挖掘數(shù)理“圓”形畢露

王新星

[摘? ?要]有些題目在題面中沒(méi)有直接給出圓方面的信息，要通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，自行挖掘圓（或圓的方程），最終利用圓的知識(shí)來(lái)求解，我們稱(chēng)這類(lèi)問(wèn)題為“隱形圓”問(wèn)題.研究“隱形圓”問(wèn)題的解題策略，可以提高學(xué)生的能力.

[關(guān)鍵詞]隱形圓;挖掘;策略

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2019）05-0029-02

有些題目在題面中沒(méi)有直接給出圓方面的信息，要通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，自行挖掘圓（或圓的方程），最終利用圓的知識(shí)來(lái)求解，我們稱(chēng)這類(lèi)問(wèn)題為“隱形圓”問(wèn)題.該類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)是如何快速破解題意，找到圓（或圓的方程），一旦難點(diǎn)突破，解題勢(shì)如破竹.筆者通過(guò)研究考題發(fā)現(xiàn)，找“隱形圓”可從“數(shù)”的角度（求出其方程）來(lái)發(fā)現(xiàn).下面筆者介紹幾種解決此類(lèi)問(wèn)題的策略.

策略一：直接由圓的方程確定隱形圓

[例1]已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足[a2+b2=c2]，[c≠0]，則[ba-2c]的取值范圍為_(kāi)_________.

【解】方法一： 令[ac=x]，[bc=y]，則原題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)x、y滿足[x2+y2=1]，求[yx-2]的取值范圍，歸結(jié)為以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)M[（x，y）]與定點(diǎn)[P（2，0）]（如圖1）的斜率的取值范圍.

方法二： 令[a=ccosθ]，[b=csinθ]，原題轉(zhuǎn)化為求[sinθcosθ-2]的取值范圍，而動(dòng)點(diǎn)[（cosθ，sinθ）]在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，以下同方法一.

評(píng)析：本題的本質(zhì)是題設(shè)給出的勾股數(shù)的模型實(shí)際上是圓隱含其中.兩種方法各有優(yōu)缺，可以自行進(jìn)行比較.

策略二：直接由圓的參數(shù)方程確定隱形圓

[例2]已知[θ，t∈R]，則[（cosθ-t-2）2+（sinθ-t+2）2]的取值范圍是__________.

【解】? 點(diǎn)[P（cosθ，sinθ）]在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，[Q（t+2，t-2）]在直線[x-y-4=0]上（如圖2），轉(zhuǎn)化為圓上的動(dòng)點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的取值范圍，圓心到直線的距離為[22].因此，圓上的動(dòng)點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的最小值為[22-1]，其平方為[9-42].此類(lèi)雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)際上需要學(xué)生對(duì)兩點(diǎn)的軌跡都要能夠自行發(fā)現(xiàn)，具有一定的隱蔽性.

策略三：動(dòng)點(diǎn)P對(duì)兩定點(diǎn)A、B張角是[90°]（[kPA?kPB=-1]或[PA?PB=]0）確定隱形圓

[例3]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)[A（-4，0） ，B（0，4）]，從直線[AB]上一點(diǎn)向圓[x2+y2=4]引兩條切線[PC、PD]，切點(diǎn)分別為[C、D].設(shè)線段[CD]的中點(diǎn)為[M]，則線段[AM]長(zhǎng)的最大值為? ? ? ? ? .

【解】方法一（利用策略三）：因?yàn)橹本€[AB]的方程為[y=x+4]，所以可設(shè)[P（a，a+4）]，則直線[CD]的方程為[ax+（a+4）y=4]，即[a（x+y）=4-4y]，所以直線[CD]過(guò)定點(diǎn)[N（-1，1）]，又因?yàn)閇OM⊥CD]，所以點(diǎn)[M]在以[ON]為直徑的圓上（除去原點(diǎn)），又因?yàn)橐訹ON]為直徑的圓的方程[x+122+y-122=12 ]， 所以[AM]的最大值為[32].

方法二（利用消參思想）：因?yàn)橹本€[AB]的方程為[y=x+4]，所以可設(shè)[P（a，a+4）]，則直線[CD]的方程為[ax+（a+4）y=4]，即[a（x+y）=4-4y]，得[a=4-4yx+y].

又因?yàn)閇O]、[P]、 [M]三點(diǎn)共線，所以[ay-（a+4）x=0]得[a=4xy-x].

因?yàn)閇a=4-4yx+y=4xy-x]，所以[x+122+y-122=12]（除去原點(diǎn)），所以[AM]的最大值為[32].

策略四：由兩定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足[PA?PB=λ]（[λ]是常數(shù)），求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程確定隱形圓

[例4]如圖3，已知圓[C：（x-3）2+（y-4）2=1]和兩點(diǎn)[A（-m，0） ，B（m，0） ][（m>0）].若圓C上存在點(diǎn)P，使得[PA?PB=1]，則m的取值范圍是__________.

【解】設(shè)點(diǎn)[P（x，y）]，滿足[PA?PB=1]，得[x2+y2=1+m2]，這是一個(gè)圓的方程，從而轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)，得[1+m2-1≤5≤1+m2+1]，解得m的取值范圍是[[15，35]].

評(píng)析：本題可以從[PA?PB=0]推廣到[PA?PB=λ]，發(fā)現(xiàn)此時(shí)的點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上.假如學(xué)生大腦中沒(méi)有這一模型，用求軌跡的一般思路來(lái)處理，也同樣可以得解.

策略五：由兩定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足[PA2+PB2]是定值確定隱形圓

[例5]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：（x - a）2+（y-a+2）2=1，點(diǎn)A（0，2），若圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2+MO2 =10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.

【解】如圖4，設(shè)M（x，y），由MA2 + MO2 =10，A（0，2），得x2+（y -1）2 = 4，而M 又在圓C：（x - a）2 + （y - a + 2）2 =1上，故它們有公共點(diǎn)，則1≤ a2+（a-3）2 ≤ 9，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，3].

評(píng)析：該問(wèn)題與題型一有形式上的相似之處，如果學(xué)生大腦中具備這一模型，問(wèn)題就不難得到解決.

策略六：由兩定點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足[PAPB=λ（λ>0，λ≠1）]確定隱形圓（阿波羅尼斯圓）

[例6]已知圓[C：（x-1）2+y2=1]，點(diǎn)[D（3，0）]，過(guò)動(dòng)點(diǎn)[P]作圓[C]的切線，切點(diǎn)為[Q]，若[PD=2PQ]，則[△PCD]面積的最大值為 .

【解】設(shè)[P（x，y）]，因?yàn)閇PD=2PQ]，所以[PD2=][2PQ2]，又[PQ2=PC2-1]，所以[（x-3）2+y2=2（x-1）2+y2-1]，求得[P]的軌跡為[（x+1）2+y2=10]，故易得[△PCD]面積的最大值為[10].

評(píng)析：此類(lèi)問(wèn)題是典型的阿波羅尼斯圓問(wèn)題，需要學(xué)生對(duì)題目順藤摸瓜，最終有效解決問(wèn)題.

在教學(xué)中，如何教會(huì)學(xué)生轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言非常重要.代數(shù)語(yǔ)言就是抽象的符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言的結(jié)合，幾何語(yǔ)言是存在于人意識(shí)中的直觀圖形.掌握代數(shù)語(yǔ)言和幾何語(yǔ)言的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化方法，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，可以優(yōu)化解題過(guò)程.本文通過(guò)“隱形圓”這一幾何圖形的挖掘，讓學(xué)生初步掌握代數(shù)模型轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題的一般思路.相信通過(guò)以上幾種策略的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這類(lèi)題目往往沒(méi)有直接給出有關(guān)圓方面的信息，但通過(guò)分析和轉(zhuǎn)化，最終都可以利用圓的知識(shí)求解.這類(lèi)題構(gòu)思巧妙，綜合性強(qiáng)，往往有“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”之感，但是當(dāng)撥開(kāi)題面后，又會(huì)有“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”之嘆！

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）