轉(zhuǎn)子不對(duì)中非線性動(dòng)力學(xué)特性研究

馬文生，李方忠，陳平偉，李長(zhǎng)波，李忠剛

(1.重慶水泵廠有限責(zé)任公司總經(jīng)辦， 重慶 400033; 2.重慶機(jī)集團(tuán)博士后科研工作站，重慶 400033;3.北京化工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 北京 100029; 4.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 哈爾濱 150001)

據(jù)有關(guān)資料統(tǒng)計(jì)表明，約60%的旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)故障由軸系不對(duì)中引起或與之相關(guān)[1-6]。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和工業(yè)不斷發(fā)展，旋轉(zhuǎn)機(jī)械朝著大功率、高轉(zhuǎn)速、高精度、高溫和重載的方向發(fā)展，由于這些特殊工作環(huán)境，對(duì)聯(lián)軸器的功能與作用提出了更新、更高的要求，除了連接兩個(gè)軸段，傳遞扭矩和動(dòng)力外，有時(shí)還要求其具有補(bǔ)償兩軸段的相對(duì)偏移，起到減振、緩沖的作用，不僅要求提高傳動(dòng)精度及效率，而且要求降低噪聲，達(dá)到節(jié)能的目的，還要優(yōu)化轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作性能。當(dāng)連聯(lián)軸器發(fā)生不對(duì)中故障時(shí)，轉(zhuǎn)子容易發(fā)生如下故障：振動(dòng)過(guò)大、軸變形、油膜振蕩和軸承損壞等，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)危害較大。隨著旋轉(zhuǎn)機(jī)械的設(shè)計(jì)規(guī)范和設(shè)計(jì)要求的提高，轉(zhuǎn)子和靜子之間的間隙也逐漸變小，聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生不對(duì)中故障時(shí)，聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受到的影響也較大[7-13]。

1 不對(duì)中力學(xué)模型建立

齒式聯(lián)軸器可以由左套齒和右套齒組成，左半套齒聯(lián)軸器和右半套齒聯(lián)軸器設(shè)計(jì)軸心線和連個(gè)套齒的軸心線重合時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對(duì)中較好，這是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸向不對(duì)中力較小，進(jìn)而不考慮轉(zhuǎn)子的軸向振動(dòng)，并且齒式聯(lián)軸器可以對(duì)軸向位移進(jìn)行補(bǔ)償，可以假設(shè)這種情況聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是對(duì)中的。當(dāng)左半套齒聯(lián)軸器和右半套齒聯(lián)軸器設(shè)計(jì)軸心線和連個(gè)套齒的軸心線不重合時(shí)，此時(shí)聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)有一定的徑向不對(duì)中量，如圖1所示，本文模型只有研究平行不對(duì)中引起的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

圖1 聯(lián)軸器平行不對(duì)中

建立具有聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，需要確定聯(lián)軸器的模型，簡(jiǎn)化后聯(lián)軸器模型如圖1所示。聯(lián)軸器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用有限元梁?jiǎn)卧?，首先把?lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)系統(tǒng)分為若干個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)之間采用軸段連接到一起，將軸段和結(jié)點(diǎn)分別建立相對(duì)應(yīng)的方程，匯總所有軸段和節(jié)點(diǎn)的方程，最終得到整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。通過(guò)選取支承處到聯(lián)軸器的軸段，并對(duì)該部分的齒式聯(lián)軸器進(jìn)行等效處理，將左半套齒聯(lián)軸器和右半套齒聯(lián)軸器等效為左、右兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，假設(shè)等效后的左右半套齒聯(lián)軸器的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為O1和O2，將左、右半聯(lián)軸器的質(zhì)量集中到假設(shè)的左右半聯(lián)軸器的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上。由于支承處到聯(lián)軸器的軸段距離較短，可以認(rèn)為是剛性軸段，此時(shí)左、右兩個(gè)半聯(lián)軸器作柱形渦動(dòng)。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩端支承假設(shè)采用彈性支承，其剛度分別取k1和k2。假設(shè)聯(lián)軸器引起的不對(duì)中量為δ，在聯(lián)軸-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高速運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，齒式聯(lián)軸器具有一定限位功能，假設(shè)左、右兩個(gè)半聯(lián)軸器在高速運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，一直保持著不對(duì)中量δ。

1.1 聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的能量方程

1.1.1 聯(lián)軸器轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的系統(tǒng)動(dòng)能

左、右兩個(gè)齒式半聯(lián)軸器的型心坐標(biāo)是O1(x1,y1)和O2(x2,y2)如圖2所示，左邊齒式半聯(lián)軸器存在著一定偏心量e，而右側(cè)齒式半聯(lián)軸器偏心量為0。假設(shè)聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為Ω，初相位為0，左半聯(lián)軸器的質(zhì)心為C1，右半聯(lián)軸器的型心與質(zhì)心重合，質(zhì)心坐標(biāo)向量分別為：

(1)

圖2 半齒聯(lián)軸器截面坐標(biāo)

(2)

故系統(tǒng)的動(dòng)能為：

(3)

在上式中，左邊聯(lián)軸器在節(jié)點(diǎn)處的等效質(zhì)量為m1，右半聯(lián)軸器在節(jié)點(diǎn)處的等效質(zhì)量為m2，左半聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，右半聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)為“·”。

兩個(gè)半聯(lián)軸器在運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，一直保持著固定的不對(duì)中量δ，故兩個(gè)半聯(lián)軸器之間滿足約束方程：

(x1-x2)2+(y1-y2)2=δ2

(4)

將型心O2投影到型心O1的平面上，將型心O2的坐標(biāo)用型心O1的坐標(biāo)表示，由式(4)得到

(5)

以坐標(biāo)平面上的型心O1中心，建立相應(yīng)的動(dòng)坐標(biāo)系η、ξ，建立的動(dòng)坐標(biāo)系以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)角速度Ω圍繞著對(duì)應(yīng)的固定坐標(biāo)系x、y轉(zhuǎn)動(dòng)，其運(yùn)轉(zhuǎn)方式如圖3所示，得到φ=Ωt+θ，故用x1、y1和θ表示的O2的坐標(biāo)位置：

(6)

將式(5)代入到式(6)得到系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式：

(7)

圖3 聯(lián)軸器型心運(yùn)轉(zhuǎn)方式

1.1.2 聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的勢(shì)能

齒式聯(lián)軸器和軸段為剛性連接，進(jìn)而不考慮不考慮其重力勢(shì)能以及彈性勢(shì)能，假設(shè)聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩端的支承為彈性支承，其間的軸段運(yùn)動(dòng)形式為柱形渦動(dòng)，獲得聯(lián)軸器的型位移和支承的徑向位移具有相同的方向和大小,U表示聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)德勢(shì)能，聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的勢(shì)能只有支承位置的彈性勢(shì)能，其勢(shì)能為：

(y1-δsin(Ωt+θ)2]

(8)

1.1.3 系統(tǒng)的耗散能

系統(tǒng)的能量耗散可以用Rayleigh耗散函數(shù)ψp表示：

(9)

在式中，左齒式半聯(lián)軸器的黏性阻尼系數(shù)為c1，右齒式半聯(lián)軸器的黏性阻尼系數(shù)為c2。

將式(5)代入式(9)得到O1的坐標(biāo)和θ表示Rayleigh耗散函數(shù)ψp：

(10)

1.2 不對(duì)中動(dòng)力學(xué)方程

運(yùn)用拉格朗日方程，考慮系統(tǒng)存在不平衡力，由此得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程組：

(11)

(12)

由z=A-1F可以得到方程：

(13)

聯(lián)軸器的結(jié)構(gòu)通常為對(duì)稱(chēng)式，假設(shè)質(zhì)量m1=m2=m，左半齒半聯(lián)軸器剛度等于右半齒聯(lián)軸器的剛度，令k1=k2=k，假設(shè)左半齒聯(lián)軸器存在一定阻尼，而右半齒聯(lián)軸器不存在黏性阻尼，c2=0，c1=c，令x1=x、y1=y。獲得式(13)，得：

(14)

對(duì)聯(lián)軸器的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行無(wú)量綱化處理，令X=x/δ、Y=y/δ、τ=Ωt，式(14)化為：

(15)

式中，X′、X″、Y′、Y″、θ′、θ″分別表示對(duì)τ的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

2 不對(duì)中和不平衡對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響

圖時(shí)X響應(yīng)圖

圖5 X的幅值譜圖

3 結(jié)論

帶有聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在低轉(zhuǎn)速運(yùn)轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡量激起的不平衡力和不對(duì)中激起的不對(duì)中力共同作用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)形式為擬周期運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子不平衡量引起的激勵(lì)力隨轉(zhuǎn)速增大而增大，而不對(duì)中激起的不對(duì)中力影響逐漸變小，聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)變?yōu)橐曰緸橹鞯膯沃芷谶\(yùn)動(dòng)形式。聯(lián)軸器-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的響應(yīng)也與不平衡量和不對(duì)中比值有關(guān)，當(dāng)不對(duì)中和不平衡的比值較大時(shí)，聯(lián)軸器不對(duì)中對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響明顯，當(dāng)不平衡量和不對(duì)中量的比較大時(shí)，不平衡對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響明顯。