尋找“隱含條件”，理清解題思路

劉新春

許多數(shù)學(xué)問題常常因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)不了隱含條件而無法求解或方法繁復(fù)，耗時太多．如能將題目中的各個條件用幾何化、圖表化、代數(shù)化、模式化、結(jié)論化的形式相互轉(zhuǎn)化，往往能發(fā)現(xiàn)隱含條件，找到解題思路．下面以解析幾何問題為例說明如何發(fā)現(xiàn)隱含條件．

一、數(shù)形結(jié)合，巧妙轉(zhuǎn)化

例1已知直線l1：ax-by+4=0與直線l2：（a-1）x+y+b=0平行，且原點(diǎn)到兩直線的距離相等，求實(shí)數(shù)a，b的值．

分析本題中有兩個條件，條件（1）：兩直線l1與l2平行；條件（2）：原點(diǎn)到兩直線的距離相等．如能將兩個條件直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b的兩個方程（數(shù)量表征），即可求出a，b的值．但如何轉(zhuǎn)化、表示為二元方程，因轉(zhuǎn)化策略和方法不同，難易差異很大．

條件（1）即

圖1

條件（2）即OM=ON．直接應(yīng)用可得到如下解法：

簡解由l1∥l2可得：

又因?yàn)樵c(diǎn)到兩直線的距離相等，可得：

化簡得16（a-1）2+16=b2（a2+b2）②．

上述解法中，OM=ON是最容易想到的直接條件，但也是形式最繁的數(shù)量關(guān)系式，求解a，b的值非常煩瑣；若結(jié)合圖形可知：O點(diǎn)到兩直線的距離相等即兩直線關(guān)于原點(diǎn)對稱，這是隱藏在條件OM=ON后的隱含條件，而OA=OB是隱含條件“兩直線關(guān)于原點(diǎn)對稱”的直接推論，即為（b≠0），簡潔明了，立即可求得b=±2．

比較上述兩種解法可知，只有抓住題目中兩個條件的本質(zhì)屬性——幾何特征——兩直線關(guān)于原點(diǎn)對稱這一隱含條件，并用最簡單的數(shù)量關(guān)系表示，才能快捷地獲得簡單的解題方法和簡明的解題過程．

二、變換圖形，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于．

（1）求動點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）設(shè)直線AP與BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M與點(diǎn)N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

分析（1）（x2+3y2=4且x≠±1）；（2）此題的關(guān)鍵是如何表征“△PAB與△PMN的面積相等”這一條件．

圖2

?PA·PB=PM·PN

?（xA-xP）（xB-xP）=（xMxP）（xN-xP）

?xP=．

表 征（4）S△APB=S△PMN?S△ADM=S△BDN=S△ABN=S△AMN

?M是DN中點(diǎn)，P是△ADN的重心

在上述幾種表征形式中，表征（1）抓住圖形中三角形的邊的特征給出數(shù)量關(guān)系，最接近題中原始條件，也最容易想到，但計算M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)步驟較繁，運(yùn)算過程也非常復(fù)雜；表征（2）抓住了∠APB=∠MPN這一條件，從角的特征出發(fā)，把面積相等表征為三角形邊長的乘積關(guān)系，再運(yùn)用線段在同一條直線上的射影的比值相等，因而思路巧，方法簡，運(yùn)算少；表征（3）與表征（1）類似；表征（4）抓住圖形的整體特征，充分運(yùn)用B點(diǎn)是AD的中點(diǎn)條件，從兩個三角形的面積相等關(guān)系挖掘出P點(diǎn)為△ADN的重心這一隱含條件，題目中條件的本質(zhì)屬性更加凸顯．

三、特殊引路，直覺猜想

例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2=4，F(xiàn)（0，2），點(diǎn)A，B是圓O上的動點(diǎn)，且FA·FB=4，是否存在與動直線AB恒相切的定圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

圖3

分析直覺告訴我們，若定圓存在，應(yīng)與圓心O或定點(diǎn)F有關(guān)．因?yàn)锳，B是動點(diǎn)，若取FA=1，F(xiàn)B=4，可知∠FAB=90°．點(diǎn)F到AB的距離為1，點(diǎn)O到AB的距離為（中位線）．再令FA=FB=2，可算得點(diǎn)F和點(diǎn)O到AB的距離均為1．合情猜想，點(diǎn)F到AB的距離為定值1．換句話說，AB與以點(diǎn)F為圓心，1為半徑的圓相切．這就是本題中的核心隱含條件．如何證明？聯(lián)想FA·FB=4、三角形的面積公式、余弦定理等條件可得以下證明：

作FH⊥AB于點(diǎn)H，連結(jié)OA，OB．設(shè)△ABF的面積為S，

在△OAB中，由平面幾何知識可知∠AOB=2π-2∠AFB．

由余弦定理得

AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB=4+4-2×2×2cos2∠AFB=16sin2∠AFB．

與（*）聯(lián)立可得FH=1．

從而所求定圓的方程即為x2+（y-2）2=1．

本題的求解思路其關(guān)鍵是通過直覺判斷、特殊引路、合情猜想、推理論證等環(huán)節(jié)發(fā)現(xiàn)并證明隱含條件“定點(diǎn)到直線的距離為定值1”．可從上述探究過程中體會如何探索幾何圖形的本質(zhì)特征．

四、抓住“有界”，化隱為顯

例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A（2，4），

（1）（2）略．

（3）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

圖4

分析實(shí)數(shù)t滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系，本試題的已知條件中沒有直接給出，但從向量關(guān)系中不難發(fā)現(xiàn)：，P，Q是圓上兩點(diǎn)，其長度不超過直徑，即從而發(fā)現(xiàn)了本題中的關(guān)鍵隱含條件．

即（t-2）2+（0-4）2≤100，解得t∈．

在求解解析幾何問題時，經(jīng)常會運(yùn)用圖形特征中的限制條件，如圓上兩點(diǎn)的距離范圍，橢圓、雙曲線、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的限制條件，求離心率或其他參數(shù)的范圍等問題．解析幾何問題中的隱含條件首先是圖形中隱含的幾何特征，抓住最本質(zhì)的幾何特征，就能發(fā)現(xiàn)隱含條件．其次是尋找同一個幾何特征的不同數(shù)量關(guān)系，有些是顯而易見的，有些是深藏不露的，需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)．