聚焦各類解題中的對數(shù)思想

安徽省無為第三中學(xué)城北校區(qū)(238300) 朱小扣

對數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和考點(diǎn),在研究函數(shù)和不等式中具有重要的應(yīng)用.在高中數(shù)學(xué)競賽中的考查頻率也頗高,且命題靈活,綜合度較高,因而具有一定的難度和挑戰(zhàn)性.但隨著高考及模擬題不斷創(chuàng)新,使得多數(shù)人對對數(shù)解題的創(chuàng)新運(yùn)用仍不是很了解,掌握起來也不熟練.為此,本文將通過剖析高考及模擬題中對數(shù)的創(chuàng)新應(yīng)用,進(jìn)一步探究對數(shù)解題應(yīng)用的新視角.

1.在求導(dǎo)中的運(yùn)用

例1 (2003年安徽省高考改編)已知m,n是正整數(shù),且1＜m＜n,求證：(1+m)n＞(1+n)m.

證明原命題等價(jià)于令則只需證明f(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減即可.兩邊同時(shí)取對數(shù)得：兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)得：

當(dāng)x≥2 時(shí),故此時(shí)y′＜0 恒成立,即證得.

例2 設(shè)

解兩邊同時(shí)取對數(shù)得：

兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)得：

點(diǎn)評利用取對數(shù)后再求導(dǎo),有利于將繁瑣的問題簡化,像例1 等.與此同時(shí),由于是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),故不能用錯.

2.在非線性規(guī)劃題中的運(yùn)用

例3 已知x,y實(shí)數(shù),滿足：3 ≤xy2≤8,4 ≤≤9,求的最大值.

解有題設(shè)知x,y ∈R+,對原條件兩邊取對數(shù)得：lg 3 ≤ lgx+2 lgy≤ lg 8,lg 4 ≤ 2 lgx-lgy≤ lg 9,令a=lgx,b=lgy,z=則問題轉(zhuǎn)化為：在條件下,求目標(biāo)函數(shù)z=3a-4b的最大值.畫出可行域,易得zmax=lg 27,故

例4 已知動點(diǎn)P(x,y)滿足：則x2+y2-2x的最小值為____.

解析xy≤yx ?lnxy≤lnyx ?ylnx≤xlny ?令則f′(x)=恒成立.則f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,故y≥x.問題轉(zhuǎn)化為在條件下,求x2+y2-2x的最小值.

設(shè)P(x,y),Q(1,0),則x2+y2-2x=PQ2-1,如圖1易知：PQ≥MQ,故x2+y2-2x=PQ2-1 ≥MQ2-1=故答案為

圖1

點(diǎn)評這類題能考察學(xué)生對線性規(guī)劃的掌握情況,通過取對數(shù)可以將非線性條件轉(zhuǎn)化線性條件,進(jìn)而用線性規(guī)劃的方法求最值,這能極大拓寬了線性規(guī)劃的應(yīng)用范圍.

3.在求通項(xiàng)公式中的運(yùn)用

例5 數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=求{an}的通項(xiàng)公式.

解對原式兩邊同時(shí)取倒數(shù)得：

例6 (2016年內(nèi)蒙古省預(yù)賽題)數(shù)列{an}滿足求{an}的通項(xiàng)公式.

解對原式兩邊同時(shí)取倒數(shù)得：

點(diǎn)評利用取對數(shù)方法,可以將不是齊次的數(shù)列遞推公式,轉(zhuǎn)化為齊次的遞推公式,進(jìn)而可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,使得問題能順利解出.

4.在琴生不等式中的運(yùn)用

例7 設(shè)ai＞0,i=1,2,3,··· ,n.證明：

證明令f(x)=lnx(x＞0),則f′′(x)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)是上凸函數(shù),故

綜上可得：

例8 (08年南京大學(xué)自招)設(shè)a,b,c ∈R+且a+b+c=1,求證：

證明令f(x)=則

由琴生不等式得：

例9 在△ABC中,α,β,γ ∈R+,求證：

證明令f(x)=lnx,x ∈(0,1),則由琴生不等式得：

(我們知道：sinA+sinB+sinC因此,

因此,sinα Asinβ Bsinγ

點(diǎn)評運(yùn)用對數(shù)法輔助琴生不等式去證明問題,化歸得當(dāng)是難點(diǎn),合理構(gòu)造函數(shù)是重點(diǎn),拼湊是關(guān)鍵.若能把握住重難點(diǎn)和關(guān)鍵就會運(yùn)用自如,并可以解決很多高考和競賽題.

5.對數(shù)平均不等式在解題中的運(yùn)用

引理對數(shù)平均不等式：(b＞a＞0).

例10 (2017年蘇州市屆高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=(lnx-k-1)x(k ∈R).

(1)當(dāng)x＞1 時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)若對于任意x ∈[e,e2],都有f(x)＜4 lnx成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

(3)若x12,且f(x1)=f(x2),證明：x1x2＜e2k.

解(1),(2)略; (3)不妨設(shè)x1＞x2,由f(x1)=f(x2)得：(lnx1-k-1)x1=(lnx2-k-1)x2,解 得：k=欲證：x1x2＜e2k,即證lnx1+lnx2＜2k ?lnx1+lnx2＜由對數(shù)平均不等式可知上述不等式成立,即證得.

例11 (2016年湖南預(yù)賽)已知函數(shù)f(x)=xlnx-

(1)當(dāng)m=-2 時(shí),求函數(shù)f(x)的所有零點(diǎn);

(2)若f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2,且x1＜x2,求證x1x2＞e2.

解(1)當(dāng)m=-2 時(shí),f(x)=xlnx+x2-x=x(lnx+x-1),x＞0.設(shè)p(x)=lnx+x-1,x＞0,則p′(x)=+1＞0,于是p(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).又p(1)=0,所以,當(dāng)m=-2 時(shí),函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn)1.

(2)若f(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2,則導(dǎo)函數(shù)f′(x)有兩個零點(diǎn)x1,x2.由f′(x)=lnx-mx,可知要證x1x2＞e2,即證明lnx1+lnx2＞2.由得所以即故只需證因?yàn)閤1＜x2,故只需證由對數(shù)平均不等式可知上述不等式成立,綜上知,x1x2＞e2得證.

點(diǎn)評用對數(shù)平均不等式能解決很多諸如極值點(diǎn)偏移的問題,在此不一一例舉,但在每次解答時(shí)必須要將對數(shù)平均不等式的證明過程寫出,不然會導(dǎo)致扣分.

總結(jié)以上列舉了運(yùn)用對數(shù)思想解五類高考題,在解決類似的問題時(shí),應(yīng)多角度,多思維的去考慮.與此同時(shí),方法和技巧也不能生搬硬套,必須自己嘗試、自己領(lǐng)悟,這樣才能在解題中達(dá)到自身水平的提高.這樣才能一題多解,才能一解多題! 希望此文帶來新的視角讓大家對對數(shù)法解題有更深的認(rèn)識,達(dá)到用對數(shù)法解題能力的提升.