PID控制器參數(shù)整定復(fù)雜性的分析

嚴(yán)剛峰

(成都大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 四川 成都 610106)

0 引 言

PID控制是比例(Proportion,P)、積分(Integral,I)、微分(Differential,D)控制的簡(jiǎn)稱，它利用系統(tǒng)的誤差、誤差的微分和積分信號(hào)共同來(lái)構(gòu)成控制規(guī)律，對(duì)被控系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)節(jié)，具有實(shí)現(xiàn)方便、成本低、效果好、適用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，因而在實(shí)際控制工程中得到了廣泛的應(yīng)用.目前，盡管各類先進(jìn)控制理論與方法層出不窮，通過(guò)被控對(duì)象建模，設(shè)計(jì)先進(jìn)的控制算法可以得到很好的控制效果[1-2]，但PID控制器在實(shí)際工程控制應(yīng)用中所占的比例仍高于85%，這主要是因?yàn)閷?duì)實(shí)際工程控制系統(tǒng)而言，控制對(duì)象的數(shù)學(xué)模型一般難以建立，其參數(shù)一般也會(huì)發(fā)生變化，若應(yīng)用先進(jìn)控制理論的方法來(lái)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，往往需要付出很大的代價(jià)，所以考慮控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)的成本要求，實(shí)際工程控制應(yīng)用往往還是采用PID控制器.

PID控制器研究的重點(diǎn)主要是關(guān)于PID控制器參數(shù)整定方法的研究[3-9].例如，楊彬彬等[10]對(duì)特定控制系統(tǒng)采用了分區(qū)的PID控制方法，根據(jù)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，提出了采用二分查找法和插值查找法的復(fù)合參數(shù)整定方法，實(shí)現(xiàn)了常規(guī)PID控制器參數(shù)整定難以完成的情形；張麗香等[11]針對(duì)工業(yè)生產(chǎn)中存在大延遲特性的系統(tǒng)及存在不穩(wěn)定特性的開環(huán)系統(tǒng)，采用二自由度模型來(lái)調(diào)整PID控制系統(tǒng)，可以通過(guò)PD補(bǔ)償器將這種實(shí)際被控生產(chǎn)過(guò)程等效為帶有延遲的一階系統(tǒng)，得到的等效系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于實(shí)際被控系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，同時(shí)分析了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法及參數(shù)整定原理，并將其應(yīng)用到了實(shí)際的自動(dòng)控制系統(tǒng)中；嚴(yán)剛峰等[12]結(jié)合遺傳算法與模擬退火算法，將其應(yīng)用于PID控制器參數(shù)的優(yōu)化整定，得到了以誤差最小的適應(yīng)度函數(shù)為優(yōu)化準(zhǔn)則的最優(yōu)參數(shù).

實(shí)際上，以上研究大都是應(yīng)用優(yōu)化方法將復(fù)雜的PID控制器參數(shù)整定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化方法的特定應(yīng)用問(wèn)題.因此，深入理解PID控制器參數(shù)整定的復(fù)雜性對(duì)于選擇和應(yīng)用PID控制器具有重要意義.對(duì)此，本研究首先從理解PID控制器各部分運(yùn)算的性質(zhì)出發(fā)，給出各控制參數(shù)的物理意義，然后從引入PID控制器后對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)特征根的分布及頻率特性的影響來(lái)說(shuō)明整定PID控制器參數(shù)的復(fù)雜性，最后采用常見的二階被控對(duì)象，以PD控制器為例，從時(shí)域的角度繪制出比例參數(shù)，且當(dāng)微分參數(shù)變化時(shí)來(lái)從對(duì)應(yīng)超調(diào)量、上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間的三維曲線上直觀理解PID控制器參數(shù)整定的非線性特點(diǎn)，對(duì)于合理選擇和應(yīng)用PID控制器具有一定的參考價(jià)值.

1 PID控制器的特點(diǎn)

1.1 PID控制器的特點(diǎn)

PID控制器的傳遞函數(shù)模型可表示為，

(1)

1)比例(P)控制規(guī)律.

具有比例運(yùn)算規(guī)律的控制器，稱為比例控制器，其傳遞函數(shù)為，

GP(s)=kP

(2)

式中，kP為比例參數(shù).

比例控制器實(shí)質(zhì)上是具有可調(diào)增益的放大器.比例控制信號(hào)存在的前提是控制器的輸入信號(hào)偏差不為0，因此僅采用比例控制，系統(tǒng)必然存在余差.在信號(hào)變換過(guò)程中，比例控制器只改變信號(hào)的增益而不影響其相位.在串聯(lián)校正中，加大控制器增益kP，可以提高系統(tǒng)的開環(huán)增益，減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，從而提高系統(tǒng)的控制精度.對(duì)于二階被控系統(tǒng)，kP增大時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)和阻尼系數(shù)均會(huì)減小，表明通過(guò)調(diào)節(jié)比例控制，在提高穩(wěn)態(tài)控制精度的同時(shí)，還可以加快瞬態(tài)響應(yīng)速度，但根據(jù)系統(tǒng)的頻率特性，可以清楚地看到，過(guò)大的kP會(huì)減小系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，同時(shí)使系統(tǒng)的超調(diào)量增大，甚至可能造成閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定.因此，系統(tǒng)校正設(shè)計(jì)很少單獨(dú)使用比例控制規(guī)律.

2)積分(I)控制規(guī)律.

具有積分運(yùn)算規(guī)律的控制器，稱為積分控制器，其傳遞函數(shù)為，

(3)

式中，kI為積分參數(shù).

由于積分控制器的積分作用，當(dāng)其輸入消失后，輸出信號(hào)有可能是不為0的常量.采用積分控制器，對(duì)于串聯(lián)校正可以提高系統(tǒng)的型別，也就是無(wú)差度，有利于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的提高，但積分控制使系統(tǒng)增加了1個(gè)位于原點(diǎn)的開環(huán)極點(diǎn)，使信號(hào)產(chǎn)生了90°的相角滯后，這種通過(guò)降低系統(tǒng)的快速性來(lái)獲得高的穩(wěn)態(tài)性能，對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能來(lái)說(shuō)是不利的.因此，系統(tǒng)校正設(shè)計(jì)通常也不會(huì)采用單一的積分控制器.

3)微分(D)控制規(guī)律.

具有微分運(yùn)算規(guī)律的控制器，稱為微分控制器，其傳遞函數(shù)為，

GD(s)=kDs

(4)

式中，kD為微分參數(shù).

微分控制規(guī)律由于能反映輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)，在輸入信號(hào)的值變得太大或太小之前，由于其敏感變化趨勢(shì)而具有的預(yù)見性，可為系統(tǒng)引進(jìn)有效的超前控制信號(hào)，以增加系統(tǒng)的阻尼程度，從而改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能.應(yīng)當(dāng)注意的是，微分運(yùn)算對(duì)于噪聲信號(hào)有放大作用，因此，系統(tǒng)校正設(shè)計(jì)也不能采用單一的微分控制器.

實(shí)際工程一般根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求采用比例(P)、積分(I)、微分(D)控制的組合形式構(gòu)成控制器，比如常見的PI、PD和PID控制器.如何根據(jù)被控對(duì)象來(lái)合理整定參數(shù)kP、kI與kD，對(duì)于設(shè)計(jì)滿足規(guī)定性能指標(biāo)的PID控制器是至關(guān)重要的.

各參數(shù)對(duì)控制系統(tǒng)性能有非常復(fù)雜的影響，所以為了便于分析，本研究考慮單位負(fù)反饋系統(tǒng)，以式(5)所示的典型二階被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為例來(lái)探討PID控制器參數(shù)整定的復(fù)雜性.

(5)

1.2 PID控制器參數(shù)對(duì)根軌跡的影響

以式(5)的被控對(duì)象為例，選用PID控制器，kI和kD分別取0到10，步長(zhǎng)為1，以kP為參變量的系統(tǒng)根軌跡族如圖1所示.

圖1式(5)被控對(duì)象的單位負(fù)反饋PID控制根軌跡族圖

由圖1可知，kP、kI與kD的變化對(duì)系統(tǒng)極點(diǎn)的分布產(chǎn)生了很復(fù)雜的影響，引入微分作用相當(dāng)于增加了開環(huán)零點(diǎn)，可以使根軌跡左移，有利于改善控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)性能，而增加積分作用相當(dāng)于增加了1個(gè)開環(huán)極點(diǎn)和1個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，將使根軌跡向右移，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且積分作用越強(qiáng)，系統(tǒng)越趨于不穩(wěn)定.僅對(duì)根軌跡的定性分析就可知，合理整定kP、kI與kD的值來(lái)獲得好的控制效果并非易事.即使結(jié)合期望閉環(huán)極點(diǎn)位置來(lái)選擇kP、kI與kD的值，盡管可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)控制性能還取決于極點(diǎn)對(duì)應(yīng)分量的幅值，這與系統(tǒng)的閉環(huán)零點(diǎn)有關(guān).總之，PID控制器參數(shù)整定過(guò)程是相當(dāng)復(fù)雜的.

1.3 PID控制器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響

本研究通過(guò)PID控制器參數(shù)的選擇，結(jié)合系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)指定的動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)改善的要求及時(shí)域性能指標(biāo)與開環(huán)頻率特性的關(guān)系來(lái)了解PID控制器參數(shù)對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響.仍以式(5)的被控對(duì)象為例，PID控制器的對(duì)數(shù)幅頻特性如圖2所示.

圖2 PID控制器的對(duì)數(shù)幅頻特性

由圖2可知，PID控制器可以視為對(duì)低頻段和高頻段都有提升效果的濾波器.本研究選擇kP=12、kI=10與kD=2來(lái)分別討論kP、kI與kD單獨(dú)變化對(duì)控制性能的影響.

1)kP變化.

保持kI=10、kD=2，分別選擇kP=12和kP=25，得到kP變化對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響，如圖3所示.

圖3kP變化對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響

由圖3可知，kP增大時(shí)，控制作用增強(qiáng)，響應(yīng)速度提高，恒值控制系統(tǒng)的最大偏差減小，余差也減少，但穩(wěn)定裕量降低，穩(wěn)定性惡化，振蕩趨勢(shì)增強(qiáng).

2)kI變化.

保持kP=12、kD=2，分別選擇kI=10和kI=20，得到kI變化對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響，如圖4所示.

圖4kI變化對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響

由圖4可知，kI的增大會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量降低、穩(wěn)定性下降、振蕩趨勢(shì)增強(qiáng)且動(dòng)態(tài)性能變差.如果采用減小比例作用來(lái)補(bǔ)償過(guò)強(qiáng)積分作用的不利影響，在保證穩(wěn)定裕度不減小的情況下，系統(tǒng)的截止頻率會(huì)降低，系統(tǒng)性能變差.

3)kD變化.

保持kP=12、kI=10，分別選擇kD=2和kD=6，得到kD變化對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響，如圖5所示.

圖5kD變化對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響

由圖5可知，kD增大時(shí)，穩(wěn)定裕量增加，截止頻率提高，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得到改善，超調(diào)量減少了，但調(diào)節(jié)時(shí)間增加.

頻率特性的低頻段體現(xiàn)了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，中頻段反映了系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，而高頻段表征系統(tǒng)的抗干擾能力，所以系統(tǒng)要獲得滿意的控制效果，就需要通過(guò)控制參數(shù)的整定使低頻段具有較高的增益.中頻段的幅頻特性的曲線斜率接近-20 dB/Dec，占據(jù)有一定寬度，且具有較高的截止頻率，而高頻段具有較大的負(fù)斜率.

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，

(6)

1.4 控制參數(shù)的選擇對(duì)系統(tǒng)控制性能影響的時(shí)域演示

通過(guò)前面的分析可知，較好地整定控制參數(shù)不是一件容易的事情，而在實(shí)際控制工程中，被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型一般是不能被精確取得的，因此，對(duì)PID控制器的參數(shù)整定會(huì)變得更加復(fù)雜.

本研究通過(guò)時(shí)域求解，給出了控制參數(shù)變化而導(dǎo)致系統(tǒng)控制性能改變的復(fù)雜關(guān)系的直觀演示.以PD控制為例，kP和kD連續(xù)變化對(duì)超調(diào)量Mp、上升時(shí)間Tr和調(diào)節(jié)時(shí)間Ts的影響分別如圖6、圖7與圖8所示.對(duì)于上升時(shí)間Tr，本研究定義為單位階躍響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需要的時(shí)間.調(diào)節(jié)時(shí)間Ts，本研究使用的是在單位階躍響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值附近，取±2%作為誤差帶，響應(yīng)曲線達(dá)到并不再超出該誤差帶的最小時(shí)間.總之，圖6、圖7與圖8直觀展示了控制參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能影響的復(fù)雜性.

圖6 PD控制器中kP和kD變化對(duì)超調(diào)量Mp的影響

圖7 PD控制器中kP和kD變化對(duì)上升時(shí)間Tr的影響

圖8 PD控制器中kP和kD變化對(duì)調(diào)節(jié)時(shí)間Ts的影響

2 討 論

盡管PID控制器的各部分運(yùn)算功能易于理解，但組合成PI、PD和PID控制器后系統(tǒng)性能的調(diào)節(jié)就變得相當(dāng)復(fù)雜，這從PID控制器的參數(shù)對(duì)根軌跡和頻率特性的影響可以看出，主要是因?yàn)閗P、kI與kD對(duì)控制性能的改善是相互影響的，所呈現(xiàn)的是復(fù)雜的非線性關(guān)系.事實(shí)上，PI、PD和PID控制器在使用中都存在一些局限.

PI控制器中的積分環(huán)節(jié)可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，使開環(huán)傳遞函數(shù)中沒(méi)有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0.但是，對(duì)于開環(huán)傳遞函數(shù)中有1個(gè)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，可能會(huì)引起穩(wěn)定方面的問(wèn)題，而對(duì)于開環(huán)傳遞函數(shù)中有2個(gè)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，則不宜再增加積分環(huán)節(jié)，否則系統(tǒng)將不穩(wěn)定.

PD控制器可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但是PD控制器中的微分環(huán)節(jié)屬于理想模型，很難實(shí)現(xiàn).從頻率特性來(lái)看，對(duì)高頻段的無(wú)限提升在實(shí)際應(yīng)用中是不可能實(shí)現(xiàn)的.任何實(shí)際裝置的頻率特性在高頻段總會(huì)下降.另一方面，控制系統(tǒng)采用PD校正的目的是為了改善中頻段的性質(zhì)，也就是截止頻率附近的特性，并不希望提升高頻段的增益，因?yàn)楦哳l段的增益過(guò)高容易使控制器受到高頻噪聲信號(hào)的影響.

PID控制器的設(shè)計(jì)需要使用基本概念，在估算的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)若干次嘗試達(dá)到設(shè)計(jì)的目的.在設(shè)計(jì)過(guò)程中，仿真方法的應(yīng)用會(huì)帶來(lái)指導(dǎo)性的幫助.不同的控制系統(tǒng)對(duì)性能指標(biāo)要求也不同，如恒值控制系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)精度要求很高，而隨動(dòng)系統(tǒng)則對(duì)快速性期望較高.在制定指標(biāo)時(shí)，一方面要做到有所側(cè)重，另一方面還要切合實(shí)際，能達(dá)到系統(tǒng)正常工作的要求即可，不應(yīng)追求不切實(shí)際的高性能指標(biāo).