縱·橫·連：讓數(shù)學(xué)思維向高階漫溯

□陳雪燕

高階思維是指發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力。按照布魯姆的“教育目標(biāo)分類”理論，認(rèn)知目標(biāo)可以分為：記憶、理解和應(yīng)用，分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造。前者是已知狀態(tài)下的學(xué)習(xí)，屬于低階思維；后者是未知狀態(tài)下的學(xué)習(xí)，屬于高階思維（如圖1）。結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)高階思維是指數(shù)學(xué)情境中發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的綜合性能力，包括分析解決問題能力、批判性思維能力和創(chuàng)造力等。傳統(tǒng)教學(xué)中，教師不厭其煩地講述知識(shí)點(diǎn)和習(xí)題，卻在學(xué)生思考和探索上“惜時(shí)如金”，這種做法不利于培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。要發(fā)展學(xué)生的高階思維，必須引導(dǎo)學(xué)生超越淺層、被動(dòng)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，展開深度性、批判性、探索性和創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)。本文將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛寣W(xué)生的思維走向高階的思考和探索。

圖1

一、縱——凸顯歷程，讓思維縱向延伸

為使學(xué)生的思維從低階走向高階，首先要讓學(xué)生經(jīng)歷自主學(xué)習(xí)和操作的過程，做必要的知識(shí)和熟練規(guī)范技能方面的準(zhǔn)備，在充分感知的基礎(chǔ)上形成更高水平的思維。教學(xué)中教師應(yīng)調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，通過操作、游戲、討論等活動(dòng)，引發(fā)學(xué)生內(nèi)部思維活動(dòng)，經(jīng)歷從“基于直觀動(dòng)作的思維到基于具體形象的思維，再到基于抽象邏輯的思維”的遞進(jìn)過程，進(jìn)而為高階思維奠定基石。

（一）從“直觀行動(dòng)”思維到“具體形象”思維

心理學(xué)家皮亞杰指出：“活動(dòng)是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，智慧從動(dòng)作開始?！被o為動(dòng)，在教學(xué)中讓學(xué)生通過動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口，在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，從“等待—解答”的狀態(tài)走向“發(fā)現(xiàn)—?jiǎng)?chuàng)新”的狀態(tài)。如在教學(xué)“長方形周長的計(jì)算”一課中，教師出示下面一題（如圖2）：計(jì)算下面圖形的周長。（單位：厘米）

圖2

學(xué)生能根據(jù)計(jì)算公式很快計(jì)算出圖形①的周長，對于圖形②③，教師讓學(xué)生試做，然后教師指導(dǎo)學(xué)生用小棒擺出3個(gè)圖形。通過擺小棒，學(xué)生驚奇地發(fā)現(xiàn)雖然3個(gè)圖形的形狀不同，但所用小棒的根數(shù)相同，平移圖形②的兩根小棒，圖形②即轉(zhuǎn)化為圖形①，由此得出了計(jì)算圖形②周長的簡便方法。有了解決圖形②的經(jīng)驗(yàn)，計(jì)算圖形③的周長就方便了。之后，教師根據(jù)學(xué)生的描述呈現(xiàn)圖3，并讓學(xué)生閉眼想象平移的過程。

圖3

在這個(gè)過程中，學(xué)生既進(jìn)行了操作，又展開了觀察想象，不僅發(fā)展了全息視域，加深了對知識(shí)的理解，更活躍了思維。當(dāng)遇到類似的新問題時(shí)，學(xué)生便能快速準(zhǔn)確地從大腦中檢索并提取相關(guān)信息，形成關(guān)聯(lián)，以解決問題。

（二）從“具體形象”思維到“抽象邏輯”思維

在成功嘗試的基礎(chǔ)上，教師又出示下題供學(xué)生研討：若要在樓梯上鋪地毯（如圖4），必須知道樓梯的總長是多少，需測量哪些數(shù)據(jù)？地毯的長度是多少米？（出示圖5）

圖4

圖5

由于學(xué)生剛才已掌握了平移方法，此時(shí)就不易受制于常規(guī)的解題思路，而是萌發(fā)出創(chuàng)造思維的火花，想象只要測出AB與BC的長即可求出地毯的總長度，即3+2=5（米）?？梢?，學(xué)生通過有效的操作，建立起豐富的表象，當(dāng)面臨新問題時(shí)，他們在頭腦中進(jìn)行知識(shí)的“再創(chuàng)造”，從而使數(shù)學(xué)思維向深處有序發(fā)展。

二、橫——增強(qiáng)開放，讓思維橫向拓寬

只有發(fā)散思維與聚合思維兩者協(xié)調(diào)發(fā)展，學(xué)生的思維水平才能形成和提高。開放性問題可以使學(xué)生的智慧得以啟迪、潛能得以挖掘、創(chuàng)新思維得以激活，讓學(xué)生的思維多維發(fā)散，向深度、廣度、嚴(yán)密度發(fā)展，這樣學(xué)生高階思維能力的提升才能實(shí)現(xiàn)。

（一）問題開放，讓思考層層遞進(jìn)

教師在教學(xué)中應(yīng)該增強(qiáng)問題的開放性，誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，圍繞問題多角度去尋求答案，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行概括，逐步形成規(guī)律性知識(shí)。

【案例1：什么情況下商中間有0】

教師出示“除數(shù)是一位數(shù)，商中間有0”的除法練習(xí)：（）÷8的商中間有0，（）里可填幾，并思考“什么情況下商中間有0”。對于這樣的題目，學(xué)生練習(xí)的積極性很高，相繼在（）里填寫了：808；

8008；816；1616；824；2424；832；3232……

這些數(shù)，由被除數(shù)本身中間帶0到不帶0，由三位數(shù)到四位數(shù)，例子越舉越多，共性也越來越明顯，從而進(jìn)一步概括出“什么情況下商中間有0”的規(guī)律。

（二）策略開放，讓思考步步為營

即使有些只能有一個(gè)答案的問題，也應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生從多思路、多途徑、多角度去考慮，做到條條大路通羅馬，這樣才有利于開發(fā)學(xué)生的思維能力。

【案例2：多種巧妙方法解答等腰直角三角形面積】

例題：已知一個(gè)等腰直角三角形斜邊長8厘米，求該三角形的面積（如圖6）。

圖6

一開始大部分學(xué)生認(rèn)為這題是不能做的，教師鼓勵(lì)學(xué)生展開不同思路，結(jié)果貌似不能解答的題目，經(jīng)過學(xué)生深入思考后，竟然得出了多種巧妙的解法。

解法1：用2個(gè)與圖中完全一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個(gè)直角邊為8厘米的大等腰直角三角形，它的面積是8×8÷2=32平方厘米，那么一個(gè)三角形的面積就是32÷2=16平方厘米。

解法2：用4個(gè)與圖中完全一樣的等腰直角三角形可以拼成一個(gè)邊長為8厘米的正方形，拼成的正方形的面積是8×8=64平方厘米，那么一個(gè)三角形的面積就是64÷4=16平方厘米。

解法3：作斜邊上的高，可知高是斜邊的一半，正好是4厘米，直接算出三角形的面積是8×4÷2=16平方厘米。

解法4：用割補(bǔ)法，通過斜邊上的高分割成兩個(gè)完全一樣的小等腰直角三角形，再拼合成邊長是4厘米的正方形，正方形面積也就是原三角形的面積，即4×4=16平方厘米。

每一個(gè)學(xué)生都具有創(chuàng)新的潛質(zhì)，關(guān)鍵是教師能否用恰當(dāng)?shù)姆绞饺ゼぐl(fā)他們的才華。探索性、開放性強(qiáng)的內(nèi)容，滿足不同學(xué)生的個(gè)性化需求，喚醒學(xué)生頭腦中最靈動(dòng)的思維，敞亮他們的高階思維。

三、連——全面勾連，讓思維走向高階

當(dāng)面臨新問題或解決較復(fù)雜的挑戰(zhàn)性任務(wù)時(shí)，學(xué)生若能迅速檢索、全面勾連舊知，并展開主動(dòng)猜想、驗(yàn)證、批判，其高階思維能力也定能悄然生成。

（一）舊知新用，積極推想

以舊知推想新知，大腦執(zhí)行知識(shí)“同化”的過程，使新舊學(xué)習(xí)任務(wù)間能夠順利銜接。在個(gè)人學(xué)習(xí)時(shí)，我們要盡可能地尋找與新知識(shí)有相關(guān)性的舊知識(shí)，旁征博引，積極推想，通過舊知示證新知，使新知更易被理解、記憶及運(yùn)用。

【案例3：最大最小問題勾連周長相等時(shí)的面積問題】

例題：把4、5、6、7填到□里，使得算式□□×□□的積最大。

生1:要想使算式的積最大,就要使這兩個(gè)兩位數(shù)盡可能大，所以這兩個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)分別是6和7，再通過計(jì)算比較75×64和74×65的積哪個(gè)大。75×64=4800，74×65=4810，因?yàn)?800<4810，所以74×65時(shí)，算式的積最大。

生2:75×64和74×65的積哪個(gè)大？我不是通過計(jì)算兩個(gè)算式的積來判斷的。75+64跟74+65它們的和是一樣的，75與64差是11，74與65的差是9，相差小，積就大，所以選74×65。這就跟周長相等時(shí)長與寬相差越小，面積越大的道理一樣。

隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生用生2的方法繼續(xù)探究積最小的問題。

獨(dú)特的想法使教學(xué)過程充滿生機(jī)和活力。聽完生2的回答，全班同學(xué)頻頻點(diǎn)頭，表示贊許。顯然，生2靈活利用舊知推想的想法更具創(chuàng)造性。在教學(xué)中可以用提問、測試、演示、討論等方法幫助學(xué)生激活舊有知識(shí)，積極推想。

（二）類比模擬，大膽聯(lián)想

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為：“類比是一個(gè)偉大的引路人?！鳖惐确ㄊ怯纱思氨嘶蛘呤怯杀思按说穆?lián)想方法，具有啟迪思維、舉一反三的作用，是富有創(chuàng)造性的一種思維方法，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想、類比，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的想象力，讓他們通過比較發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，將已學(xué)的知識(shí)或已掌握的方法遷移過來。其實(shí)，類比在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中比比皆是，在推導(dǎo)梯形面積計(jì)算公式的時(shí)候就會(huì)類比聯(lián)想到已學(xué)的三角形面積計(jì)算推導(dǎo)的方法。運(yùn)用類比觸發(fā)了靈感，突破原來的思維禁錮，收到化難為易、化生為熟的效果，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的正遷移，使問題得到創(chuàng)造性的解決。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，需要教師著眼于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，從傳統(tǒng)教育“重知識(shí)學(xué)習(xí)而輕能力培養(yǎng)”“重機(jī)械記憶訓(xùn)練而輕操作應(yīng)用”“重求同再現(xiàn)而輕求異創(chuàng)新”“重統(tǒng)一要求而輕個(gè)性發(fā)展”等弊病中解放出來，努力培養(yǎng)他們勤于思考、勇于提出問題的優(yōu)良的學(xué)習(xí)品質(zhì)，借問題促探索，借探索促發(fā)現(xiàn)，借發(fā)現(xiàn)促創(chuàng)新。優(yōu)質(zhì)的教學(xué)，不是讓學(xué)生去消化教師的想法，而是激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造想法，讓學(xué)生的思維去歷險(xiǎn)。