井壁失穩(wěn)風(fēng)險的可靠度理論評價方法

陳穎杰 鄧傳光 馬天壽

1. 中國石油西南油氣田公司勘探事業(yè)部 2. “油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程”國家重點實驗室·西南石油大學(xué)

0 引言

井壁失穩(wěn)問題是鉆井工程中非常棘手的井下復(fù)雜或事故，井壁失穩(wěn)通常表現(xiàn)為井壁坍塌和井眼漏失，準(zhǔn)確控制井筒壓力高于坍塌壓力并低于破裂壓力，可以有效避免井壁失穩(wěn)事故，還可以避免誘發(fā)產(chǎn)生的井噴、井漏、井塌、卡鉆等井下復(fù)雜和事故[1-3]。

國內(nèi)外學(xué)者針對井壁穩(wěn)定問題已經(jīng)開展了較為深入的研究，建立多種經(jīng)驗?zāi)Ｐ?、解析模型和?shù)值模擬方法[2-6]。研究的焦點主要集中于本構(gòu)模型和破壞準(zhǔn)則，本構(gòu)模型方面已經(jīng)形成了線彈性解析解、塑性模型、彈塑性模型、孔隙彈性模型、孔隙熱彈性模型、化學(xué)孔隙彈性模型、化學(xué)孔隙熱彈性模型等多種模型[6-17]，破壞準(zhǔn)則方面已經(jīng)形成了Mohr-Coulomb準(zhǔn)則、Drucker-Prager準(zhǔn)則、Mogi-Coulomb準(zhǔn)則、修正Lade準(zhǔn)則、修正Wiebols-Cook準(zhǔn)則、Hoek-Brown準(zhǔn)則等多種準(zhǔn)則[18-20]。但是，由于深部地層地質(zhì)條件的隱蔽性和不確定性，加之地球物理測井及其解釋方法均存在一定誤差，使得地層地質(zhì)力學(xué)參數(shù)（地應(yīng)力、孔隙壓力）、巖石力學(xué)參數(shù)等呈現(xiàn)出較強(qiáng)的不確定性，進(jìn)行井壁穩(wěn)定分析時將難以確定準(zhǔn)確的輸入?yún)?shù)。若輸入?yún)?shù)出現(xiàn)一定偏差，將導(dǎo)致井壁穩(wěn)定分析結(jié)果出現(xiàn)偏差，甚至可能出現(xiàn)嚴(yán)重錯誤[4-5]。在國外，一些學(xué)者采用定量風(fēng)險分析方法定量研究了輸入?yún)?shù)不確定性特征，并且明確了輸入?yún)?shù)不確定程度對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響[21-25]；在國內(nèi)，張立松等推導(dǎo)了煤層氣直井坍塌壓力可靠度計算公式[26]，魏凱等[27-28]建立了直井井壁失穩(wěn)區(qū)域識別方法，可見國內(nèi)針對輸入?yún)?shù)不確定性及對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果影響的研究較少，參數(shù)不確定性對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響尚不明確。為此，筆者基于可靠性理論，建立井壁穩(wěn)定風(fēng)險評價方法，定量評價直井井壁失穩(wěn)的風(fēng)險，并進(jìn)行參數(shù)不確定性的影響分析與評價，以期為直井井壁穩(wěn)定控制和措施的制定提供理論支撐。

1 井壁穩(wěn)定力學(xué)模型

1.1 井壁應(yīng)力分布

對于直井而言，在井眼圓柱坐標(biāo)系(r，θ，z)中，井壁處的應(yīng)力可取Kirsch方程中r=rw并整理得到[1-2]：

式中σr，σθ，σz分別表示井周徑向、環(huán)向和軸向應(yīng)力，MPa；σH，σh，σv分別表示最大、最小水平地應(yīng)力和上覆巖層壓力，MPa；pi表示井筒液柱壓力，MPa；v表示泊松比；θ表示井壁任意位置對應(yīng)的圓周角，( °)。

1.2 坍塌壓力計算模型

強(qiáng)度準(zhǔn)則的選取是井壁坍塌壓力計算另一個非常重要的方面，最常用的強(qiáng)度準(zhǔn)則是Mohr-Coulomb準(zhǔn)則、Drucker-Prager準(zhǔn)則、Hoek-Brown準(zhǔn)則等。實踐表明，對于比較堅硬的巖石，Mohr-Coulomb準(zhǔn)則計算結(jié)果比較可靠，此處采用Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，即：

式中σ1，σ3分別表示最大、最小地應(yīng)力，MPa；Co表示內(nèi)聚力，MPa； 表示內(nèi)摩擦角，( °)。

巖石剪切破壞與否主要取決于所受的應(yīng)力狀態(tài)，最大、最小主應(yīng)力差值越大，則井壁坍塌越容易發(fā)生。通常情況下，井壁處最大、最小主應(yīng)力分別為環(huán)向應(yīng)力和徑向應(yīng)力，即井壁是否坍塌主要取決于于井壁環(huán)向應(yīng)力（σθ）和徑向應(yīng)力（σr）的差值。由式（1）不難看出：當(dāng)井周角θ=±π/2時，環(huán)向應(yīng)力達(dá)到最大值，而該處的差應(yīng)力（σθ-σr）將達(dá)到最大值，說明井壁坍塌失穩(wěn)的臨界點位于θ=±π/2處，即井壁失穩(wěn)的方位與最小水平地應(yīng)力方向一致。若考慮巖石非線性特性和巖石孔隙中所作用的孔隙壓力（pp），則井壁失穩(wěn)臨界點的最大和最小有效應(yīng)力[2]：

式中α表示Biot系數(shù)；pp表示地層孔隙壓力，MPa；pi表示鉆井液柱壓力，MPa；η表示應(yīng)力非線性修正系數(shù)，一般η=0.95。

于是，將式（3）帶入式（2）得坍塌壓力計算模型[2]：

式中pc表示坍塌壓力，MPa。

1.3 破裂壓力計算模型

當(dāng)井內(nèi)的鉆井液柱所產(chǎn)生的壓力高到足以壓裂地層，使其原有的裂隙張開延伸或形成新的裂隙時的井內(nèi)流體壓力稱為地層的破裂壓力（pf）。地層破裂是由于井內(nèi)鉆井液密度過大使巖石所受的周向應(yīng)力達(dá)到巖石的抗拉強(qiáng)度而造成的，即

式中St表示巖石抗拉強(qiáng)度，MPa。

由式（1）不難看出：當(dāng)井筒壓力增大時，環(huán)向應(yīng)力變??；當(dāng)井筒壓力增大到一定程度時，環(huán)向應(yīng)力將變成負(fù)值，即巖石所受周向應(yīng)力由壓縮應(yīng)力變?yōu)槔鞈?yīng)力，當(dāng)拉伸應(yīng)力大到足以克服巖石的抗拉強(qiáng)度時，地層則產(chǎn)生破裂造成井漏。破裂發(fā)生在環(huán)向應(yīng)力最小處，即井壁破裂的臨界點位于θ= 0°或π處。若考慮巖石孔隙中所作用的pp，則井壁破裂臨界點的最小有效應(yīng)力為：

于是，將式（7）帶入式（6）可得壓裂井壁的臨界壓力值，即破裂壓力[2]：

式中pf表示破裂壓力，MPa。

2 井壁失穩(wěn)風(fēng)險可靠度評價方法構(gòu)建

根據(jù)可靠性理論，假設(shè)井壁穩(wěn)定的功能函數(shù)具有如下的一般形式：

將功能函數(shù)（Z）在均值點(稱為中心點)處展開成Taylor級數(shù)并保留至一次項，即

根據(jù)相互獨立正態(tài)分布隨機(jī)變量線性組合的性質(zhì)，則Z的均值和方差可分別表示如下[29]：

式中μZ表示功能函數(shù)Z的均值；σZ表示功能函數(shù)Z的方差。

根據(jù)可靠度指標(biāo)的定義，由式(13)、(14)可得可靠度指標(biāo)[29]：

式中β表示可靠度指標(biāo)。

上述方法將功能函數(shù)Z在隨機(jī)變量的均值點展開成Taylor級數(shù)并取一次項，利用X的一階矩（均值）和二階矩（方差）計算Z的可靠度，所以又稱為均值一次二階矩方法[29]。當(dāng)已知X的均值和方差時，可用此方法簡便地估算可靠度指標(biāo)。通常情況下，將功能函數(shù)處于失穩(wěn)狀態(tài)下的概率稱為失穩(wěn)概率，若功能函數(shù)符合正態(tài)分布，則井壁失穩(wěn)的概率和井壁穩(wěn)定的可靠度概率可表示[29]：

式中Pf表示井壁失穩(wěn)的概率；Pr表示井壁穩(wěn)定的概率；Φ表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

因此，將式（10）帶入式（12）～（13），計算井壁坍塌和破裂兩種情況下功能函數(shù)（Z）的均值（μZ）和方差（σZ）；進(jìn)一步，將功能函數(shù)（Z）的均值（μZ）和方差（σZ）帶入式(14)，計算可靠度指標(biāo)（β）；最后，將可靠度指標(biāo)（β）帶入式（15），可計算出井壁失穩(wěn)和井壁穩(wěn)定所對應(yīng)的概率，此二者之和為1，從而可實現(xiàn)井壁失穩(wěn)風(fēng)險的定量評價。

3 應(yīng)用分析

3.1 基礎(chǔ)輸入?yún)?shù)不確定性分析

井壁坍塌壓力和破裂壓力的計算主要涉及如下輸入?yún)?shù)：井筒壓力、最大水平地應(yīng)力、最小水平地應(yīng)力、孔隙壓力、巖石強(qiáng)度（內(nèi)聚力、內(nèi)摩擦角和抗張強(qiáng)度）、應(yīng)力非線性修正系數(shù)、Biot系數(shù)等，其中，井筒壓力、應(yīng)力非線性修正系數(shù)和Biot系數(shù)基本可以認(rèn)為是確定輸入?yún)?shù)，而最大水平地應(yīng)力、最小水平地應(yīng)力、孔隙壓力、巖石強(qiáng)度(內(nèi)聚力、內(nèi)摩擦角和抗張強(qiáng)度)具有一定的不確定性。描述參數(shù)不確定性的數(shù)學(xué)方法主要有均勻分布、三角分布、正態(tài)分布、Beta分布、Weibull分布、Gamma分布等多種，通常這些參數(shù)基本上能夠滿足正態(tài)分布。

為了分析輸入?yún)?shù)不確定性特征，以四川盆地X井為例進(jìn)行分析，該井須家河組埋深介于4 200～4 500 m，測井和實鉆資料表明，該井所在地區(qū)的上覆巖層壓力梯度介于2.27～3.02 MPa/100 m、水平最大地應(yīng)力梯度介于1.85～2.59 MPa/100 m、水平最小地應(yīng)力梯度介于1.55～2.16 MPa/100 m、地層孔隙壓力梯度介于1.17～1.45 MPa/100 m、地層巖石內(nèi)聚力介于14.25～22.25 MPa，巖石內(nèi)摩擦角介于31.25°～35.46°，巖石抗張強(qiáng)度介于4.65～7.48 MPa。根據(jù)測井解釋結(jié)果給定各參數(shù)的均值，參考現(xiàn)場各種測試方法計算相關(guān)參數(shù)可能的誤差范圍[14]設(shè)定各參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值），給定各參數(shù)的不確定性統(tǒng)計結(jié)果如表1所示，通過蒙特卡洛模擬得到的地應(yīng)力、巖石強(qiáng)度等參數(shù)分布擬合結(jié)果如圖1所示。不難看出，各參數(shù)的不確定分布規(guī)律滿足正態(tài)分布規(guī)律；變異系數(shù)越高，則樣本數(shù)據(jù)的不確定性越強(qiáng)，參數(shù)的分布越廣泛，對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響將更加顯著；反之亦然?？梢娺@種強(qiáng)烈的參數(shù)不確定性勢必會對井壁穩(wěn)定性分析結(jié)果產(chǎn)生顯著影響。

表1 輸入?yún)?shù)不確定性特征統(tǒng)計表

3.2 不同鉆井液當(dāng)量密度下可靠度評價結(jié)果

為了計算不同井筒壓力下井壁穩(wěn)定的可靠度概率，取不同井筒鉆井液當(dāng)量密度值，按第2節(jié)所述的方法計算了不同鉆井液當(dāng)量密度下防止井壁坍塌和井壁破裂的可靠概率，如圖2所示。

由圖2可知，隨著井筒鉆井液當(dāng)量密度的增加，井壁坍塌條件所對應(yīng)的可靠概率逐漸增加，而井壁破裂條件所對應(yīng)的可靠概率逐漸降低。這充分說明，隨著井筒鉆井液當(dāng)量密度的增加，一方面井壁坍塌的風(fēng)險逐漸降低，因而井壁保持穩(wěn)定的概率逐漸增加；另一方面井壁破裂的風(fēng)險又逐漸增加，使得井壁被壓漏的概率逐漸增加。因此，需要尋找一個合適的井筒鉆井液當(dāng)量密度，使得防止井壁坍塌和漏失的可靠概率均保持在較高的概率。通常情況下，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線都會存在一個交點，該交點的意思是井壁坍塌和井壁破裂為等概率事件，在低于該交點對應(yīng)的概率情況下將能夠找到一個合適的安全窗口、而高于該交點將不存在安全窗口。圖2中標(biāo)出了3種典型的情況，這3種情況可以分為兩類，第一類是要求比較高的可靠概率(90%)，由于井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點出現(xiàn)在當(dāng)量密度為1.65 g/cm3，而此時對應(yīng)的坍塌壓力和破裂壓力當(dāng)量密度分別為1.78 g/cm3和1.45 g/cm3，這二者之間并沒有安全窗口，說明此時難以在該類地層中實現(xiàn)這一目標(biāo)；第二類為了能夠在較為安全的概率下成功鉆穿該地層，可以適當(dāng)?shù)倪x擇恰當(dāng)?shù)目煽扛怕?，比如將可靠概率定?0%或70%，這兩種情況對應(yīng)的安全窗口分別介于1.58～1.73 g/cm3和1.45～1.92 g/cm3，可靠概率80%對應(yīng)的安全窗口明顯小于可靠概率70%的情形，這說明適當(dāng)?shù)剡x擇工程上可以接受的概率范圍，可以在更寬的安全窗口內(nèi)設(shè)計井筒鉆井液密度。但是，工程上通常需要將可靠概率控制在80%以上，這樣鉆穿該地層的成功率將會達(dá)到比較理想的效果。

3.3 輸入?yún)?shù)不確定程度的影響

3.3.1 地應(yīng)力的影響

地應(yīng)力不確定性對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響可以分為兩個主要的方面，一方面是最大水平地應(yīng)力的影響，另一方面是最小水平地應(yīng)力的影響。為了明確這兩方面因素的影響規(guī)律，計算了最大和最小水平地應(yīng)力在變異系數(shù)分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4這5種情況下不同當(dāng)量密度所對應(yīng)的井壁穩(wěn)定可靠度概率，結(jié)果如圖3所示。

圖1 基本輸入?yún)?shù)正態(tài)分布特征圖

由圖3可知，①隨著水平地應(yīng)力變異系數(shù)的增加，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點下降，②圖3-a顯示出現(xiàn)的位置基本上在當(dāng)量密度為1.65 g/cm3，5種情況下交點對應(yīng)的可靠概率下降，分別為93.3%、90.2%、83.5%、78.0%和73.5%；③圖3-b顯示交點出現(xiàn)的位置隨變異系數(shù)的增加而逐漸向左移動，且5種情況下交點對應(yīng)的可靠概率也逐漸降低，分 別 為 85.7%、80.5%、73.4%、68.5% 和 64.8%；④圖3-b還顯示井壁坍塌可靠概率曲線受到的最小水平地應(yīng)力變異系數(shù)影響較小。綜上所述，地應(yīng)力不確定性對井壁穩(wěn)定影響顯著，其中，最大水平地應(yīng)力不確定程度對井壁坍塌和井壁破裂均有顯著影響，而最小水平地應(yīng)力不確定程度主要影響井壁破裂。井壁穩(wěn)定分析中需要準(zhǔn)確確定地應(yīng)力的大小，不確定程度越低，則井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的可信度越高，所確定的井壁穩(wěn)定安全窗口也將更加準(zhǔn)確。

3.3.2 孔隙壓力的影響

地層孔隙壓力對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果也具有顯著的影響，為了明確這方面因素的影響規(guī)律，計算了孔隙壓力在變異系數(shù)分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4這5種情況下不同當(dāng)量密度所對應(yīng)的井壁穩(wěn)定可靠度概率，結(jié)果如圖4所示。

圖2 不同當(dāng)量密度下的井壁穩(wěn)定可靠度概率圖

由圖4可知，隨著孔隙壓力變異系數(shù)的增加，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點出現(xiàn)的位置出現(xiàn)在1.64～1.66 g/cm3，但這5種情況下交點對應(yīng)的可靠概率略微降低，分別為87.5%、86.6%、85.7%、83.5%和82.5%，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線反映出對井壁穩(wěn)定安全窗口不如地應(yīng)力的影響顯著，但對于一些窄安全密度窗口地層，其影響將不容忽視。

3.3.3 巖石強(qiáng)度的影響

地層巖石強(qiáng)度對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果也具有一定的影響，為了明確這方面因素的影響規(guī)律，計算了巖石內(nèi)聚力、內(nèi)摩擦角和抗張強(qiáng)度在變異系數(shù)分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4這5種情況下不同當(dāng)量密度所對應(yīng)的井壁穩(wěn)定可靠度概率，巖石強(qiáng)度參數(shù)不確定程度對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響如圖5所示。

圖3 最大、最小水平地應(yīng)力不確定程度對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響圖

圖4 孔隙壓力不確定程度對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響圖

1）對于巖石內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角而言，①隨著內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角變異系數(shù)的增加，井壁坍塌可靠概率曲線受到了一定程度的影響，其受影響程度與地應(yīng)力相比較小，但井壁破裂可靠概率曲線并未受到影響；②在巖石內(nèi)聚力變異系數(shù)由0增加至0.4的過程中，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點出現(xiàn)的位置隨變異系數(shù)的增加而逐漸向右移動，但基本上都在當(dāng)量密度為1.62～1.65 g/cm3的范圍內(nèi)，而且這5種情況下交點對應(yīng)的可靠概率也略微降低，分別為84.8%、84.7%、84.6%、84.5%和83.9%；③在巖石內(nèi)摩擦角變異系數(shù)由0增加至0.4的過程中，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點出現(xiàn)的位置也隨變異系數(shù)的增加而逐漸向右移動，但基本上都在當(dāng)量密度為1.62～1.68 g/cm3的范圍內(nèi)，而且這5種情況下交點對應(yīng)的可靠概率也略微降低，分別為84.6%、84.6%、83.8%、83.5%和82.7%。

圖5 巖石強(qiáng)度參數(shù)不確定程度對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響圖

2）對于巖石抗張強(qiáng)度而言，①隨著抗張強(qiáng)度變異系數(shù)的增加，井壁破裂可靠概率曲線受到了一定程度的影響，其受影響程度與地應(yīng)力相比較小，但井壁坍塌可靠概率曲線并未受到影響；②在巖石抗張強(qiáng)度變異系數(shù)由0增加至0.4的過程中，井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線的交點出現(xiàn)的位置隨變異系數(shù)的增加而逐漸向左移動，但基本上都在當(dāng)量密度為1.63～1.66 g/cm3的范圍內(nèi)，而且這5種情況下交點對應(yīng)的可靠概率也略微降低，分別為84.3%、84.3%、84.2%、84.0%和83.5%。因此，巖石強(qiáng)度的不確定性對井壁穩(wěn)定的安全窗口分析結(jié)果具有一定影響，盡管對井壁穩(wěn)定安全窗口分析結(jié)果影響并不顯著，但對于一些窄安全密度窗口地層，其影響將不容忽視。

4 結(jié)論

1）給出了以Kirsch方程、Mohr-Coulomb準(zhǔn)則和最大拉應(yīng)力準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的井壁穩(wěn)定力學(xué)模型，建立了基于可靠度理論的井壁失穩(wěn)風(fēng)險評價方法。

2）各輸入?yún)?shù)的不確定分布規(guī)律基本滿足正態(tài)分布規(guī)律，變異系數(shù)越高，則樣本參數(shù)的不確定性越強(qiáng)，參數(shù)的分布越廣泛，對井壁穩(wěn)定分析結(jié)果的影響將更加顯著。因此，輸入?yún)?shù)不確定性對井壁穩(wěn)定性分析結(jié)果具有重要的影響。

3）井壁坍塌和井壁破裂可靠概率曲線交點以下將能夠找到一個合適的安全窗口、而高于該交點將不存在安全窗口，在允許的概率范圍內(nèi)適當(dāng)降低可靠概率有助于優(yōu)化更寬的安全窗口。

4）不確定性分析結(jié)果看，地應(yīng)力、孔隙壓力、巖石強(qiáng)度3個因素不確定性對井壁穩(wěn)定影響大小的順序為地應(yīng)力＞孔隙壓力＞巖石強(qiáng)度。因此，建議準(zhǔn)確地確定地應(yīng)力的大小，以降低其不確定程度的影響，從而提高對井壁穩(wěn)定性評價的準(zhǔn)確性。