量子Fokker-Planck方程線性化算子的正則性與解的整體存在性

孫鳳嬌， 林春進(jìn)

(河海大學(xué) 理學(xué)院， 江蘇 南京 210098)

0 引言

本文主要討論描述費米子的量子Fokker-Planck方程

?tF+v·xF==·[F+vF(1-F)]

(1)

這里未知函數(shù)F(t,x,v)表示在時間t>0、空間x∈P3、速度v∈P3的費米子的分布函數(shù)，函數(shù)滿足Pauli不相容原理，即0≤F(t,x,v)≤1；x和分別表示關(guān)于空間變量x和速度變量v的梯度.

若分布函數(shù)F與空間變量x無關(guān)，則相應(yīng)的方程(1)稱為空間齊次的非線性Fokker-Planck方程；若在方程(1)中忽略因式1-F，此時方程(1)是一個線性方程，即為經(jīng)典的Fokker-Planck方程，描述的是Maxwell氣體的分布函數(shù)；若在方程(1)中以1+F代替1-F，此時方程(1)則為描述玻色子的量子Fokker-Planck方程.由統(tǒng)計力學(xué)相關(guān)知識可知， Maxwell氣體、費米子、玻色子的平衡態(tài)分別服從Gauss分布、Fermi-Dirac分布和Bose-Einstein分布.更多的物理背景可參考文獻(xiàn)[1].

Carrillo等[2]應(yīng)用相對熵方法討論了量子Fokker-Planck方程的解收斂到相應(yīng)的平衡態(tài)；Toscani[3]討論了玻色子的量子Fokker-Planck方程的解的爆破，這類爆破對應(yīng)了物理上的Bose-Einstein凝聚現(xiàn)象.

本文首先討論方程(1)在Fermi-Dirac分布處的線性化算子的正則性.引入熵函數(shù)H(f)和熵積D(f)，并分別定義為

H(F)=

D(F)=

≥0.

可以驗證F∞(v)是方程(1)的一個靜態(tài)(空間齊次)解.

考慮方程(1)的解F(t,x,v)在Fermi-Dirac分布F∞(v)處的擾動：

(2)

代入方程(1)可得關(guān)于擾動f的方程

?tf+v·xf=-L(f)+NL(f)

(3)

其中線性算子L(f)和非線性算子NL(f)分別為

L(f)=

(4)

到它的對偶空間V′上的有界線性算子，且L是自伴的.

由算子L的表達(dá)式知算子L滿足：

(5)

由基本不等式知

于是有

(6)

定理1存在常數(shù)C>0，使得對任意的f∈Ker(L)⊥∩V，都有

(7)

〈L(f),f〉V′,V≥C(f,f)

(8)

(9)

〈L(f),f〉V′,V=〈L((I-P0)f),(I-P0)f〉V′,V≥

(10)

這類不等式在動力學(xué)方程方面有著重要的作用.對于描述Maxwell氣體分布函數(shù)的線性Fokker-Planck方程，其平衡態(tài)為Gauss分布，其正則性即為著名的對數(shù)Sobolev不等式[4-6].Degond等[7]討論了Landau方程的關(guān)于Gauss分布處的線性算子的正則性.Lemou[8]進(jìn)一步研究了帶相對效應(yīng)或量子效應(yīng)的Landau方程的線性算子的正則性.關(guān)于Fokker-Planck方程和更多的動力學(xué)方程，可參考文獻(xiàn)[9]；對數(shù)Sobolev不等式的推廣可參考文獻(xiàn)[10].

在線性算子L的正則性的結(jié)論下，可以證明描述費米子的Fokker-Planck方程在穩(wěn)態(tài)解F∞(v)附近解的整體存在性.

擾動函數(shù)f(t,x,v)滿足

(11)

動力學(xué)方程在平衡態(tài)附近光滑解的整體存在性，Guo[11]證明了周期區(qū)域上Landau方程中解的整體存在性，文獻(xiàn)[12]得到了描述費米子的Landau-Fermi-Dirac方程解的存在性，文獻(xiàn)[13,14]討論了量子Fokker-Planck方程在周期區(qū)域上整體解的存在性，文獻(xiàn)[15]中研究了一般化的量子Fokker-Planck方程以及自受引力粒子模型解的整體存在性，文獻(xiàn)[16]得到了Vlasov-Fokker-Planck方程解的整體存在性.

本文借鑒了文獻(xiàn)[16]中的技巧和文獻(xiàn)[15]中的證明方法，引入擾動函數(shù)宏觀量的估計，使一致先驗估計更為直觀.本文繞過對數(shù)Sobolev不等式，利用文獻(xiàn)[8]中的方法證明算子L的正則性，利用文獻(xiàn)[16]中的微宏觀分解技巧，引入宏觀量估計，獲得了解的一致先驗估計.

本文第1節(jié)，先給出定理1即線性算子的正則性的證明，其中命題1的證明放在第3節(jié).在第2節(jié)，給出定理2 的證明.在以下的證明中，與f無關(guān)的常數(shù)都用字母C表示，且每一步中C可能都不相同.

1 線性算子的正則性

本節(jié)將證明定理1.

若f(v)∈Ker(L)⊥∩V，記

(1-t)y)dtdy，

由Cauchy-Schwartz不等式得

(12)

其中C表示常數(shù)，函數(shù)ψ(x)為

ψ(x)=

對ψ(x)，有如下命題：

命題1存在常數(shù)C>0，使得

(13)

命題1的證明放在第3部分.利用命題1的估計式(13)，即得定理1.

2 擾動方程解的整體存在性

為了獲得方程(3)解的局部存在性，首先要構(gòu)造逼近解序列，并證明逼近解序列的一致能量估計.方法與Landau-Fermi-Dirac類似，可參考文獻(xiàn)[12].在解的局部存在性基礎(chǔ)上，需要更精細(xì)的一致先驗估計，以及連續(xù)延拓技巧來證明解的整體存在性.解的一致先驗估計是解的整體存在性的最關(guān)鍵的部分.本節(jié)主要討論解的一致先驗估計，首先給出能量泛函，然后證明能量泛函滿足不等式.

2.1 預(yù)備知識

本節(jié)利用正交投影將擾動f分解為宏觀部分和微觀部分的和，最后給出能量泛函.

記P為L2(P3)到

f=P0f+P1f+(I-P)f,

其中P0f的表達(dá)式見(9)，

?tρ+x·J=0

(14)

(15)

最后，給出能量泛函.自然數(shù)N=8，令

(16)

由正交投影，對任意的α,β

于是，利用三角不等式得

(17)

(18)

首先估計式(18)左端第二項.一方面由正交分解以及L的表達(dá)式，可得

另一方面由正則性，定理1，可得

于是式(18)左端第二項可以估計為

對右端非線性項，

CN(T)3

(19)

綜上，有如下估計：

C(N(0)2+N(T)3)

(20)

利用f的宏觀和微觀分解，方程(3)可寫為：

?t((I-P0)f)+v·x((I-P0)f)+

L((I-P0)f)=NL(f)-[?t(P0f)+

v·x(P0f)]，

(21)

上式中，左端第2項由Cauchy-Schwartz不等式和Young不等式，可以估計為

對于式(21)中左端第3項，利用文獻(xiàn)[15]中的引理2.3可得

下面估計式(21)中的非線性項，即式(21)中右端第1項，與式(19)的估計類似，可得

此外，式(21)右端第2項可以估計為

對式(21)乘以適當(dāng)?shù)某?shù)，再關(guān)于α,β求和，

|β|≥1,|α|+|β|≤N，并結(jié)合以上估計可以得到

(22)

2.4 ρ的估計

對式(15)兩邊關(guān)于x求α階偏導(dǎo)，此處|α|≤N-1，再關(guān)于?αxρ作內(nèi)積，最后關(guān)于t∈[0,T]積分可得

(23)

首先利用ρ,J滿足的方程式(15)，式(23)左端項可估計為

右端其余各項，由于只涉及關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)，利用估計式(20)，都可以被下式控制

綜上，對?|α|≤N-1，有

N(T)4)

(24)

2.5 一致先驗估計

由式(20)、(22)和(24)，得以下的一致先驗估計

N(T)2≤C(N(0)2+N(T)3+N(T)4)

(25)

根據(jù)文獻(xiàn)[12]、[16]或[17]，可得解的整體存在性，于是定理2獲證.

3 命題1的證明

在證明ψ(x)的估計式(13)之前，先給出兩個引理，它們在ψ(x)的分解式的估計中起著重要的作用.

引理1對任意的實數(shù)μ>0，都存在常數(shù)C(μ)，使得

(26)

?a∈[μ,+∞)

(27)

引理2若z<-1且z充分小，則

(28)

證明：對不等式左邊積分換元，令

下面先化簡ψ(x)，然后利用球坐標(biāo)公式將拆分成三部分，再利用引理1、引理2分別給出相應(yīng)的估計.

引入球坐標(biāo)z=x+ρu，其中ρ>0，μ∈S2.令x·u=|x|cosθ.記τ=ρ+|x|cosθ，則ψ(x)的估計可以進(jìn)一步化簡為

(29)

利用θ的取值范圍把上式右端拆成三項，即

ψ(x)≤C(ψ1(x)+ψ2(x)+ψ3(x)).

其中

(30)

(31)

(32)

C(1+|x|+|x|2)

(33)

于是，得到

ψ2(x)≤C(1+|x|+|x|2+|x|3)

(34)

(35)

綜合以上ψ1(x)、ψ2(x)、ψ3(x)的估計，可知存在常數(shù)A>0，使得對任意的|x|≥A，

ψ(x)≤C(1+|x|+|x|2+|x|3+

(36)

利用上式，只需要把命題1中式(13)P3上關(guān)于x的積分拆成關(guān)于|x|≥A和|x|≤A兩部分，即可獲得命題1的證明，具體的證明過程省略.

4 結(jié)論

本文主要考慮了描述費米子的非線性Fokker-Planck方程在它的一個平衡態(tài)，即Fermi-Dirac分布處的線性化方程正則性的問題，證明了線性化算子在其核空間的正交補(bǔ)空間上滿足一個Poincaré類不等式，并在其正則性的基礎(chǔ)上，證明了非線性Fokker-Planck方程的解在平衡態(tài)附近具有整體光滑解.