《拋物線及其標準方程》的教學與反思

丁春年

[摘? ?要]在《拋物線及其標準方程》的教學中，教師應(yīng)通過情境引入課題，引發(fā)學生主動建構(gòu)知識;通過引導學生自主探究、合作學習，培養(yǎng)學生的探究意識;通過引導學生進行合情推理和類比推理，培養(yǎng)學生的推理能力.

[關(guān)鍵詞]拋物線;標準方程;教學;反思

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0011-02

一、學情分析

學生來自于市級示范性高中，有一定的邏輯推理能力和運算能力.學生初中已經(jīng)學過二次函數(shù)[y=ax2+bx+c（a≠0）]的圖像是一條拋物線，而且研究過它的頂點坐標、對稱軸等問題，能夠?qū)佄锞€與方程[y=ax2+bx+c（a≠0）]建立必然的聯(lián)系.在學習本節(jié)內(nèi)容前，學生已經(jīng)學習了橢圓和雙曲線的定義、標準方程，感受了用代數(shù)法研究幾何問題的基本方法，體會了數(shù)形結(jié)合思想.通過本節(jié)課的學習，學生形成了對圓錐曲線定義的統(tǒng)一認識，在學習中體驗數(shù)學知識不是抽象的，而是來源于現(xiàn)實生活.

二、教材分析

《拋物線及其標準方程》是在學習橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)上，通過類比思想借助圓錐曲線的第二定義的統(tǒng)一性展開的，而它也是學習拋物線幾何性質(zhì)的基礎(chǔ).因此，本節(jié)內(nèi)容起承上啟下的作用.

三、教學目標

（1） 理解拋物線的定義，會應(yīng)用求曲線方程的方法推導拋物線的標準方程，能歸納、類比出拋物線的四種標準方程，能由標準方程求出焦點坐標或準線方程，能由焦點坐標或準線方程求出標準方程.

（2） 通過對拋物線定義的形成過程、拋物線標準方程的建立以及歸納、類比四種形式的拋物線標準方程，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

四、教學重點、難點

拋物線定義的形成及標準方程的推導.

五、教學過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

師（展示兩幅圖片）：請同學們觀察兩幅圖片的軸截面，想一想它是怎樣的曲線？

生眾：拋物線.

師：我們熟悉的二次函數(shù)[y=ax2+bx+c（a≠0）]的圖像形狀是什么？

生眾：拋物線.

師：很好.拋物線是生活中常見的一種曲線.那么，它到底有怎樣的幾何特征？它還有哪些幾何性質(zhì)？下面我們一起來研究拋物線.我們知道，平面內(nèi)點M到點F的距離和它到直線l的距離之比是一個常數(shù)e，當0 < e [<] 1時， 點M的軌跡是橢圓;當e >1時，點M的軌跡是雙曲線.那么，當e =1時，點M的軌跡是什么曲線呢？

生1：可能是拋物線.

師：大膽的猜想很好.接下來，我們用幾何畫板驗證它.如圖1，點F是定點，l是不經(jīng)過點F的定直線.H是l上任意一點，過點H作MH⊥l，線段FH的垂直平分線m交MH于點M，拖動點H，觀察點M的軌跡，你能發(fā)現(xiàn)點M滿足的幾何條件嗎？

生2：點M隨著點H運動的過程中，始終有[MF=MH]，即點M與定點F和定直線l的距離相等.

師：點M的軌跡是什么曲線呢？

生眾：拋物線.

2.抽象模型，建構(gòu)概念

師：我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）距離相等的點的軌跡叫作拋物線，點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.

師：類比橢圓、雙曲線標準方程的推導過程，你們認為應(yīng)如何建系，才能使拋物線的方程更簡單？

生3：取經(jīng)過點F且垂直于直線l的直線為y軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立坐標系xOy.

師：我們假設(shè)焦點F到準線l的距離為p，試推導拋物線的方程.

生4：建立如圖2所示的坐標系，設(shè)點P（x，y），因為PH = PF，所以[x2+y-p22=y+p22]，化簡得[x2=2py].

師：很好，這個方程與二次函數(shù)[y=ax2（a>0）]做比較，你能說出a與p的關(guān)系嗎？

生眾：[a=12p].

師：為什么二次函數(shù)[y=ax2（a>0）]的圖像是拋物線？

生眾：因為二次函數(shù)[y=ax2（a>0）]可化為拋物線的標準方程.

師：圖2中的拋物線方程[x2=2py]的焦點是[F0，p2]，準線方程是[y=-p2].如果取過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立直角坐標系xOy，并且假設(shè)焦點F到準線l的距離為p，那么拋物線的方程又如何？

生眾：[y2=2px（p>0）].

師：我們把方程[y2=2px（p>0）]叫作拋物線的標準方程，它所表示的拋物線的焦點是[Fp2，0]，準線方程是[x=-p2].

3. 概念應(yīng)用，鞏固新知

師：求下列拋物線的焦點坐標和準線方程.

[（1）x2=y;（2）y2=2x;（3）y=2x2.]

（學生先獨立思考，再小組討論）

生5：第一小題的焦點坐標是[0，14]，準線方程是[y=-14]，第二小題的焦點坐標是[12，0]，準線方程是[x=-12]，第三小題的焦點坐標是[0，18]，準線方程是[y=-18].

師：請和大家交流一下你是如何解答第三小題的.

生5：先把方程化成[x2=12y].

師：很好！這就是說，如果給出的拋物線方程不是標準方程，求焦點坐標和準線方程，先要做什么？

生6：先把方程化為標準方程，再求焦點坐標和準線方程.

師：很好！請同學們思考如果已知拋物線的焦點坐標或準線方程，如何求拋物線的標準方程，并進行以下練習.

求符合下列條件的拋物線的標準方程：

（1）焦點是F （3，0）;（2）準線方程是[y=-14].

（學生先獨立思考，再小組討論）

生7：第一小題是[y2=12x]，第二小題是[x2=y].

4.大膽猜想，合情推理

師：剛才我們研究了兩種形式的拋物線方程，還有其他形式的方程嗎？若有，它的標準方程、焦點坐標、準線方程如何？

（學生分組討論后回答）

生8：標準方程為[y2=-2px（p>0）]，焦點坐標是[F-p2，0]，準線方程是[x=p2].標準方程為[x2=-2py（p>0）]，焦點坐標是[F0，-p2]，準線方程是[y=p2].

師：請同學們對拋物線的四種標準方程進行歸納（略）.

5.課堂練習 （略）

6.課堂小結(jié)

師：本節(jié)課我們學習了拋物線的定義和標準方程，體驗了歸納、類比的數(shù)學思想方法，希望同學們在今后的學習中能夠運用這些數(shù)學思想方法解決問題.

六、教學反思

1.以問題情境為切入點，激發(fā)學生的探究欲望

合理的問題情境可以讓學生體會數(shù)學來源于生活，數(shù)學中大量的數(shù)學模型都是以生活實例為現(xiàn)實原型的.本節(jié)課的引入環(huán)節(jié)中設(shè)計了兩個情境：一個來源于現(xiàn)實生活中的圖片——太陽灶與趙州橋，通過讓學生觀察圖片，感受現(xiàn)實生活中的拋物線，從而引發(fā)學生對拋物線的探究熱情.另一個問題情境來自于學生已有的知識，學生已經(jīng)把二次函數(shù)的圖像與拋物線之間建立起了必然的聯(lián)系.同時學生在前面已經(jīng)學習了橢圓與雙曲線的定義，雖然課本中給出的是第一定義，但是課本通過習題及閱讀材料給出了橢圓及雙曲線的第二定義：即平面內(nèi)到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比等于常數(shù)e的點的軌跡.當0 < e < 1時， 點的軌跡是橢圓;當e >1時，點的軌跡是雙曲線.此時問題自然生成，即當e =1時，點的軌跡是什么？在此環(huán)節(jié)中，第一個情境是學生的感性經(jīng)驗，第二個情境是學生的理性認識，兩個情境層層遞進，起到了承上啟下的作用.

2.以學生為主體，探究知識的發(fā)生過程

數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，學生是學習的主體.新課程改革倡導學生進行探究式學習、合作學習.因此，在學習過程中要充分體現(xiàn)師生互動與生生互動.這樣，新的知識才能在活動過程中自然生成.本節(jié)課中，探究拋物線的標準方程是教學的難點，在此之前，學生已經(jīng)學習了橢圓及雙曲線的標準方程，掌握了求曲線方程的方法，即建系、設(shè)點、列式、化簡.那么如何建立適當?shù)淖鴺讼稻统闪藢W生探究的關(guān)鍵所在，在學生探究過程中，教師要引導學生在建立坐標系時，盡可能地使曲線相對于坐標軸、坐標原點有更多的對稱性，盡可能地使曲線的中心、頂點位于坐標原點.在學生得出拋物線的標準方程后，再讓學生類比橢圓及雙曲線的標準方程，通過探究得出拋物線的其他標準方程，至此概念的建構(gòu)順利完成.這一探究過程是從學生已有的知識——橢圓及雙曲線的標準方程出發(fā)，探究出拋物線的標準方程，也是讓學生積極主動地參與到教學活動中，在活動過程中生成和建構(gòu)概念的過程.

3.以幾何畫板為工具，促進數(shù)與形完美結(jié)合

建構(gòu)拋物線的概念是本節(jié)課教學的難點，由于拋物線上的點是“靜態(tài)”的，而曲線的方程是代數(shù)形式，它的幾何形式是動點的軌跡，是“動態(tài)”的，因此，利用幾何畫板將“靜態(tài)”的點進行追蹤，讓它動起來，可使拋物線的定義更加直觀化、形象化，有助于學生深刻理解拋物線的定義，有助于教師化解教學難點，進而促進“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

（責任編輯 黃桂堅）