的（見圖1）。

觀點(diǎn)3 自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量，與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和有著密切聯(lián)系，自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量，可通過自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和之間關(guān)系的原理而求得。自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和之間關(guān)系的定理為：

自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量=自然數(shù)的擴(kuò)圍的自然數(shù)的量-（自然數(shù)的擴(kuò)圍的自然數(shù)的量×起效素?cái)?shù)的有效排除力總和）

1.2 對羅卡爾命題的證明

筆者研究結(jié)果表明，羅卡爾命題可應(yīng)用自然數(shù)的擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和之間關(guān)系的定理做出證明。

例證1 求3與5兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間的素?cái)?shù)的量的證明

已知，自然數(shù)擴(kuò)延至“52”時(shí)，起效素?cái)?shù)共有2、3、5三個(gè)，2、3、5此三個(gè)起效素?cái)?shù)的有效排除力總和為。

第三步，驗(yàn)證。即看三角矩陣（方陣）的每一行自然數(shù)是否都存在素?cái)?shù)，如是，則證明杰波夫猜想成立，否則就不成立。

驗(yàn)證結(jié)果：從圖3看出，三角矩陣（方陣）中的可被起效素?cái)?shù)整除的自然數(shù)篩去后，從三角矩陣的第二行起，每一行自然數(shù)均剩有2個(gè)以上自然數(shù)（即是素?cái)?shù)），可見，杰波夫關(guān)于在n2和（n+1）2之間有一定素?cái)?shù)的猜想成立。此證。

3 張爾光發(fā)現(xiàn)并證明：在“《n-1》×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間”均存在一定素?cái)?shù)

筆者在研究素?cái)?shù)的過程中發(fā)現(xiàn)，在比“n2和（n+1）2”更小的自然數(shù)擴(kuò)延范圍——“（n-1）×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間”均存在一定素?cái)?shù)。

3.1 應(yīng)用起效素?cái)?shù)的有效排除力總和原理的證明

第二步，將圖4自然數(shù)中的合數(shù)用方框框上，那么，沒框的自然數(shù)就是素?cái)?shù)。

第三步，驗(yàn)證。即看三角矩陣的每一行的“（n-1）×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間”的自然數(shù)是否都存在素?cái)?shù)，如是，則證明成立，否則就不成立。

驗(yàn)證結(jié)果：從圖4看出，三角矩陣中的可被起效素?cái)?shù)整除的自然數(shù)篩去后，從三角矩陣的第二行起，每一行“（n-1）×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間”的自然數(shù)均剩有1個(gè)以上自然數(shù)（即是素?cái)?shù)），可見，關(guān)于在“（n-1）×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間存在一定素?cái)?shù)的問題成立。此證。

至此，筆者覺得有必要多說兩句的，羅卡爾命題、杰波夫猜想以及“在‘（n-1）×n至n×n之間和‘n×n至n×（n+1）之間存在一定素?cái)?shù)”的問題，同屬于“自然數(shù)擴(kuò)圍的素?cái)?shù)的量與起效素?cái)?shù)的有效排除力總和之間關(guān)系的問題”，筆者研究結(jié)果表明，依照循序逐增規(guī)律，設(shè)置的自然數(shù)擴(kuò)延范圍，不論是依序前后兩個(gè)素?cái)?shù)的平方之間，還是依序前后兩個(gè)自然數(shù)的平方之間，抑或是“（n-1）×n至n×n之間”和“n×n至n×（n+1）之間”，隨著n（或P）的循序逐增，其自然數(shù)擴(kuò)圍在不斷擴(kuò)大，而自然數(shù)擴(kuò)圍越大，其存在的素?cái)?shù)的量也越大。據(jù)此，我們可作這樣推理，既然最小的自然數(shù)擴(kuò)圍“2×2至2×3之間”存在素?cái)?shù)，而在其后、比之更大的自然數(shù)擴(kuò)延范圍沒有理由不存在素?cái)?shù)，而羅卡爾命題、杰波夫猜想以及“在‘（n-1）×n至n×n之間和‘n×n至n×（n+1）之間存在一定素?cái)?shù)”的問題也沒有理由不能成立。

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