探源正多邊形尺規(guī)作圖問題

徐惠杰

如何精確地作出正多邊形呢？這是一個(gè)古老的幾何問題．早在古希臘時(shí)代，人們就知道可以用不帶刻度的直尺和圓規(guī)（尺規(guī)作圖）作出幾種正多邊形．大家知道復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是由一些基本作圖構(gòu)成的，我們先一起探討正四邊形（正方形）的尺規(guī)作圖的方法．

圖1

正方形該如何尺規(guī)作圖呢？如圖1所示，畫圓O，作半徑OA，以A為圓心，OA為半徑畫圓，交于B，C兩點(diǎn)，連結(jié)OA與BC交于點(diǎn)D，以D為圓心，OD為半徑畫圓交BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則四邊形OFAE為正方形，證明也較容易．

從上面的過程我們發(fā)現(xiàn)正方形的尺規(guī)作圖還是比較容易的，但有關(guān)正五邊形的尺規(guī)作圖人們經(jīng)歷了一段探索過程．下面我們介紹正五邊形的一種尺規(guī)作圖方法：

（1）設(shè)O是待作的正五邊形的中心，P1是一個(gè)頂點(diǎn)，以O(shè)為圓心、OP1為半徑作圓，它就是正五邊形的外接圓，作直徑AB垂直O(jiān)P1；

（2）以O(shè)B的中點(diǎn)M為圓心，MP1為半徑作圓，交OA于C點(diǎn)；

（3）以P1為圓心，CP1為半徑作圓，交外接圓于點(diǎn)P2，P5，它們就是正五邊形的另兩個(gè)頂點(diǎn)；

（4）以P2為圓心作同半徑的圓，交外接圓于另一點(diǎn)P3，再以P3為圓心作同半徑的圓，交外接圓于另一點(diǎn)P4，順次連結(jié)P1P2P3P4P5，即得正五邊形．

圖2

歷史上，用尺規(guī)作圖作正偶數(shù)邊形如2n，3×2n，5×2n等正多邊形并非難事，但對(duì)正奇數(shù)邊形如7，9，11，13，15等的作圖，在當(dāng)時(shí)是件困難的事，而且并非都可以作圖成功．

直到1796年，當(dāng)時(shí)還是年僅19歲的大學(xué)二年級(jí)的高斯證明了正十七邊形是可以用直尺和圓規(guī)作出的，這一發(fā)現(xiàn)震驚了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界，后來高斯給出了進(jìn)一步的結(jié)論：正奇數(shù)邊形的邊數(shù)只有是費(fèi)馬素?cái)?shù)或不同的費(fèi)馬素?cái)?shù)乘積才可以尺規(guī)作圖（費(fèi)馬素?cái)?shù)是指形如F（n）=22n+1的素?cái)?shù)，其中n為非負(fù)整數(shù)）．

根據(jù)這個(gè)結(jié)論，對(duì)于我們?cè)缫颜莆站唧w作圖的正三邊形、正五邊形，現(xiàn)在還知道了它們?yōu)槭裁茨苡贸咭?guī)作圖，就因?yàn)?和5都是費(fèi)馬素?cái)?shù)（3=F（0），5=F（1））；對(duì)于很久以來未找到辦法來作出的正七邊形，乃至于正十一邊形、正十三邊形，現(xiàn)在我們能有把握地說，它們不可能通過尺規(guī)作圖作出，因?yàn)?，11，13都不是費(fèi)馬素?cái)?shù)．

下面來點(diǎn)難度高的，對(duì)于正n邊形，n=257，65537時(shí)，即使我們不知道具體如何作圖，從理論上我們已經(jīng)知道它們是可尺規(guī)作圖的！

正多邊形是美妙的圖形，正多邊形的尺規(guī)作圖蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，同學(xué)們不妨多多發(fā)揮自己的聰明才智，在幾何圖形的“精彩世界”里盡情遨游！