關(guān)于初中“最短路徑問題”的教學(xué)之悟

曹俊玲

摘要：在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大部分學(xué)生一旦涉及運(yùn)用性的問題時(shí)，就感到無從下手，特別是在建立數(shù)學(xué)模型和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題等方面。本文以初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“最短路徑問題”為例，提出了一些心得。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)? ?最短路徑問題

一、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“最短路徑問題”簡述

在人教版八年級上冊“最短路徑問題”的教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，最短路徑問題的教學(xué)模型有兩個(gè)，即“牧馬人飲馬問題”和“造橋選址問題”。而運(yùn)用最多的是“牧馬人飲馬問題”，它最早來源于“將軍飲馬問題”。下面，筆者重點(diǎn)對“牧馬人飲馬問題”進(jìn)行教學(xué)分析。

二、教學(xué)效果分析

在教學(xué)過程中，“牧馬人飲馬問題”模型的教學(xué)是比較輕松的，學(xué)生也容易掌握，?？寄Ｐ褪莾牲c(diǎn)在直線同側(cè)。如圖1所示，其原理是兩點(diǎn)之間線段最短。結(jié)合軸對稱知識(shí)，將其中任意一點(diǎn)做出它的對稱點(diǎn)，再連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則很容易找到最短路徑。但是出題者常常結(jié)合角平分線的性質(zhì)、三角形、四邊形、圓、坐標(biāo)系等知識(shí)點(diǎn)出題，如圖2所示，由于學(xué)生在綜合運(yùn)用能力上的表現(xiàn)不一，這就導(dǎo)致“最值問題”成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)之一。下面，筆者以朱村中學(xué)近期期中考試的一道題目為例，進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析。

如圖3所示，△ABC為等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，高AH=10厘米，P為AH上一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PB的最小值為 ______厘米。

解：∵點(diǎn)B關(guān)于AH的對稱點(diǎn)為C，如圖4所示

∴連接CD，則PD+PB的最小值為CD的長度

∵△ABC為等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)

∴CD⊥AB

∴CD=AH=10厘米

∴PD+PB的最小值為10厘米

這道題為考試試卷填空題第16題，是填空題里的最后一題，其難度是比較大的，但是由于出題者將它設(shè)計(jì)為填空題，而且結(jié)合了等邊三角形的性質(zhì)，學(xué)生容易根據(jù)三線合一的性質(zhì)，猜到答案為10。如表1所示，學(xué)生答題的正確率為63.6%，得分率比較高。但還是有28.1%的學(xué)生不明白最短路徑原理，可見最值問題確實(shí)難度較大。

三、教學(xué)反思與感悟

1.抓住特征，理解本質(zhì)

“最短路徑問題”考查的知識(shí)點(diǎn)主要有“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”“點(diǎn)關(guān)于線對稱”“線段的平移”等，其主要原型是“牧馬人飲馬問題”“造橋選址問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、矩形、拋物線等類型。解決此類問題的總體思路是找到點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。

2.歸納方法，尋找技巧

由于最短路徑問題與其他知識(shí)點(diǎn)具有較強(qiáng)的融合性，教師可以根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)靈活變式，歸納解題方法，再根據(jù)已有的模型和結(jié)論，抓住這一類問題的本質(zhì)，找到解題技巧。華羅庚先生說過：“書要越讀越薄?！弊鲱}目也是這樣。題目是做不完的，但學(xué)生如果經(jīng)常歸納方法，找到技巧，也可以越做越“精”，這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)自學(xué)能力非常有益。

參考文獻(xiàn)：

[1]荀峰.最短路徑問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015，（Z2）.

[2]張媛.關(guān)于初中數(shù)學(xué)最短路徑問題的探究[J].高考，2017，（6）.

（作者單位：廣州市增城區(qū)朱村中學(xué)）