高中數(shù)學(xué)建模的設(shè)計與思考
——以體重與脈搏為例

■浙江省杭州高級中學(xué) 葉根福

一、過程設(shè)計與意圖分析

（一）發(fā)現(xiàn)問題，提出問題

教師：都說“數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活”，其中應(yīng)用于生活是指利用數(shù)學(xué)知識解決生活中的實際問題，也就是我這節(jié)課的主題——數(shù)學(xué)建模：體重與脈搏。

教師：醫(yī)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，動物的體重與脈搏存在著一定的關(guān)系。若能明確這個關(guān)系，則有助于更方便、更有效地認識人類心臟病的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律和研究預(yù)防措施，所以研究動物的體重與脈搏的函數(shù)模型意義重大。那么如何建立兩者之間的函數(shù)模型呢？

設(shè)計意圖：給出所要研究問題的背景，讓學(xué)生體會意識到建立體重與脈搏函數(shù)模型的必要性。

（二）選定對象，收集數(shù)據(jù)

教師：那么要建立體重與脈搏之間的函數(shù)模型，首先我們要做什么？

學(xué)生：收集一些動物的體重與脈搏的數(shù)據(jù)，用來加以研究。

教師：很好，這是數(shù)學(xué)建模非常重要的一個環(huán)節(jié)，收集的數(shù)據(jù)準確與否直接影響后面我們所建立的函數(shù)模型是否符合實際。只不過由于時間、空間與道具的限制，這一環(huán)節(jié)沒能在本節(jié)課上進行，這是通過大量測量以及大數(shù)據(jù)分析得到的一組動物的體重與脈搏的數(shù)據(jù)：

鼠（25，670），大鼠（200，420），豚鼠（300，300），兔（2000，205），小狗（5000，120），大狗（30000，85），羊（50000，70），馬（450000，38）。

設(shè)計意圖：雖然課堂時間有限，還是要讓學(xué)生理解數(shù)據(jù)收集這一環(huán)節(jié)的重要性，當然，如果條件允許，提前布置學(xué)生進行課前數(shù)據(jù)收集則效果更佳。

（三）直觀呈現(xiàn)，散點作圖

教師：得到這些數(shù)據(jù)后，我們要怎么處理？

學(xué)生：為了使兩組數(shù)據(jù)能更加直觀地呈現(xiàn)出來，可以在直角坐標系中描點，畫出散點圖。

教師：很好，請同學(xué)們動手試一試。

學(xué)生動手作圖，教師巡視，從中挑選幾位學(xué)生代表進行實物投影，并對所畫散點圖進行點評與指導(dǎo)。（學(xué)生作圖過程中自然能體會到由于數(shù)據(jù)很大，此處作圖比較困難，前幾組數(shù)據(jù)橫坐標的差異很難在圖中體現(xiàn)出來，只能作出簡圖。）

設(shè)計意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷散點作圖的過程，體會散點圖的作用。同時也為后面通過對數(shù)據(jù)處理簡化模型做好鋪墊。

（四）回顧舊知，選擇模型

教師：根據(jù)散點圖的走勢，你會選擇什么函數(shù)模型？請列舉你熟悉的函數(shù)模型。

學(xué)生：一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生回顧熟悉的函數(shù)模型，利于模型選擇。

（五）利用數(shù)據(jù)，求解模型

教師：初步觀察散點圖的走勢，你會選擇什么函數(shù)模型？

教師：好，根據(jù)你選擇的函數(shù)模型與測量數(shù)據(jù)，請同學(xué)們求出函數(shù)模型（每四人一個小組合作完成）。

……

（六）結(jié)合實際，檢驗?zāi)Ｐ?/h3>

教師：如何檢驗?zāi)闼蟪龅暮瘮?shù)是否符合實際呢？

教師：統(tǒng)計學(xué)中有多種方法刻畫，其中使我們高中生比較容易理解的是用該函數(shù)模型的殘差平方和大小來刻畫。設(shè)測量數(shù)據(jù)為（xi，yi）擬合函數(shù)為y=f(x)，殘差平方和

教師利用幾何畫板軟件給出新概念殘差平方和的幾何解釋即圖中的n條線段的平方和，并通過動畫引導(dǎo)學(xué)生得出殘差平方和（SSE）越小，函數(shù)模型擬合程度越好。

教師：請同學(xué)們計算你們小組得到的函數(shù)模型的殘差平方和，并判斷所得模型是否符合實際。

設(shè)計意圖：通過計算殘差平方和，讓學(xué)生學(xué)會如何整體檢驗一個函數(shù)模型是否符合實際。

（七）深入探究，合理優(yōu)化

教師：數(shù)學(xué)建模過程中，得到不符合實際的函數(shù)模型是很正常的，需要我們不斷的嘗試。那如何重新選擇函數(shù)模型呢？

教師：好，請同學(xué)們利用數(shù)據(jù)再次合作求出函數(shù)模型。（學(xué)生合作計算，教師巡視）

學(xué)生（部分過程教師引導(dǎo)）：我們組選擇點（25，670），（450000，38），把點代入得兩式相除得故從而得到不難計算該模型的殘差平方和SSE= 4513.7。

教師：很好，這個模型的擬合程度比前面得到的模型好了很多，下面我們通過圖像再次對比(此處圖略)。

教師：如果利用微積分的知識，我們可以求出最佳的a和k，使得殘差平方和SSE最小（即最小二乘法）。

設(shè)計意圖：得到不符合實際的函數(shù)模型后，引導(dǎo)學(xué)生通過對解析式的結(jié)構(gòu)分析，重新選擇函數(shù)模型。

（八）利用模型，解決問題

教師：如何利用函數(shù)模型解決實際問題呢？

學(xué)生：根據(jù)動物體重可以估計該動物的脈搏。

教師：老師的體重為72 千克，則可估計老師的脈搏為多少？

教師：進一步地通過對此問題的優(yōu)化分析，可以將體重與脈搏的比例關(guān)系應(yīng)用于現(xiàn)代醫(yī)學(xué)，進而達到預(yù)防疾病的目的。

設(shè)計意圖：通過實際問題的解決，使學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的意義。

（九）數(shù)據(jù)分析，簡化模型

教師：剛才我們在畫散點圖的時候，因為數(shù)據(jù)很大，所以畫起來很困難，那么我們是否可以對數(shù)據(jù)進行處理，達到大數(shù)化小數(shù)的目的呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析如10，102，103，104……等數(shù)只要確定它的指數(shù)即可得到原數(shù)，從而自然地引出取對數(shù)的思想。

教師：通過對體重與脈搏兩組數(shù)據(jù)，我們可以得到兩組新的數(shù)據(jù)，類似的，我們不難得到新的散點圖。

學(xué)生：顯然這兩組數(shù)據(jù)之間的關(guān)系更加清楚，不難想到選擇一次函數(shù)模型。

教師再次利用spss 演示模型f(x)=kx+b的最優(yōu)解求解過程，得到最優(yōu)解f(x)= -0.298x+ 7.489，從而得到lnf= -0.298xlnw+ 7.489，然后與學(xué)生一起小結(jié)得出兩者本質(zhì)是一樣的，但通過數(shù)據(jù)處理更容易得到模型。

設(shè)計意圖：通過對數(shù)據(jù)取對數(shù)，達到簡化模型的目的，同時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。

（十）課堂回眸，感悟分享

這節(jié)課我學(xué)會了……

學(xué)生：建立函數(shù)模型的基本步驟：

教師：史寧中教授曾說：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標是讓學(xué)習(xí)者會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達世界?！逼渲杏脭?shù)學(xué)的語言表達世界就是我們這節(jié)課的主題——數(shù)學(xué)建模。

設(shè)計意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生更加清楚建立兩個變量函數(shù)模型的方法和步驟。首尾呼應(yīng)，再次強調(diào)數(shù)學(xué)建模的重要性。

（十一）課后延伸，繼續(xù)探究

1.小結(jié)整理建立函數(shù)模型的方法與步驟。

2.學(xué)習(xí)閱讀材料，結(jié)合上課內(nèi)容，寫一篇數(shù)學(xué)建?；顒拥难芯繄蟾?。

二、幾點思考

本節(jié)課致力于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)與數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。教師通過和學(xué)生一起經(jīng)歷體重與脈搏函數(shù)模型的建立，使學(xué)生學(xué)會建立生活中兩個相關(guān)變量間函數(shù)模型的方法和步驟；通過函數(shù)模型建立的過程中的數(shù)據(jù)處理，使學(xué)生學(xué)會處理數(shù)據(jù)的基本方法。

蘇霍姆林斯基說過：人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者。因此教師深入地研究學(xué)生已有的基礎(chǔ)、可能存在的問題及應(yīng)對策略至關(guān)重要，才能真正實現(xiàn)讓學(xué)生在課堂上主動探究。

（一）要讓學(xué)生感受建模的必要性

數(shù)學(xué)是自然的，是從實際生活中來的，收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型，能架起數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的橋梁。本節(jié)課教師要讓學(xué)生理解，建立體重與脈搏的函數(shù)模型對預(yù)防心臟疾病有重要意義，從而讓學(xué)生感受建立該模型的必要性。

（二）要讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程

授人以魚不如授人以漁，教師只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷建模、檢驗、重新選擇模型、優(yōu)化模型的過程，才能提高學(xué)生的建模素養(yǎng)與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。本節(jié)課中反比例函數(shù)模型的選擇與檢驗，冪函數(shù)模型的再次選擇與檢驗，以及對數(shù)的數(shù)據(jù)處理方法等，都是讓學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，從而使兩大素養(yǎng)的培養(yǎng)在課堂教學(xué)中落到實處。

（三）要讓學(xué)體會模型的實用性

要想讓學(xué)生真正對數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生濃厚興趣并不懈努力地提高自身的建模能力，教師就要讓學(xué)生體會到利用模型能有效地解決現(xiàn)實世界中的實際問題，切身體會數(shù)學(xué)建模的重大作用。