對有心圓錐曲線一組性質(zhì)的研究

遼寧省沈陽北軟信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院計算機系2017 級軟件5 班(110136) 劉新飛(學(xué)生)

遼寧省黑山縣第一高級中學(xué)(121400) 劉大鵬

圖1

筆者拜讀文[1]受益匪淺并對該題進行更深入研究得到有心圓錐曲線的一組性質(zhì).以下是探究過程：

把數(shù)據(jù)一般化,探究定值的表達式,得到：

定理1 如圖已知橢圓點B,C分別是橢圓O的上下頂點,點P是直線l∶y=-a上的一個動點(與y軸交點除外),直線PC交橢圓于另一點M.已知BM,BP的斜率分別為k1,k2,則k1k2為定值.

證明設(shè)P(x0,-a),聯(lián)立

消y,得

為定值.

改變直線l的位置,探究定值的表達式,得到：

定理2 如圖已知橢圓點B,C分別是橢圓O的上下頂點,點P是直線l∶y=上的一個動點(與y軸交點除外),直線PC交橢圓于另一點M.已知BM,BP的斜率分別為k1,k2,則k1k2為定值.

證明設(shè)P(x0,-λa),聯(lián)立消y,得[b2x20+a2(λa-b)2]x2+2b(λa-b)a2x0x=0,為定值.

將B換成長軸端點,直線l換成垂直于x軸的直線,得到：

定理3 如圖2 已知橢圓點B,A分別是橢圓O的左右頂點,點P是直線上的一個動點(與x軸交點除外),直線PB交橢圓于另一點M. 已知AM,AP的斜率分別為k1,k2,則k1k2為定值.

圖2

證明設(shè)P(λb,y0),聯(lián)立消x,得[a2y20+b2(λb+a)2]y2-2ab2(λb+a)y0y=0,為定值.

將研究對象換成雙曲線,得到：

定理4 如圖3已知雙曲線點B,A分別是雙曲線O的左右頂點,點P是直線上的一個動點(與x軸交點除外,過B與漸近線平行的直線與l的交點除外),直線PB交雙曲線于另一點M. 已知AM,AP的斜率分別為k1,k2,則k1k2為定值.

圖3

證明設(shè)P(λb,y0),聯(lián)立消x,得[-a2y20+b2(λb+a)2]y2-2ab2(λb+a)y0y=0,

為定值.

下面探究拋物線y2=2px是否具有類似性質(zhì).

已知拋物線y2=2px,點是直線l∶x=上的一個動點(與x軸交點除外),直線PO交拋物線于另一點M.A(x0,0),已知AM,AP的斜率分別為k1,k2,探究：k1k2能否為定值.

與P和A的位置有關(guān),不是定值.所以拋物線不具有類似性質(zhì).

以上探究過程說明將問題一般化,并應(yīng)用類比的方法由此及彼是研究圓錐曲線性質(zhì)的很好方法,他能最大限度開發(fā)試題的價值,往往收獲頗豐.

強化訓(xùn)練(2007年高考湖南卷理科第20 題)已知雙曲線x2-y2=2 的左、右焦點分別為F1,F2,過點F2的動直線與雙曲線相交于A,B兩點,(1)略;(2)在x軸上是否存在定點C,使-→CA·--→CB為常數(shù)? 若存在,求出點C的坐標;若不存在,請說明理由.[3]

將數(shù)據(jù)一般化,你能得到什么結(jié)論?

答案已知雙曲線x2-y2=a2(a＞0)的左、右焦點分別為F1,F2,過點F2的動直線與雙曲線相交于A,B兩點,在x軸上存在定點使為常數(shù).