基于Duffing振子循環(huán)檢測方法的研究

楊海博 李 琳

(中國電子科技集團(tuán)公司第二十研究所 西安 710068)

0 引言

傳統(tǒng)信號(hào)檢測方法一般以線性理論為主，即基于時(shí)域和頻域分析，如應(yīng)用廣泛的頻譜分析、Winger-Ville分布、小波分析方法等。這些方法在一定范圍信噪比下，具有良好的檢測性能，但在強(qiáng)噪聲背景下弱信號(hào)檢測中卻具有局限性，特別當(dāng)信噪比低至-10dB附近，傳統(tǒng)線性理論檢測性能急劇下降，甚至難以檢測出待測信號(hào)[1]。

近年來，隨著非線性方法在信息科學(xué)領(lǐng)域中的深入研究。人們開始將混沌理論用于弱信號(hào)的檢測，在對待測信號(hào)有一定的預(yù)知的情況下，可較為精確的檢測信號(hào)幅值、頻率、相位等參數(shù)。

頻率是信號(hào)的主要參數(shù)之一，也是人們常關(guān)注對象?；诨煦缋碚摰念l率檢測方法主要有兩種[2]，一種是基于變形的Duffing振子檢測法，另一種是基于Duffing陣法。前者需要對于待側(cè)信號(hào)頻率有一定的預(yù)知，實(shí)際應(yīng)用中常難以對待測信號(hào)進(jìn)行較為精確預(yù)知，后者所設(shè)置的陣元繁多、計(jì)算量巨大，且每個(gè)陣元都需要人工尋找系統(tǒng)閾值、誤差波動(dòng)，工程實(shí)現(xiàn)難[3-5]。

針對上述問題,本文在分析了間歇混沌檢測信號(hào)頻率的原理，給出了建立較小閾值的混沌系統(tǒng)方法，并引入循環(huán)思想，提出了一種計(jì)算機(jī)易于實(shí)現(xiàn)的混沌頻率檢測方法——基于Duffing振子的循環(huán)信號(hào)檢測方法。

1 Duffing振子檢測原理

Holmes型Duffing方程，其一般數(shù)學(xué)模型如下[6]：

(1)

式(1)中：rcos(t)為周期策動(dòng)力；k為阻尼比；-αx(t)+βx3(t)為非線性恢復(fù)力。

先調(diào)節(jié)系統(tǒng)策動(dòng)力幅值r，使得系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(如圖1)和大周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(如圖2)的臨界狀態(tài)，得到閾值rd，再輸入與系統(tǒng)策動(dòng)力同頻率的待測信號(hào)，系統(tǒng)便進(jìn)入大尺度周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這時(shí)調(diào)節(jié)系統(tǒng)策動(dòng)力幅值r，使系統(tǒng)再次進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和大周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的臨界狀態(tài)，得到此時(shí)的策動(dòng)力幅值r′，則待測信號(hào)的幅值為f=rd-r′。

圖1 混沌狀態(tài)

圖2 大周期狀態(tài)

2 間歇混沌信號(hào)頻率檢測分析

Duffing振子系統(tǒng)中引入與其內(nèi)置策動(dòng)力之間存在一定的角頻率差的微弱正弦周期信號(hào)，即[7]：

(2)

令r=rd，向式(2)系統(tǒng)加入一個(gè)任意微弱信號(hào)，無論此信號(hào)多么小，一定有r+a>rd。假設(shè)存在頻差為Δω，系統(tǒng)總策動(dòng)力為R(t)，則：

=rcost+acostcos(Δωt+θ)-asintsin(Δωt+θ)+n(t)

=[r+acos(Δωt+θ)]cost-asintsin(Δωt+θ)+n(t)

=R(t)cos(t+φ(t))+n(t)

其中：

(3)

(4)

2.1 間歇混沌原理

間歇混沌現(xiàn)象為待測信號(hào)與系統(tǒng)策動(dòng)力存在頻差情況下，出現(xiàn)的特有陣發(fā)混沌現(xiàn)象[8]。系統(tǒng)狀態(tài)將呈現(xiàn)不同的變化，總策動(dòng)力R(t)呈現(xiàn)周期變化，具體關(guān)系如圖3所示。

當(dāng)策動(dòng)力與待測信號(hào)矢量夾角小于90°時(shí)，則其合成向量R(t)的幅值就會(huì)在某一段大于rd(系統(tǒng)閾值)區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)處于大周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)策動(dòng)力與外界信號(hào)矢量夾角大于90°時(shí)，其合成向量R(t)某一段小于rd區(qū)域內(nèi)，即R(t)

與此同時(shí)，我主動(dòng)記下平時(shí)不懂的專業(yè)知識(shí)，遇到相熟的項(xiàng)目經(jīng)理，抓住碎片時(shí)間積極上門請教，不躲閃不回避，主動(dòng)提及雙方在項(xiàng)目溝通上經(jīng)常遺漏的部分，強(qiáng)烈表達(dá)增進(jìn)雙方溝通效率的愿望。通過積極主動(dòng)的溝通，讓項(xiàng)目經(jīng)理意識(shí)到了我個(gè)人知識(shí)結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)與不足，在后續(xù)的工作交流中更加體諒我個(gè)人的實(shí)際情況。這種互利雙贏的勤學(xué)好問，贏得了項(xiàng)目經(jīng)理的贊許，建立了更加融洽的關(guān)系。

由此可見，當(dāng)策動(dòng)力與待測信號(hào)存在頻率差時(shí)，總策動(dòng)力R(t)周而復(fù)始地大于或小于rd，即表現(xiàn)出間歇混沌狀態(tài)(在非線性系統(tǒng)中，無論是時(shí)間上還是在空間上，間歇的出現(xiàn)混沌的現(xiàn)象，類似于規(guī)律性的周期運(yùn)動(dòng))。即系統(tǒng)以一定的周期進(jìn)行間歇混沌運(yùn)動(dòng)，間歇混沌周期：

(5)

2.2 待測信號(hào)幅值對間歇混沌的影響

從式(3)可以看出，因racos(Δωt+θ)項(xiàng)影響，總幅值R(t)呈周期性變化。

(6)

當(dāng)待測信號(hào)幅值a遠(yuǎn)大于或者遠(yuǎn)小于檢測系統(tǒng)閾值r時(shí)，式(6)中周期項(xiàng)較非周期項(xiàng)占比η較小，R(t)變化周期較小，即系統(tǒng)難以出現(xiàn)間歇混沌，這表明周期項(xiàng)能量在整個(gè)檢測過程中作用較小，難以驅(qū)動(dòng)了檢測系統(tǒng)進(jìn)入顯著間歇混沌狀態(tài)，如圖4所示。

當(dāng)待測信號(hào)幅值a比檢測系統(tǒng)閾值r者相差不大時(shí)，式(6)中周期項(xiàng)較非周期項(xiàng)占比η較大，R(t)變化周期較大，即檢測過程中出現(xiàn)顯著間歇混沌現(xiàn)象，這表明周期項(xiàng)能量在整個(gè)檢測過程中作用較大，可以驅(qū)動(dòng)檢測系統(tǒng)進(jìn)入顯著的間歇混沌狀態(tài)，如圖5所示。

圖4 混沌振子檢測系統(tǒng)中加入0.01cos(1.03t)時(shí)系統(tǒng)時(shí)域圖

圖5 混沌振子檢測系統(tǒng)中加入0.1cos(1.03t)時(shí)系統(tǒng)時(shí)域圖

從以上分析可以看出，但凡基于間歇混沌現(xiàn)象檢測信號(hào)頻率，必須保持混沌系統(tǒng)閾值與被檢測信號(hào)在一個(gè)數(shù)量級(jí)上或者相差不大，即要檢測微弱小信號(hào)，必須選用閾值比較小的混沌系統(tǒng)。

混沌系統(tǒng)。如何建立閾值較小的混沌系統(tǒng)，成為了能否成功檢測到微弱信號(hào)頻率的關(guān)鍵。

通過多次仿真計(jì)算發(fā)現(xiàn)，線性系數(shù)α越小，閾值也越小；非線性系數(shù)β越大，閾值越小，當(dāng)β=1時(shí)，系統(tǒng)閾值與參數(shù)α的變化如圖6所示，當(dāng)α=1時(shí)，系統(tǒng)閾值與參數(shù)β的變化如圖7所示。

3 基于Duffing振子的循環(huán)檢測系統(tǒng)

常規(guī)的間歇Duffing陣檢測法存在的主要問題：

1)一般建立陣元數(shù)量龐大，不易計(jì)算機(jī)計(jì)算；

3)將間歇混沌間歇周期最大的陣子策動(dòng)力頻率作為待測信號(hào)頻率，誤差較大。

基于Duffing振子的循環(huán)檢測系統(tǒng)，剔除了大量陣元的建立，避免了不同的策動(dòng)力重新設(shè)定閾值，采用計(jì)算機(jī)易于實(shí)現(xiàn)的循環(huán)算法。

基于Duffing振子的循環(huán)檢測法檢測未知微弱信號(hào)的步驟如下：

第一步，對待測信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，判斷信號(hào)頻率數(shù)量級(jí)，選擇合適的循環(huán)混沌檢測系統(tǒng)；

第二步，調(diào)節(jié)系統(tǒng)處于混沌與大周期狀態(tài)的臨界狀態(tài)，設(shè)定系統(tǒng)循環(huán)初始值，選擇策動(dòng)力頻率循環(huán)迭代步長，加載間歇混沌現(xiàn)象記錄程序；

第三步，提取各顯著間歇混沌周期，計(jì)算被測信號(hào)頻率，并求均值，均值即為被測信號(hào)頻率。

圖6 基于Duffing陣子循環(huán)檢測系統(tǒng)流程圖

圖7 檢測純信號(hào)時(shí)，記錄程序記的間歇混沌現(xiàn)象

圖8 檢測帶噪聲信號(hào)時(shí)，記錄程序記間歇混沌現(xiàn)象

觀察圖9、圖10不難看出隨機(jī)噪聲的加入使得原來很光滑的輸出變得粗糙，但未破壞間歇混沌現(xiàn)象，可以明顯看出間歇周期，從而通過軟件程序計(jì)算出待測信號(hào)頻率。

4 仿真分析

為驗(yàn)證基于Duffing振子的循環(huán)檢測方法性能，本試驗(yàn)在強(qiáng)噪聲下(信噪比-40dB)，對比新方法與傳統(tǒng)Duffing陣法檢測性能，以及計(jì)算速度。

調(diào)整Duffing檢測系統(tǒng)基本參數(shù)，降低檢測系統(tǒng)閾值，選用與待測信號(hào)同一數(shù)量級(jí)的閾值的檢測系統(tǒng)。

選用k=0.5，α=0.04，β=3000參數(shù)，預(yù)置系統(tǒng)周期策動(dòng)力角頻率為1。建立Duffing振子檢測系統(tǒng)：

(7)

經(jīng)過仿真得到此系統(tǒng)閾值為rd=0.0103。

待測信號(hào)模型為：

s(t)=0.01cos(1.09t)+n(t)

(8)

其中n(t)為均值為0，方差為1的高斯白噪聲。

方法1：建立Duffing振子陣，含陣元10，各振元策動(dòng)力頻率為ω、1.03ω、1.032ω…1.039ω，并將各陣元調(diào)至系統(tǒng)混沌到大周期的臨界閾值。

方法2：建立基于Duffing振子的循環(huán)檢測系統(tǒng)，循環(huán)步長0.03，并設(shè)置程序自動(dòng)記錄(記錄顯著間歇混沌數(shù)據(jù))。

圖9 混沌陣第4個(gè)陣元的間歇混沌現(xiàn)象

圖10 循環(huán)檢測法記錄程序記錄的間歇混沌現(xiàn)象

通過方法1，對各陣元進(jìn)行仿真計(jì)算，發(fā)現(xiàn)閾值為0.944的陣元混沌間歇周期最大，如圖11，由式(5)可知，間歇周期越大，檢測系統(tǒng)策動(dòng)力與待測信號(hào)頻率越接近，可認(rèn)為該策動(dòng)力頻率就是待測信號(hào)頻率。因此認(rèn)為待測信號(hào)頻率為1.0927，檢測誤差為0.25%。

通過方法2檢測，按照圖6流程，提取的間歇混沌現(xiàn)象，如圖12，對于各間歇混沌的周期進(jìn)行均值處理，均值為1.0901即待測信號(hào)頻率為1.0901，檢測誤差為0.09%。且計(jì)算速度遠(yuǎn)快于方法1。

通過與傳統(tǒng)方法對比不難看出，在-40dB的信噪比下，基于Duffing振子的循環(huán)檢測法微弱信號(hào)檢測性能優(yōu)于傳統(tǒng)混沌陣法，且計(jì)算速度遠(yuǎn)快于方法1。

5 結(jié)束語

本文分析了間歇混沌基本原理，推導(dǎo)了待測信號(hào)幅值大小對于間歇混沌現(xiàn)象的影響，給出了通過調(diào)整檢測系統(tǒng)參數(shù)來調(diào)低閾值的解決方法，提出了基于Duffing振子循環(huán)檢測方法步驟，并對-40dB信噪比下弱信號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明新方法檢測精度優(yōu)于傳統(tǒng)方法。