從理解數(shù)學(xué)角度審視高二“方差”教材

王佩 趙思林

【摘?要】?方差是刻畫數(shù)據(jù)波動（離散）程度的重要統(tǒng)計(jì)量.從理解數(shù)學(xué)的角度，對人教社A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2j3（選修）《離散型隨機(jī)變量的方差》的幾個(gè)問題作了探討.

【關(guān)鍵詞】?理解數(shù)學(xué);方差;審視;教材

2017年6月21日，筆者到四川省Z學(xué)校聽了一堂“離散型隨機(jī)變量的方差”的觀摩課，授課的L老師經(jīng)驗(yàn)豐富，教學(xué)整體安排合理、環(huán)節(jié)緊湊、層次清晰、銜接自然.授課順序安排如下：復(fù)習(xí)隨機(jī)變量X的均值（數(shù)學(xué)期望）→“射擊比賽”中“應(yīng)該派哪名同學(xué)參賽？”的問題引入→隨機(jī)變量X1和X2的分布列圖→提問“怎樣定量刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性？”→隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差→隨機(jī)變量的三個(gè)性質(zhì)→范例與練習(xí).

1?問題提出

在揣摩教材編寫意圖，仔細(xì)分析教材結(jié)構(gòu)體系，反復(fù)考量內(nèi)容順序，字斟句酌教材語言后，筆者不禁對人教社A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2-3（選修）《離散型隨機(jī)變量的方差》（以下簡稱教材）該節(jié)內(nèi)容，提出如下值得深度思考的問題：

（1）“射擊比賽”引例中，射中某環(huán)所對應(yīng)的概率數(shù)據(jù)是否過于復(fù)雜？

（2）“怎樣定量刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性”中的“穩(wěn)定性”相較于“波動性”是否欠妥？

（3）通過類比引出“隨機(jī)變量的方差”是否有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)？

（4）隨機(jī)變量方差的三個(gè)性質(zhì)，教材是否需要呈現(xiàn)其證明過程？

2?問題的思考與解決

2.1?“射擊比賽”引例中，射中某環(huán)所對應(yīng)的概率數(shù)據(jù)是否過于復(fù)雜

本章章頭語中表明，“…學(xué)習(xí)某些離散型隨機(jī)變量分布列及其均值、方差等知識，利用離散型隨機(jī)變量思想描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象，解決一些簡單的實(shí)際問題…”[1].于是教材通過“射擊比賽”中“應(yīng)該派哪名同學(xué)參賽？”這一實(shí)際問題引入，但根據(jù)X1和X2的均值，不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.至此通過問題“還有其他刻畫兩名同學(xué)射擊特點(diǎn)的指標(biāo)嗎？”引入新知“方差”.可是在計(jì)算X1和X2的均值過程中，由于數(shù)據(jù)復(fù)雜，導(dǎo)致計(jì)算量偏大.如

E（X1）=5×0.03+6×0.09+7×0.20+8×0.31+9×0.27+10×0.10=8;

E（X2）=5×0.01+6×0.05+7×0.20+8×0.41+9×0.33=8[1].

一般的課堂教學(xué)時(shí)間為40或45分鐘，而問題引入環(huán)節(jié)最多只能占3～5分鐘，除去學(xué)生大量運(yùn)算所花費(fèi)時(shí)間，還剩多少寶貴的課堂引入時(shí)間，用于學(xué)生靜心閱讀，認(rèn)真思考，處理信息，抓住關(guān)鍵.“數(shù)學(xué)是思維的體操”，“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)”，數(shù)學(xué)對培養(yǎng)人的科學(xué)精神、思維方法、探索能力、思辨能力、量化思維、審美情趣等具有重要作用[2].故在數(shù)學(xué)課上，應(yīng)該更多地崇尚“腦力勞動”，而非簡單四則運(yùn)算下的“體力勞動”.因此建議將引例中的數(shù)據(jù)，調(diào)整為既能反映隨機(jī)變量X1和X2的均值相等，又便于運(yùn)算的相對較簡單的數(shù)據(jù)，或者更換為能同時(shí)兼顧以上兩點(diǎn)的另一引例.

或許有人會說，調(diào)整引例中的數(shù)據(jù)后，還能反映兩名同學(xué)的真實(shí)射擊水平嗎？還能達(dá)到解決一些簡單的實(shí)際問題這一目的嗎？對此，筆者作如下解釋：一是將選拔同學(xué)參加射擊比賽，作為實(shí)際問題，其實(shí)很難與中學(xué)生引起共鳴，并且在大多數(shù)畢業(yè)踏入社會的同學(xué)的生活中也鮮有出現(xiàn);二是本節(jié)內(nèi)容目的是“學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的方差，用于解決一些簡單的實(shí)際問題.”但“目的”和“目標(biāo)”是兩個(gè)相互聯(lián)系，卻又有所不同的概念.目的，是一種很特別的目標(biāo)，和一般短期、立即的目標(biāo)不同.目標(biāo)，是達(dá)到目的的手段.有了目的，你會開始安排各種目標(biāo)，讓自己一步步到達(dá)那個(gè)目的[3].因此欲達(dá)到本節(jié)內(nèi)容的目的，就引入環(huán)節(jié)而言，可以先安排既能簡單明確地反映隨機(jī)變量X1和X2的均值相等，又無法對該問題做出判斷的目標(biāo)即可.暫時(shí)無需非用實(shí)際問題中的實(shí)際數(shù)據(jù)拔高起點(diǎn).同時(shí)這也有利于培養(yǎng)學(xué)生，抓住數(shù)學(xué)問題的主要矛盾和數(shù)學(xué)矛盾的主要方面.

2.2?“怎樣定量刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性？”中的“穩(wěn)定性”相較于“波動性”是否欠妥

教材欲通過兩個(gè)環(huán)環(huán)緊扣的思考[1]：“除平均中靶環(huán)數(shù)外，還有其他刻畫兩名同學(xué)各自射擊特點(diǎn)的指標(biāo)嗎？”以及“怎樣定量刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性？”進(jìn)而引出新知.

教材上說[1]：“樣本數(shù)據(jù)與樣本的平均值的偏離程度，用它可以刻畫樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.”何為穩(wěn)定？百度百科對“穩(wěn)定”的解釋是：穩(wěn)固安定;沒有變動;使穩(wěn)定.筆者由此產(chǎn)生疑惑，樣本數(shù)據(jù)的選取雖有隨機(jī)性，但樣本一旦選定不就已經(jīng)穩(wěn)定了嗎？那從何談樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性呢？帶著此疑惑，筆者翻閱從初中到高中具有代表性的各版本數(shù)學(xué)教材中方差的定義，詳見下表1.

由表1比較發(fā)現(xiàn)，方差或是刻畫數(shù)據(jù)波動（離散）程度、或是考察樣本數(shù)據(jù)分散程度、或是反映隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度，均未說明方差是刻畫樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，或刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性.

章建躍[4]于2016年12月17日在“中國教育學(xué)會第二十九次學(xué)術(shù)年會”第三分論壇“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量”上發(fā)言“科學(xué)性是對教材的基本要求，學(xué)科育人是以課程教材的嚴(yán)謹(jǐn)精確作為基礎(chǔ).科學(xué)性體現(xiàn)在教材內(nèi)容的準(zhǔn)確性，包括素材的準(zhǔn)確性，概念原理的正確性，問題解答正確無誤，用詞、術(shù)語、符號、圖表規(guī)范等.”基于“用詞規(guī)范”建議，將教材思考題“怎樣定量刻畫隨機(jī)變量的穩(wěn)定性？”中的“穩(wěn)定性”改為“波動性”.

2.3?通過類比引出“隨機(jī)變量的方差”是否有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)

教育部考試中心《考試大綱》，對該部分內(nèi)容提出的考查要求較低，“理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，會求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡單問題[7]”.由于高考對該部分內(nèi)容考查要求較低，如若再不將這三個(gè)性質(zhì)的證明呈現(xiàn)于教材，則多數(shù)教師就不會講解其證明，而是要求學(xué)生記住這三個(gè)性質(zhì)，并輔以大量的練習(xí)，學(xué)生會應(yīng)用性質(zhì)解題即可，這便會造成學(xué)生學(xué)得很棒的假象.并且學(xué)生只知道為了考試非學(xué)不可，對為什么要學(xué)這些，知之甚少，缺了“為什么”這一環(huán)節(jié)，勢必不能激發(fā)和激活學(xué)生全心全力、自動自發(fā)的學(xué)習(xí)動機(jī).

裴光亞[8]曾指出，“不論是著眼于考試，還是立足于素質(zhì)，都必須：以理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)為前提，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力素養(yǎng)為重點(diǎn)，以激發(fā)求知欲和好奇心為關(guān)鍵.了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生的背景和應(yīng)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.不能單純的依賴于記憶和套路.”

綜上，那到底該怎樣解決“應(yīng)試?yán)Ь场迸c“理解數(shù)學(xué)”之間的矛盾呢？建議將以上三個(gè)性質(zhì)的證明通過教材呈現(xiàn)出來，對于相對簡單的性質(zhì)①和性質(zhì)③，教師應(yīng)在課堂上適當(dāng)講解，而對于性質(zhì)②，可作為學(xué)有余力的學(xué)生自學(xué)，或作為研究性學(xué)習(xí)的素材.相信通過這樣改進(jìn)，能更好地激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心，并且演繹出良好習(xí)慣，科學(xué)態(tài)度，探索自覺，理性精神，美學(xué)追求，高遠(yuǎn)視野[8].裴光亞[8]曾肯定地說：求知欲和好奇心，就是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)全面價(jià)值——“撬起地球”的那個(gè)支點(diǎn).

3?兩點(diǎn)啟示

3.1?“共同富裕”的方差解釋

人類社會為什么追求“共同富?！?？“共同富裕”是指居民普遍比較富裕并且貧富差距較小.從數(shù)學(xué)的角度看，方差的思想可以解釋這個(gè)問題：若居民貧富差距較大，則方差就較大;若居民貧富差距較小，則方差也就較小. 因此，居民收入的方差是刻畫居民貧富差距的一個(gè)重要指標(biāo).

3.2?方差對教育的啟示

一個(gè)班級或某學(xué)科的學(xué)生成績的方差越大，則說明學(xué)生各自的成績偏離于班級平均成績或?qū)W科平均成績的程度越大，即波動性越大.因此方差帶給班主任或?qū)W科教師的啟示是，應(yīng)根據(jù)成績方差制定相應(yīng)幫扶措施，從而使得全班同學(xué)在學(xué)習(xí)上能共同進(jìn)步.

參考文獻(xiàn)

[1]李勇，劉紹學(xué)等. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)2-3（選修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：43，64-68.

[2]趙思林，王婷.立德樹人——高考數(shù)學(xué)命題的新亮點(diǎn)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（4）：39-43.

[3]佚名.斯坦福教授：父母如何幫孩子找到目標(biāo)和動力？[EB/OL].[2017-07-03].http：//www.sohu.com/a/43114681_212810.

[4]中國教育學(xué)會.如何在教材編寫中落實(shí)核心素養(yǎng)？[EB/OL].[2017-02-22].http：//www.sohu.com/a/126953497_387107.

[5]林群，薛彬等. 義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級下冊[M]. 北京：人民教育出版社，2012：129-130.

[6]張淑梅，劉紹學(xué)等. 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)3（必修）（A版）[M]. 北京：人民教育出版社，2007：75-77.

[7]教育部考試中心. 2012年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（理科·課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)版）[M]. 北京：高等教育出版社，2012：54.

[8]裴光亞.應(yīng)試?yán)Ь撑c數(shù)學(xué)教育旨趣的博弈——從一個(gè)悖論談起[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，32（6）：16-22.