一類具梯度項(xiàng)的擬線性橢圓方程邊值問題弱解研究

石 曼，鐘金標(biāo)

(安慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，安徽 安慶 246133）

目前，關(guān)于橢圓型方程邊值問題弱解的相關(guān)研究一直很熱門[1-3]。

文獻(xiàn)[1]研究了問題

在一定條件下，利用嵌入定理及逼近理論證明了問題存在弱解。張敏[2]研究了問題

并且利用Sobolev嵌入定理證明了弱解的存在性和唯一性。

鐘金標(biāo)[3]等研究了橢圓型方程組邊值問題。利用上、下解方法和不動(dòng)點(diǎn)定理證明了問題存在弱解。

本文研究問題

其中Ω?RN(N≥2)是邊界光滑的有界正則區(qū)域。我們利用嵌入定理、上下解方法和不動(dòng)點(diǎn)理論，證明了問題(1）存在弱解，并討論了解的唯一性。

給定條件：

(H1)設(shè)P＜N,N≥2.

(H3)對(duì)任意常數(shù)M＞0,當(dāng)| u(x)|≤M,在Ω中幾乎處處成立時(shí)，

(H4)設(shè) f:Ω×R×RN→R 是Lipschitz連續(xù)的，且Lipschitz系數(shù),這里 λ1是 -Δ 算子0-Dirichlet邊值問題的第一特征值。

1 主要結(jié)果

利用Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理、文獻(xiàn)[6]中定理(10.6）及引理2所證S為緊連續(xù)算子知存在使得S(1 , u)=u.即成立：

由f∈LP(Ω ),知u∈W2,p(Ω )。

定理1設(shè)(H1），(H2），(H3）成立，則問題(1）存在解

證：由引理3知，存在u(x)∈W2,p(Ω )為下列問題的解：

將上式兩邊乘上ω+后，在Ω上積分，并利用Green第一恒等式得：

2 唯一性

定理2設(shè)(H4）成立，則問題(1）的解唯一。

證：設(shè)u1,u2為問題(1)的解，則 u1,u2滿足

將(8）中方程兩邊乘上u1-u2后在Ω上積分，并利用Green第一恒等式得：