供應(yīng)鏈合作廣告的改進(jìn)及最優(yōu)策略

方衛(wèi)國 張曉明 楊琛

（北京航空航天大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 北京 100191）

一、引言

Roman和Maas[1]在研究廣告對銷售量的影響時發(fā)現(xiàn)，任何產(chǎn)品的銷售量都不是無限大的，而是有一個“臨界銷售量”和“最大可能銷售量”?！芭R界銷售量”指某一品牌產(chǎn)品在沒有任何廣告情況下，只要確實(shí)有價(jià)值，總會產(chǎn)生一定程度的銷售。“最大可能銷售量”指某一品牌產(chǎn)品銷售量，由于受到產(chǎn)品自身的限制，比如產(chǎn)品質(zhì)量和生命周期，以及外界環(huán)境的影響，諸如市場和經(jīng)濟(jì)環(huán)境、替代產(chǎn)品和新產(chǎn)品的威脅等，在達(dá)到市場飽和或者說一個最高銷售點(diǎn)后，就很難甚至無法在銷售量上有所增長了。在“臨界銷售量”和“最大可能銷售量”之間的區(qū)域，廣告可以發(fā)揮促銷作用。合作廣告一般分為縱向（垂直）和橫向（水平）合作廣告。縱向合作廣告指在供應(yīng)鏈中，具有縱向關(guān)系的兩個企業(yè)（比如百事可樂和肯德基）合作，用戰(zhàn)略合作和聯(lián)合廣告的方式共同宣傳二者的產(chǎn)品。而橫向合作廣告指在市場上橫向的兩個企業(yè)（比如宏碁和IBM），甚至是跨行業(yè)的兩個企業(yè),為了爭取更低廉的價(jià)格和其他更優(yōu)厚的待遇而合作，兩家企業(yè)同時與同一家廣告公司簽訂合作宣傳協(xié)議。目前絕大多數(shù)行業(yè)都存在縱向合作廣告，它是許多企業(yè)營銷戰(zhàn)略中極為重要的一環(huán)?？v向合作廣告中，制造商會為零售商支付部分廣告成本。本文研究的合作廣告指縱向合作廣告。

合作廣告一般是由制造商的品牌廣告（又叫全國性廣告）和零售商的地方性廣告組成[2]。全國性廣告指制造商在全國市場進(jìn)行宣傳來推廣產(chǎn)品，目的主要是建立良好的品牌形象和聲譽(yù)，讓消費(fèi)者建立對品牌的信任，考慮購買該品牌產(chǎn)品。地方性廣告指零售商在其所屬地域進(jìn)行的宣傳和促銷，目的是提供給顧客更為詳細(xì)的信息，如去哪里買、怎么買、折扣能有多少等，以此來鼓勵和引導(dǎo)顧客的購買行為，較為典型的地方性廣告有產(chǎn)品陳列展臺、產(chǎn)品促銷宣傳和商場的宣傳活動等。通過合作廣告對品牌的營造和對產(chǎn)品購買信息的描述，當(dāng)顧客有購買該產(chǎn)品的需求時，可以輕而易舉獲得更全面的信息。而如果只有全國性廣告，顧客僅僅知道品牌，卻無法了解購買渠道，面臨著找不到商店位置等“最后一公里”問題。因此，無論是全國性的品牌廣告還是零售商的地方性促銷宣傳，對提升銷售量都有不可忽視的作用。

合作廣告作為供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的手段，其對供應(yīng)鏈績效提升的價(jià)值，近年來重新受到了關(guān)注[3-5]。Aust和Buscher[6]的綜述對各種不同的合作廣告形式進(jìn)行了梳理，重點(diǎn)討論有關(guān)縱向合作廣告的研究進(jìn)展，包括靜態(tài)和動態(tài)場景以及研究中采用的各種需求和費(fèi)用函數(shù)。合作博弈和非合作博弈模型在合作廣告研究中獲得了廣泛的應(yīng)用。Jorgensen和Zaccour[7]對合作廣告研究中的博弈模型進(jìn)行了分類和討論。除了研究合作廣告自身對供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的作用外，進(jìn)一步將合作廣告與訂貨策略結(jié)合起來[8-10]，或者更多地同時考慮合作廣告與價(jià)格策略[11-16]，研究它們對供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的交互作用。對合作廣告的研究，已經(jīng)從由一個制造商和一個零售商組成的簡單供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)，發(fā)展到由多個制造商或/和多個零售商組成的復(fù)雜供應(yīng)鏈結(jié)構(gòu)[17-23]；從單周期決策擴(kuò)展到多周期決策[24,25]。絕大部分研究聚焦在縱向合作廣告，也有少量研究探討橫向合作廣告問題[26,27]。近年來，隨著電子商務(wù)的興起，雙渠道供應(yīng)鏈的合作廣告問題逐漸獲得了學(xué)者的關(guān)注[5,28-30]。

本文考慮由一個零售商和一個制造商組成的、提供單一產(chǎn)品的二級供應(yīng)鏈，針對現(xiàn)有的合作廣告銷售反應(yīng)函數(shù)假設(shè)存在的缺陷予以改進(jìn)，構(gòu)造新的銷售反應(yīng)函數(shù)?；诟倪M(jìn)的銷售反應(yīng)函數(shù)，研究合作廣告的最優(yōu)策略問題。將制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者而零售商作為追隨者的合作廣告問題，建模為Stackelberg主從博弈。通過求解模型的均衡解，確定制造商和零售商的合作廣告最優(yōu)策略。對博弈均衡及最優(yōu)策略的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行理論分析，通過數(shù)值模擬對理論分析的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

二、合作廣告銷售反應(yīng)函數(shù)

Huang和Li[2]認(rèn)為產(chǎn)品銷售量S，受零售商地方性廣告水平a和制造商全國性品牌投資q的雙重影響，并將期望的銷售反應(yīng)函數(shù)假設(shè)為如下形式：

其中α＞0為銷售飽和漸近線，即最大可能銷售量；β、γ和δ為大于0的常數(shù)，γ或δ越大，表明零售商地方性廣告投入或制造商全國性廣告投入（品牌投資）對銷售反應(yīng)量的影響越大。這一銷售反應(yīng)函數(shù)在合作廣告研究中被眾多學(xué)者廣泛采用。但上述假設(shè)存在四個缺陷：

（a）不能考慮零售商或制造商在廣告上不投資的情形。若α=0或q=0，則（1）式?jīng)]有意義。

（b）對于某些參數(shù)組合，如α或q小于1而γ或δ大于1時的某些參數(shù)組合，銷售反應(yīng)函數(shù)可能出現(xiàn)負(fù)值。針對這一缺陷，Ahmadi-Javid和Hoseinpour[31]對銷售反應(yīng)函數(shù)已經(jīng)做了改進(jìn)。

（c）（1）式隱含著零售商和制造商各自在廣告上的投資彼此具有替代效應(yīng)。當(dāng)α很小而q→∞，或當(dāng)q很小而α→∞時，S→α。這意味著僅憑零售商或制造商單方面的廣告促銷努力，即可使銷售量接近飽和。事實(shí)上，如前所述，零售商地方性廣告與制造商全國性廣告具有不同的目標(biāo)和作用，可以互相促進(jìn)但不能彼此替代。

針對（1）式所描述的銷售反應(yīng)函數(shù)的缺陷，本文提出改進(jìn)的銷售反應(yīng)函數(shù)，它具有如下的Logistic函數(shù)形式：

（2）式中，參數(shù)α，a，q的含義同前。β1和β2是正常數(shù)，分別表征零售商和制造商的促銷行為對市場需求的影響力，它們的值越大，表明促銷行為對市場需求的改變效果越顯著。0〈γ，δ〈1分別為銷售量對零售商地方性廣告和制造商全國性廣告投資的彈性因子。

改進(jìn)的銷售反應(yīng)函數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）當(dāng)a→∞且q→∞時，S(a,q)→α，銷售量達(dá)到飽和。

（2）當(dāng)a→0且q→0時，。此時的銷售量即為在沒有任何廣告的情況下產(chǎn)品的臨界銷售量[1]。

（3）當(dāng)a→0且q→∞時，；

（4）當(dāng)a→∞且q→0時，。

進(jìn)一步作出如下兩個假設(shè)：

（1）彈性因子γ越大，表明零售商地方性廣告對銷售量的激勵越強(qiáng)烈。同樣δ的值越大，制造商全國性廣告對銷售量的激勵越強(qiáng)烈。由于制造商全國性廣告的影響范圍和影響程度，要高于零售商地方性廣告的效果，因此，我們假設(shè)δ＞γ。

（2）影響力系數(shù)β1越大，表明零售商的促銷行為對市場需求的影響力越大。類似地，β2越大，表明制造商的促銷行為對市場需求的影響力越大。由于制造商促銷行為的影響范圍和程度要大于零售商，因此，我們假設(shè)β1＞β2。

定義其他一些變量：制造商銷售每單位產(chǎn)品的邊際利潤為ρm；零售商的邊際利潤為ρr；制造商分擔(dān)一部分零售商的地方性廣告費(fèi)用，設(shè)分擔(dān)率為t，令0〈t〈1。這也可理解為制造商在合作廣告中對零售商的補(bǔ)貼。

基于上述假設(shè)和變量定義，可得制造商、零售商的利潤分別為：

三、合作廣告的Stackelberg博弈模型

在傳統(tǒng)的產(chǎn)品分銷渠道中，由于單個零售商銷售量占某一制造企業(yè)產(chǎn)量的比重不大，制造商依賴自身雄厚的資金實(shí)力和強(qiáng)大的生產(chǎn)能力，在與零售商的對話中往往占據(jù)主導(dǎo)地位，能夠通過控制某種規(guī)格產(chǎn)品的供給對零售商施加影響。為了取得某型號產(chǎn)品的銷售權(quán)，零售商須要與制造商進(jìn)行談判，甚至做出必要的讓步。本文考察這種經(jīng)典的制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者而零售商作為追隨者的序貫非合作博弈情形，也就是Stackelberg主從博弈，這個博弈的最優(yōu)解稱為Stackelberg均衡。

對于所研究的制造商—零售商合作廣告問題，Stackelberg博弈可描述為：合作廣告的動議來自零售商，它為了增加自己的廣告預(yù)算并且在促銷方面少花費(fèi)自身資金從而向制造商尋求幫助。從制造商角度看，零售商通常在地方性廣告上的支出比需要支出的數(shù)量少。制造商通過采用合作廣告補(bǔ)貼策略，誘使零售商增加它的地方性廣告支出到某個水平，從而引起產(chǎn)品銷售額外增加。而零售商地方性廣告支出水平的確定，依賴于制造商愿意支付多少補(bǔ)貼。制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者首先宣布其品牌投資水平、合作廣告策略；零售商作為追隨者，隨后決定從正在考慮地方性廣告支出預(yù)算的制造商處購買產(chǎn)品的數(shù)量。換句話說，零售商把地方性廣告支出的Stackelberg均衡考慮進(jìn)來以決定要訂購的產(chǎn)品數(shù)量。另一方面，制造商考慮零售商的行為，并通過確定品牌效應(yīng)投資水平和合作廣告補(bǔ)償策略來最大化自身的利潤。

制造商—零售商合作廣告問題的Stackelberg博弈模型表達(dá)為

（5）式中，

四、Stackelberg博弈均衡求解

為了確定Stackelberg均衡，需要求出這個博弈第二階段的反應(yīng)函數(shù)?？疾歃衦對a的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)：

在對a的取值范圍不做限定的情況下，無法判斷（8）式小于0，因此不能直接通過駐點(diǎn)條件，即令，求出使零售商利潤最大的地方性廣告水平a*。圖1示出了 隨a的變化趨勢。事實(shí)上，當(dāng)a→-∞時，πr→∞。

圖1 πr隨a的變化（ 圖片）

考察πr對a的駐點(diǎn)。為簡化表達(dá)，令β1e-γa=z，pr=ρrαγ，求解方程 (7)，得到

圖1 顯示，πr有兩個駐點(diǎn)a1和a2，a1＞a2，且a1是極大值點(diǎn)。由于0〈γ〈1，故z為a的減函數(shù)，則a1對應(yīng)的z為：

據(jù)此可求出零售商最優(yōu)的地方性廣告水平：

以下分析零售商最優(yōu)的地方性廣告水平a*的性質(zhì)。

（1）計(jì)算a*對q的一階偏導(dǎo)數(shù)，得到

分析（11）式，不難判斷

和

（2）計(jì)算a*對t的一階偏導(dǎo)數(shù)，得到

顯然，由于t〈1，故。這表明，制造商愿意分擔(dān)地方性廣告費(fèi)用越多，零售商將愿意在地方性廣告上的支出也越多。因此，制造商的合作廣告補(bǔ)貼策略也可作為零售商地方性廣告支出的指示器，制造商能使用這種指示器來誘使零售商增加地方性廣告支出從而達(dá)到制造商期望的水平。

下一步，求解Stackelberg博弈第一階段的優(yōu)化問題（5），確定制造商最優(yōu)的全國性廣告投資水平q*以及對零售商地方性廣告投資的最優(yōu)分擔(dān)率t*。將a*的表達(dá)式（10）代入制造商利潤表達(dá)式（3），并令pm=ρmαδ，從而將制造商的利潤表達(dá)式改寫為

根據(jù)（13）式，可以推導(dǎo)出

理論上，若πm關(guān)于q和t的Hesse矩陣在集合 {(q,t)|q≥0,0＜t＜1 上負(fù)定，即πm是q和t的凹函數(shù)，則通過求解由組成的非線性方程組，得到πm的駐點(diǎn)。進(jìn)一步考察駐點(diǎn)確定q*和t*。對于非線性方程組，駐點(diǎn)一般有多個。比較各駐點(diǎn)對應(yīng)的制造商利潤，最大利潤所對應(yīng)的駐點(diǎn)，就是所要尋求的q*和t*。由于πm是q和t的復(fù)雜非線性函數(shù)，其梯度矩陣及Hesse矩陣的表達(dá)式均十分復(fù)雜，難以得到q*和t*的解析表達(dá)式，只能通過數(shù)值方法求解。一旦q*和t*確定，就可根據(jù)（10）式計(jì)算零售商地方性廣告最優(yōu)投資水平a*。

五、數(shù)值模擬

參數(shù)假設(shè)：飽和銷售量α=100；零售商與制造商促銷行動對市場的影響力系數(shù)分別為β1=1，β2=2；銷售量對地方性廣告和全國性廣告的彈性因子分別為γ=0.2，δ=0.3 。由于制造商占主導(dǎo)地位，它將獲得供應(yīng)鏈大部分收益。設(shè)制造商和零售商的邊際利潤分別為ρm=2和ρr=0.6。

在這組參數(shù)設(shè)置下，根據(jù)（2）式，若制造商和零售商均不做廣告，則銷售量僅為25，此即為該產(chǎn)品的臨界銷售量；若僅有制造商開展全國性廣告促銷，銷售量最多可提升到50；若僅有零售商開展地方性廣告促銷，銷售量最多可提升到33.3。

為開展數(shù)值模擬，首先根據(jù)銷售反應(yīng)函數(shù)，確定全國性廣告投資水平的合理范圍。令a=0，即假設(shè)零售商不開展地方性廣告促銷活動，僅靠制造商全國性廣告刺激銷售。此時，銷售反應(yīng)函數(shù)退化為。圖2給出了銷售量隨q的變化。當(dāng)q＞20，銷售量的增加已非常微弱，因此在數(shù)值模擬中，為簡化分析，將q的上限設(shè)為20。

圖2 銷售量隨q的變化（a=0）

給定制造商全國性廣告投資水平q=12，根據(jù)(10)式可繪制零售商地方性投資水平隨分擔(dān)率的變化曲線，如圖3所示。根據(jù)(4)式可計(jì)算零售商和制造商利潤隨分擔(dān)率的變化，見圖4。

圖3 零售商地方性廣告水平a隨t的變化（q=12）

圖4 零售商與制造商利潤隨t的變化（q=12）

給定分擔(dān)率t=0.3，根據(jù)(11)式可繪制零售商地方性廣告水平a隨q的變化曲線，見圖5。零售商和制造商利潤隨q的變化見圖6。

圖5 零售商地方性廣告水平a隨q的變化（t=0.3）

圖6 零售商與制造商利潤隨q的變化（t=0.3）

圖3和圖5表明，零售商地方性廣告水平a隨制造商的全國性廣告水平q以及制造商對地方性廣告費(fèi)用分擔(dān)率t的提高而提高，這與前面的理論分析一致。比較圖3和圖5，還可以發(fā)現(xiàn)，零售商地方性廣告水平對分擔(dān)率的靈敏度，要高于對制造商全國性廣告水平的靈敏度。例如，固定q=12，t從0.3增加到0.4，增加率為33.3%，相應(yīng)地，a從12.995增加到13.872，增加率為6.75%；固定t=0.3，q從12增加到16，增加率也為33.3%，而a從12.995增加到13.391，增加率為3.05%。這說明，比較而言，為誘導(dǎo)零售商將地方性廣告提升到期望的水平，制造商提高分擔(dān)率比提高全國性廣告水平更有效。另一方便，通過類似的分析，從圖4和圖6可以得出，比較而言，零售商和制造商利潤對全國性廣告水平的靈敏度要高于對分擔(dān)率的靈敏度。這是因?yàn)槔麧櫟闹饕绊懸蛩貫楫a(chǎn)品的銷售量，全國性廣告水平q直接影響銷售量，而分擔(dān)率只能通過作用于地方性廣告水平a間接地影響銷售量。這說明，為提升制造商及零售商的利潤，制造商要更精心地規(guī)劃其在全國性廣告上的投資水平。

下面確定制造商的最優(yōu)決策（q*，t*）。由于沒有解析表達(dá)式，為簡化分析，我們對q和t進(jìn)行離散化，采用數(shù)值方法計(jì)算。q的取值從0開始，按0.1的步長增長到20；t的下限設(shè)定為0.01，按0.01的步長增長到0.99。按（13）式編程計(jì)算在不同（q，t）組合下制造商的利潤，見圖7。得到制造商最大利潤π*m=164.5，對應(yīng)的最優(yōu)決策為q*=15.8，t*=0.42。

圖7 制造商利潤隨q和t的變化

相應(yīng)于制造商的最優(yōu)決策，由（10）式可計(jì)算出零售商的最優(yōu)決策a*=14.4423，零售商利潤π*r=47.5，此時供應(yīng)鏈銷售量達(dá)到S=93.185，接近飽和銷售量。

六、結(jié) 語

本文研究由一個零售商和一個制造商組成的、提供單一產(chǎn)品的二級供應(yīng)鏈縱向合作廣告最優(yōu)策略問題，其中零售商要確定其在地方性廣告上的投資水平，而制造商要確定其在全國性廣告上的投資水平以及對零售商地方性廣告費(fèi)用的分擔(dān)率。產(chǎn)品的銷售量由地方性和全國性廣告的投資水平共同決定。分析了當(dāng)前在合作廣告研究中廣泛采用的銷售反應(yīng)函數(shù)假設(shè)存在的缺陷。針對這些缺陷，對銷售反應(yīng)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種新的銷售反應(yīng)函數(shù)?；诟倪M(jìn)的銷售反應(yīng)函數(shù)，探討合作廣告的最優(yōu)策略問題。對制造商作為領(lǐng)導(dǎo)者而零售商作為追隨者的合作廣告最優(yōu)決策問題，本文將其建模為Stackelberg主從博弈，建立了Stackelberg博弈模型。對模型的求解進(jìn)行了探討，對博弈均衡及相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了理論分析。通過數(shù)值模擬，對理論分析的結(jié)果進(jìn)行了展示和驗(yàn)證。數(shù)值模擬還發(fā)現(xiàn)，對處于領(lǐng)導(dǎo)地位的制造商而言，為誘導(dǎo)零售商將地方性廣告投資提升到期望的水平，制造商提高分擔(dān)率比提高全國性廣告投資水平更有效；為提升制造商及供應(yīng)鏈的整體績效，制造商要更精心地規(guī)劃其在全國性廣告上的投資水平。未來進(jìn)一步的研究，將考慮定價(jià)策略與合作廣告策略的交互作用對銷售量的影響。