Accretive-dissipative矩陣的行列式不等式

薛建明

(昆明理工大學(xué) 津橋?qū)W院，云南 昆明 650106)

(1)

在 (1)式中，A11和A22分別是k和l階的，并令m=min(k,l)。

2004年俄羅斯數(shù)學(xué)家Ikramov在文獻(xiàn)[1]中證明了Accretive-dissipative矩陣的行列式不等式：若A∈Mn(C)是Accretive-dissipative矩陣且分塊如 (1)，則

|detA|≤3m|detA11|·|detA22| 。

(2)

2013年Lin在文獻(xiàn)[2]中得到了比 (2)式更好的結(jié)果：若A∈Mn(C)是Accretive-dissipative矩陣且分塊如 (1)，則

(3)

最近幾年，許多學(xué)者發(fā)表了關(guān)于Accretive-dissipative矩陣不等式的一些文章，詳見文獻(xiàn)[3-6]。在本文中，我們主要研究Accretive-dissipative矩陣的行列式不等式，并得到了比 (3)式更好的結(jié)果。

1 主要結(jié)果

為了得到主要結(jié)果，我們首先給出如下引理。

引理1[1]設(shè)A∈Mn(C)是Accretive-dissipative矩陣且分塊如 (1)，則A-1=D-iE，其中D=(B+CB-1C)-1，E=(C+BC-1B)-1。

引理2[7]設(shè)B,C∈Mn(C)是Hermitian矩陣且B是正定的，則B+CB-1C≥2C。

引理3[2]設(shè)B,C∈Mn(C)是半正定矩陣，則|det(B+iC)|≤det(B+C)。

引理4 設(shè)A,B∈Mn(C)是正定矩陣，則

det(A+B)≤rn|det(A+iB)|，

=rn|det(A+iB)|。

定理1 設(shè)A∈Mn(C)是Accretive-dissipative矩陣且分塊如 (1)，則

|detA|≤2mrm|detA11|·|detA22|，

(4)

證明當(dāng)m=l時，令

由引理1，引理2可知，

(5)

因為B,C是正定矩陣，所以

(6)

由(5)和(6)可知，

(7)

由引理3，(7)和引理4可得

|det(A/A11)|

= |det(F+iG)|

≤det(F+G)

≤det(2B22+2C22)

≤2mdet(B22+C22)

≤2mrm|det(B22+iC22)|

≤2mrm|detA22|。

當(dāng)m=k時，類似可得

|det(A/A22)|=2mrm|detA11|。

由|detA|=|detAii|·|det(A/Aii)|(i=1,2)可得

|detA|≤2mrm|detA11|·|detA22|。