矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【摘要】線性代數(shù)是高校經(jīng)管類以及理工類專業(yè)學(xué)生的一門重要基礎(chǔ)課程，其中矩陣?yán)碚摓橹饕獌?nèi)容，在整個(gè)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中有著重要作用。本文對(duì)矩陣初等變換在線性代數(shù)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用進(jìn)行分析。

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù) 矩陣 初等變換 應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】O151.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）09-0142-02

在線性方程組的求解過(guò)程中，任意交換兩個(gè)方程的位置，或者將某一方程乘數(shù)c（c∈F且c≠0），或者將某一方程乘數(shù)c加到另一方程上時(shí)，最終求得的解與原方程組的解相同。矩陣的初等變換即起源于解線性方程組的三類同解變換，在處理線性代數(shù)相關(guān)問(wèn)題時(shí)，具有相對(duì)獨(dú)特的價(jià)值。矩陣初等變換這一概念的提出，將線性方程組的求解過(guò)程轉(zhuǎn)換為利用矩陣的初等變換化簡(jiǎn)一個(gè)增廣矩陣的過(guò)程，簡(jiǎn)化了線性方程組的求解。此外，在矩陣?yán)碚摬粩喟l(fā)展的過(guò)程中，新概念的產(chǎn)生以及新問(wèn)題的形成，為矩陣初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用創(chuàng)造了更多的可能性，如矩陣的秩的求解、向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組的求解以及化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形等。

1.矩陣的初等變換

矩陣變換是線性代數(shù)中矩陣的一種運(yùn)算形式，在線性代數(shù)中，矩陣的初等變換指以下三種變換類型：

（1）換位變換 交換矩陣的任意兩行或者兩列。

（2）倍法變換 以一個(gè)非零數(shù)k乘矩陣的某一行（某一列）所有元素。

（3）消法變換 把矩陣的某一行（某一列）所有元素乘以一個(gè)數(shù)k后加到另一行（另一列）對(duì)應(yīng)的元素。

矩陣的初等變換在求矩陣的逆等問(wèn)題中有著較好的應(yīng)用效果，分析原因，其理論依據(jù)如下：

對(duì)矩陣Asn進(jìn)行一次初等行變換，相當(dāng)于在Asn左邊乘上相應(yīng)的s×s的初等矩陣；對(duì)矩陣Asn進(jìn)行一次初等列變換，相當(dāng)于在Asn右邊乘上相應(yīng)的n×n的初等矩陣；應(yīng)用初等變換對(duì)矩陣Asn進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，將可產(chǎn)生一個(gè)與矩陣Asn有關(guān)的等式，該等式與原矩陣的量化關(guān)系、性質(zhì)有著密切關(guān)聯(lián)。

不難看出，上述三種初等變換都不會(huì)改變一個(gè)方陣的行列式的非零性。以矩陣是否可逆的判斷為例，在實(shí)際應(yīng)用中，可通過(guò)看初等變換后的矩陣是否可逆，來(lái)判斷原矩陣是否可逆。

2.矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

2.1矩陣的秩的求解

基于初等變換不改變矩陣的秩這一定律，在對(duì)矩陣的秩進(jìn)行求解時(shí)，可先將原矩陣進(jìn)行初等變化，使其轉(zhuǎn)化為一個(gè)階梯矩陣。根據(jù)矩陣的秩的定義，階梯形矩陣中，不為0的行或者列的數(shù)目，就是矩陣的秩。因此，矩陣的秩的求解，即轉(zhuǎn)換為矩陣向階梯矩陣的簡(jiǎn)化。

在求解矩陣的秩的過(guò)程中，需要注意的時(shí)，初等行變換以及初等列變換可同時(shí)兼用，但一般多使用初等行變換將原矩陣轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣。

2.2 線性方程組的解的情況判斷

在矩陣的初等變化應(yīng)用中，線性方程組的求解有著重要意義。對(duì)線性方程組的增廣矩陣作若干次初等行變換，將其化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形矩陣，即可得出原方程組的解的情況。一般情況下，在遇到方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相同的情況時(shí)，可采用初等行變換求解線性方程組的解；當(dāng)方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同時(shí)，除初等行變換法外，克萊姆法則也是一種常用方法。

在求解線性方程組的解時(shí)，需要注意初等行變化的適用條件。一般當(dāng)系數(shù)矩陣為含有參數(shù)的方針時(shí)，可考慮使用行列式法；在系數(shù)矩陣并非方陣或者不含有參數(shù)時(shí)，只能使用初等行變換法。

2.3判斷向量組的線性相關(guān)性

向量組的線性相關(guān)性為線性代數(shù)中一個(gè)較為重要的概念，其定義如下：

（1）給定向量組A：α1，α2，…αm，若存在一組不全為零的數(shù)k1，k2，…km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0，則稱向量組A是線性相關(guān)的，否則稱它是線性無(wú)關(guān)的。

（2）設(shè)有兩個(gè)向量組A：α1，α2，…αm，及B：β1，β2，…βm，若B組中的每個(gè)向量都能由向量組A線性表示，則稱B能向量組A線性表示，若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。

在利用矩陣的初等變換進(jìn)行向量組線性相關(guān)性判斷時(shí)，具體的步驟如下：

已知向量組TB為{β1，β2，…βm}，不妨設(shè)βi（i=1，2，3……m）為行向量，構(gòu)造矩陣A=，利用矩陣的初等變換求解矩陣A的秩，因rank（A）=rank（TB），若TB的秩為m，則TB線性無(wú)關(guān)；若TB的秩小于m，則TB線性相關(guān)。

本文介紹了矩陣初等變化在線性代數(shù)中的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用，如矩陣的秩的求解等，并給出了具體的實(shí)例。就實(shí)際應(yīng)用效果來(lái)看，矩陣的初等變換在處理此類問(wèn)題時(shí)，具有快速、簡(jiǎn)單、思路清晰等優(yōu)勢(shì)，對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)有著重要意義。

參考文獻(xiàn)：

[1]杜云，張府柱.矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].考試周刊，2017（3）：45-47.

[2]張忠.矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用[J].納稅， 2017（25）：188.

作者簡(jiǎn)介：

李慧（1984.11.8-），女，山西省太原市人，太鋼職工鋼鐵學(xué)院助教，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用型線型代數(shù)教學(xué)模式研究。