拓展思路，簡化解法

張曼竹

【摘 要】圓錐曲線綜合題是高考綜合題的命題熱點(diǎn)，常規(guī)方法解題一般都會(huì)伴隨著復(fù)雜的推理和運(yùn)算。如何拓展思路，簡化過程，提高解題速度和準(zhǔn)確率是擺在廣大師生面前的一個(gè)難題。本文通過一些例題，簡單地說明如何簡化圓錐曲線綜合題的求解過程。從而提高學(xué)生綜合分析問題，解決問題，以及靈活運(yùn)用知識(shí)等能力。

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；綜合題；簡化；方法

【中圖分類號(hào)】G610 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）05-0262-02

圓錐曲線是高考綜合題的命題熱點(diǎn)，是獲得高分的關(guān)鍵。圓錐曲線的綜合問題，一般都是用函數(shù)與方程的思想來解題，還多涉及到不等式、三角函數(shù)、平面幾何、參數(shù)方程等多種知識(shí)的相互滲透。在教學(xué)中，通過解決圓錐曲線綜合問題，可以提高學(xué)生綜合分析問題，解決問題的能力，也有助于學(xué)生思維能力的提高。然而，圓錐曲線綜合問題綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，代數(shù)推理要求高，如果不根據(jù)具體問題的特點(diǎn)，合理解題，將帶來比較復(fù)雜的推理和運(yùn)算。我們應(yīng)該在掌握常規(guī)方法的基礎(chǔ)上，不斷探索，優(yōu)化知識(shí)組合，拓展思路，簡化解題過程，減少運(yùn)算量，提高解題速度和準(zhǔn)確率。

那么，怎樣才能做到合理簡化，突破難點(diǎn)呢？一般來說，可以采用以下幾種方法：定義法、輔助圓法、點(diǎn)差法、參數(shù)法等；下面通過一些實(shí)例，簡單說明如何簡化圓錐曲線綜合問題的解題過程。

一、定義法——利用圓錐曲線的定義及其特征量

圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)特征，圓錐曲線的特征量都有明確的幾何意義，它們之間存在在一些基本關(guān)系，如橢圓中的a，b，c，e中a2=b2+c2，e=ca等；這些特征量也是曲線區(qū)別于另一種曲線的標(biāo)志。用定義和特征量解題是一種重要的基本方法，如在解決圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線（焦半徑）的問題，或題目中出現(xiàn)“離心率”、“焦點(diǎn)”、“準(zhǔn)線”這樣的條件時(shí)，及時(shí)地返回定義，分析特征量的關(guān)系，往往會(huì)收到事半功倍之效果。如：

例一、設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2-y2=4的兩焦點(diǎn)，Q是雙曲線上任意一點(diǎn)，從F1引角F1QF2的平分線的垂線，

垂足為M，求點(diǎn)M的軌跡方程。

這個(gè)問題是軌跡問題，一般的思路是：從角平分線以及垂直關(guān)系入手，采用直接法或交軌跡法來求出軌跡方程；但這樣做會(huì)有大量的計(jì)算。如果從定義入手，結(jié)合平面幾何的一些性質(zhì)，完全可以很快解決問題。

如圖，延長F1M交QF2（或延長線）于K，由MQ平分∠F1QF2，且MQ垂直F1M，可得|OF1|=|QK|，|F1M|=|MK|；O是F1F2的中點(diǎn)，OM是△F1F2K的中位線，|OM|=12|F2K|，而|F2K|=||QK|-|QF2||=||QF1|-|QF2||，由雙曲線的定義||QF1|-|QF2||=2a，本題中a=2，所以|OM|=12|F2K|=a=2，即點(diǎn)M到點(diǎn)O的距離為定值2，其軌跡是圓，方程為x2+y2=4。

二、輔助圓法——利用圓的幾何性質(zhì)和圓錐曲線的對(duì)稱性

圓與其他圓錐曲線相關(guān)的兩個(gè)重要性質(zhì)是：（1）圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，因此，若問題中涉及到定點(diǎn)、定長等相關(guān)條件，可構(gòu)造輔助圓；（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角，當(dāng)碰到一些關(guān)于圓錐曲線上的距離或垂直（直角）的問題時(shí)，可以構(gòu)造輔助圓，借助圓的性質(zhì)來解決問題。如：

例二、對(duì)于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P（a， 0） 都滿足PQ ≥ a， 則a的取值范圍是

構(gòu)造一個(gè)以點(diǎn)P（a， 0）為圓心， a為半徑的圓， 其方程為（x-a）2+y2=a2設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x0，y0） ， 因?yàn)镻Q ≥ a，所以點(diǎn)Q在圓上或圓外， 則有（x0-a）2+y02≥a20，聯(lián)立消去x0可得a≤y208+2，而（y208+2）min =2故a≤2

例三、橢圓x29+y24=1的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)， 當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)， 點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是

由已知得c=5，以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=5， 因?yàn)椤螰1PF2為鈍角， 所以點(diǎn)P （x0， y0） 在圓x2+y2=5，內(nèi)，故x20+y20<5，聯(lián)立橢圓方程消去y0解得-355

例四、已知點(diǎn)A、B是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）短軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，在橢圓上所有的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離中，|AB|是最大的，求橢圓的離心率e的取值范圍。

這個(gè)問題無論是用函數(shù)的方法還是用三角的方法來解決都是比較繁瑣的。解題的關(guān)鍵要從“|AB|是最大的”入手，也就是橢圓中其它的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離都比|AB|小，我們以點(diǎn)A為圓心，以|AB|為半徑作一個(gè)圓，則橢圓上除了點(diǎn)B之外，其它所有的點(diǎn)都在圓內(nèi)，圓的方程是：x2+（y-b）2=4b2，也就是橢圓與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)B；把圓的方程代入、化簡，得到關(guān)于y的一元二次方程：

（a2-b2）y2+2b3y+b2（3b3-a2）=0，即這個(gè)關(guān)于y的方程在區(qū)間[-b，b）上

有且只有一個(gè)實(shí)根y=-b；解方程，得到：y1=-b，y2=b（a2-3b2）a2-b2

，這時(shí)，只須y2≥b或y2≤-b，就可以使方程在區(qū)間[-b，b）上有唯一的根y=-b，由y2≥b無解；由y2≤-b，得到：b2≥12a2

，根據(jù)特征量的關(guān)系，可得：c2≤12a2，即可得橢圓的離心率e的取值范圍是（0，22。這個(gè)過程，看似復(fù)雜，其實(shí)比其它任何解法都簡單得多。

三、點(diǎn)差法——利用“設(shè)點(diǎn)作差”來構(gòu)造圓錐曲線弦的中點(diǎn)和斜率的關(guān)系

研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，更是解析幾何的難點(diǎn)，對(duì)涉及直線和圓錐曲線相交的問題，一般的解法是：由直線方程與圓錐曲線方程組成二元二次方程組，通過消元后，利用一元二次方程的判別式，韋達(dá)定理等方法來解決問題。對(duì)于這一類問題，可利用“點(diǎn)差法”，通過尋找圓錐曲線弦的中點(diǎn)和斜率關(guān)系來解決問題是比較快捷的。

“點(diǎn)差法”的關(guān)鍵在“設(shè)點(diǎn)作差”，設(shè)直線與圓錐曲線相交于P（x1，y1）、Q（x1，y2）兩點(diǎn)；代入稱作圓錐曲線的方程再相減可得弦的中點(diǎn)和斜率的關(guān)系。例如，對(duì)橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）“設(shè)點(diǎn)作差”，則有k=-b2x0a2y0（（x0，y0）為PQ中點(diǎn)，下同）；對(duì)雙曲線x2a2-y2b2=1 “設(shè)點(diǎn)作差”，則有k=b2x0a2y0；對(duì)拋物線y2=2px “設(shè)點(diǎn)作差”則有k=py0，……等等。當(dāng)問題出現(xiàn)“交點(diǎn)”、“中點(diǎn)”、“中垂線”、“對(duì)稱”這些條件時(shí)，運(yùn)用“點(diǎn)差法”，往往可化繁為簡，化難為易。如：

例五、過拋物線y2=2px焦點(diǎn)F的一條直線與該拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中垂線MN交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)N。求證：|FN|=12|PQ|

這個(gè)題目有兩個(gè)重要條件：（1）拋物線的焦點(diǎn)；（2）線段的中垂線，所以可以從這兩個(gè)條件進(jìn)行分析。

設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2）、M（x0，y0），

由拋物線的定義可得：|PQ|=x1+x2+p=2x0+p，

把P（x1，y1）、Q（x2，y2）代入y2=2px，兩式相減，得到kpq=py0，

因?yàn)镸N⊥PQ，所以kMN=-y0p，

中垂線MN的直線方程是yy0=-y0p（x-x0），拋物線的對(duì)稱軸是 x軸，令y=0，則x=x0+p，這是N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，|FN|=|x0+p-p2|=x0+p，而|PQ|=2x0+p，|FN|=12|PQ|，命題成立。

此外還有參數(shù)法，不過現(xiàn)行教材參數(shù)方程的內(nèi)容為選做題部分，此方法不在此作詳細(xì)探討。

以上所提及的幾種方法，是解決圓錐曲線的綜合問題時(shí)，如何優(yōu)化知識(shí)組合，拓展思路，簡化解法的一些基本方法。我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中要善于思考、歸納總結(jié)、摸清規(guī)律，從各種解決問題的方法中尋找出更快、更簡的方法，使學(xué)生擺脫繁雜運(yùn)算，形成自己的思路，提高興趣，從而培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力。