函數(shù)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用易錯(cuò)題歸類剖析

■河南省許昌高級(jí)中學(xué) 楊 濤

“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)知識(shí)，在歷年高考中都占據(jù)著重要的地位，而且這部分知識(shí)既有難度較大的填空題，還有計(jì)算煩瑣的解答題。又因?yàn)椤昂瘮?shù)”貫穿高中數(shù)學(xué)的始終，因此，學(xué)好這部分知識(shí)對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)，顯然是非常必要的。鑒于這部分知識(shí)有很多易錯(cuò)點(diǎn)，筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)這部分知識(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)剖析如下，供同學(xué)們參考。

易錯(cuò)點(diǎn)一：概念的理解不到位

在“函數(shù)”的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些條件相似，但在本質(zhì)及解題方法上卻存在很大差異的問(wèn)題。若能及時(shí)對(duì)它們進(jìn)行對(duì)比、區(qū)別，則可擺脫知識(shí)的“負(fù)遷移”，走出思維的誤區(qū)，提高解題的準(zhǔn)確率，同時(shí)對(duì)同學(xué)們加深對(duì)概念的理解、題意的挖掘、審題能力的培養(yǎng)等方面都大有益處。

1.定義域與值域。

例1 (1)若函數(shù)y=l g(x2+x+2a)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=l g(x2+x+2a)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：這兩小題都屬于恒成立問(wèn)題，但僅一字之差，表達(dá)的含義卻截然不同。第(1)問(wèn)中要求函數(shù)u=x2+x+2a的值域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集的子集，而第(2)問(wèn)中則要求函數(shù)u=x2+x+2a必須取到一切正數(shù)。平時(shí)學(xué)習(xí)中第(1)問(wèn)的情形較常見(jiàn)，解答第(2)問(wèn)時(shí)，因受第(1)問(wèn)的影響極易出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，審題時(shí)應(yīng)善于找出題組間含義的相異之處。

解：(1)依題意，x2+x+2a＞0對(duì)一切x∈R恒成立，故Δ=1 2—4×1×2a＜0，解得a＞1 8。

(2)依題意，x2+x+2a能取遍正實(shí)數(shù)集內(nèi)的所有實(shí)數(shù)值即可，即要求正實(shí)數(shù)集為函數(shù)值域的子集，故Δ=1 2—4×1×2a≥0，解得a≤1 8。

2.主元與參數(shù)。

例2 (1)已知函數(shù)f(x)=x2+a x+1，在x∈[0，2]上，f(x)＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)已知函數(shù)f(x)=x2+a x+1，當(dāng)a∈[0，2]時(shí)，f(x)＞0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。

分析：在同一題目中，主元與次元是相對(duì)的，只有合理區(qū)分主元與次元，才能快速解題。

解：(1)將“x”看成主元，“a”看成參數(shù)。

①當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=1＞0恒成立，此時(shí)a∈R；

②當(dāng)x∈(0，2]時(shí)，x2+a x+1＞0恒成立，即a＞又因?yàn)椤堋?(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào))，故a＞—2。

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(—2，+∞)。

(2)將“x”看成主元，“a”看成參數(shù)。f(x)=g(a)=x2+a x+1＞0恒成立，應(yīng)有g(shù)(0)＞0，g(2)＞0，即x2+1＞0，x2+2x+1＞0，解得x≠—1。故實(shí)數(shù)x的取值范圍為(—∞，—1)∪(—1，+∞)。

易錯(cuò)點(diǎn)二：過(guò)點(diǎn)P的切線與在點(diǎn)P處的切線

過(guò)一點(diǎn)求曲線的切線方程有三種不同的類型，下面舉例說(shuō)明。

1.已 知 曲 線y=f(x)上 一 點(diǎn)P(x0，f(x0))，求曲線在該點(diǎn)處的

這是求曲線的切線方程的基本類型，課本上的例、習(xí)題都是這種類型。其求法為：先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f "(x)，再將x0代入f "(x)求出f "(x0)，即得切線的斜率，然后寫出切線方程y—f(x0)=f "(x0)(x—x0)，化簡(jiǎn)整理即可。

例3 求曲線f(x)=x3—3x2+3在點(diǎn)P(1，1)處的切線方程。

解析：由題設(shè)知點(diǎn)P在曲線上，因?yàn)閒 "(x)=3x2—6x，所以曲線在點(diǎn)P(1，1)處的切線的斜率為f "(1)=—3，故所求的切線方程為y—1=—3(x—1)，即y=—3x+4。

2.已知曲線y=f(x)上一點(diǎn)A(x1，f(x1))，求過(guò)點(diǎn)A的曲線的切線方程。

這種類型容易出錯(cuò)，一般學(xué)生誤認(rèn)為點(diǎn)A一定為切點(diǎn)，事實(shí)上可能存在過(guò)點(diǎn)A而點(diǎn)A不是切點(diǎn)的切線，要引起注意，這類題型的求法為：設(shè)切點(diǎn)為P(x0，f(x0))，先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f "(x)，再將x0代入f "(x)求出f "(x0)，即得切線的斜率(用x0表示)，寫出切線方程y—f(x0)=f "(x0)(x—x0)，再將點(diǎn)A的坐標(biāo)(x1，y1)代入切線方程得y1—f(x0)=f "(x0)(x1—x0)，求出x0，最后將x0代入方程y—f(x0)=f "(x0)(x—x0)，求出切線方程。

例4 求過(guò)曲線y=x3—2x上的點(diǎn)(1，—1)的切線方程。

解析：設(shè)切點(diǎn)為(x0，—2x0)，因?yàn)閥 "=3x2—2，所以切線斜率為3—2，故切線方程為y—(—2x0)=(3—2)(x—x0)。

又知切線過(guò)點(diǎn)(1，—1)，把它代入上述方程，得—1—(—2x0)=(3x0—2)(1—x0)，解得x0=1，或

故所求切線方程為y—(1—2)=(3—2)·(x—1)，或，即x—y—2=0，或5x+4y—1=0。

上面所求出的兩條直線中，直線x—y—2=0是以(1，—1)為切點(diǎn)的切線，而切線5x+4y—1=0并不是以(1，—1)為切點(diǎn)，實(shí)際上它是經(jīng)過(guò)了點(diǎn)(1，—1)且以為切點(diǎn)的直線，如圖1所示。這說(shuō)明過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)。

圖1

3.已知曲線y=f(x)外一點(diǎn) A(x1，f(x1))，求過(guò)點(diǎn)A的曲線的切線方程。

這種類型的題目的解法同上面第二種類型。

例5 過(guò)原點(diǎn)O作曲線y=x4—3x2+6的切線，求切線方程。

解析：由題設(shè)知原點(diǎn)O不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為6x，切線斜率為4—6x0，切線方程為y—

故所求切線方程為y=—2x或y=2x。

易錯(cuò)點(diǎn)三：“導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)”與“函數(shù)單調(diào)性”

設(shè)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若在此區(qū)間f "(x)＞0恒成立，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若在此區(qū)間f "(x)＜0恒成立，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，除了掌握以上依據(jù)，還應(yīng)明確以下幾點(diǎn)(以增函數(shù)為例來(lái)說(shuō)明)：

(1)f "(x)＞0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件。例如，函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(—∞，+∞)上單調(diào)遞增，但f "(x)≥0。

(2)f "(x)≥0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的必要不充分條件。若f(x)為增函數(shù)，則一定有f "(x)≥0，但反之不一定成立。因?yàn)閒 "(x)≥0為f "(x)＞0或f "(x)=0兩者之一成立即可。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f "(x)=0，則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。

(3)f "(x)≥0且f "(x)在定義域內(nèi)的任意子區(qū)間不恒為0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的充要條件。

例6 已 知 向 量a=(x2，x+1)，b=(1—x，t)，若函數(shù)f(x)=a·b在(—1，1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍。

錯(cuò)解：因?yàn)閒(x)=a·b=—x3+x2+t x+t，所以f "(x)=—3x2+2x+t。因?yàn)閒(x)在(—1，1)上是增函數(shù)，則在(—1，1)上可得f "(x)＞0。因?yàn)閒 "(x)的圖像是開(kāi)口向下的拋物線，所以當(dāng)且僅當(dāng)f "(1)=t—1＞0且f "(—1)=t—5＞0時(shí)，f(x)在(—1，1)上滿足f "(x)＞0，即f(x)在(—1，1)上是增函數(shù)，故t的取值范圍是(5，+∞)。

評(píng)析：忽視特殊點(diǎn)f(x)=0。當(dāng)f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的個(gè)別點(diǎn)處為零，其余點(diǎn)處為正(或負(fù))時(shí)，f(x)在這個(gè)區(qū)間上仍然是單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)。例如，在(—∞，+∞)上，f(x)=x3，當(dāng)x=0時(shí)，f "(x)=0，當(dāng)x≠0時(shí)，f "(x)＞0，而f(x)=x3在(—∞，+∞)上顯然是增函數(shù)。

正解：因?yàn)閒(x)=—x3+x2+t x+t，所以f "(x)=—3x2+2x+t。由于函數(shù)f(x)在(—1，1)上是增函數(shù)，故在(—1，1)上可得f "(x)≥0恒成立。因?yàn)閒 "(x)的圖像是開(kāi)口向下的拋物線，所以當(dāng)且僅當(dāng)f "(1)=t—1≥0且f "(—1)=t—5≥0時(shí)，f(x)在(—1，1)上滿足f "(x)≥0，即f(x)在(—1，1)上是增函數(shù)，故t的取值范圍是[5，+∞)。

一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0是在該點(diǎn)取極值的必要不充分條件，即可導(dǎo)函數(shù)在某處取得極值，則函數(shù)在此處的導(dǎo)數(shù)值必等于0；反之，若在某處的導(dǎo)數(shù)值為0，則函數(shù)在該處不一定取得極值，還需進(jìn)一步檢驗(yàn)f "(x)在f "(x)=0處的根的左右兩邊的導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)是否異號(hào)。

易錯(cuò)點(diǎn)四：“極值點(diǎn)”等同于“導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”

對(duì)于滿足f "(x0)=0的點(diǎn)x0稱之為導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，f(x)可導(dǎo)時(shí)f "(x)=0的點(diǎn)只是f(x)的極值點(diǎn)的必要不充分條件，所以把“極值點(diǎn)”等同于“導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例7 已知函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值，且函數(shù)g(x)=—a x在區(qū)間(a—6，2a—3)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

錯(cuò)解：由已知得f "(x)=x3+b x2—(2+a)x+2a，由f "(1)=0得b=1—a。

由已知得g "(x)=x3+b x2—(a—1)·x—a=x3+(1—a)x2—(a—1)x—a=(x—a)(x2+x+1)。

因此，當(dāng)x＜a時(shí)，g "(x)＜0，即函數(shù)g(x)在(—∞，a)上單調(diào)遞減。由(a—6，2a—3)?(—∞，a)，得a—6＜2a—3≤a，故所求a的取值范圍為—3＜a≤3。

評(píng)析：以上解法忽略了一個(gè)細(xì)節(jié)，解題中用到f "(x)=0，即x=1是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，那么x=1是不是函數(shù)的極值點(diǎn)呢?當(dāng)b=1—a時(shí)，f "(x)=x3+b x2—(2+a)x+2a=(x—1)(x+2)(x—a)。如果a=1，那么x=1就只是函數(shù)f(x)的“拐點(diǎn)”而非極值點(diǎn)。由條件知f(x)在x=1處取得極值，因此應(yīng)排除a=1，從而實(shí)數(shù)a的取值范圍應(yīng)是—3＜a＜1或1＜a≤3。

總之，同學(xué)們出現(xiàn)這些錯(cuò)誤，一方面，是由于概念本身的抽象性，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不全面或?qū)︻}意理解不準(zhǔn)確等導(dǎo)致的；另一方面，是因?yàn)榻滩膶?duì)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)要求不全面、不太高，且教材選擇的案例又太常規(guī)、太特殊，而平時(shí)遇到的函數(shù)豐富多樣，所以同學(xué)們會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知盲點(diǎn)，出現(xiàn)錯(cuò)誤。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該正視錯(cuò)誤，剖析錯(cuò)誤，澄清錯(cuò)誤，對(duì)比分析，從而加深對(duì)概念本質(zhì)的理解，消除疑惑，化解盲點(diǎn)，從而真正提高自己解決“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”問(wèn)題的能力。