基于效用函數(shù)的長(zhǎng)壽債券設(shè)計(jì)與定價(jià)模型研究

鄭海濤 郝軍章

（北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 北京 100191）

一、引言

近年來(lái)，隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)實(shí)力的發(fā)展和人民群眾生活水平的逐步提高，我國(guó)老年人口占全國(guó)總?cè)丝跀?shù)量的比例在逐年提升。根據(jù)我國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2018年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，2018年我國(guó)人口從年齡結(jié)構(gòu)上來(lái)看，60周歲及以上人口為24949萬(wàn)人，占總?cè)丝诘谋戎貫?7.9% 。雖然中國(guó)的經(jīng)濟(jì)一直處于穩(wěn)步增長(zhǎng)的過(guò)程中，但是依然還未步入發(fā)達(dá)國(guó)家的行列，但是過(guò)早的步入老年化社會(huì)將會(huì)給國(guó)家和老百姓帶來(lái)巨大的壓力，形成中國(guó)未富先老、未備先老的人口結(jié)構(gòu)新常態(tài)狀況。因此，國(guó)家政府及老百姓必須依靠商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)來(lái)保障未來(lái)老年人的生活水平，減輕政府的財(cái)政負(fù)擔(dān)，也促進(jìn)了我國(guó)保險(xiǎn)行業(yè)的發(fā)展。而保險(xiǎn)公司在設(shè)計(jì)和發(fā)型各類養(yǎng)老保險(xiǎn)產(chǎn)品的過(guò)程中，也將面臨越來(lái)越巨大的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。因此，在長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)常態(tài)化背景下，保險(xiǎn)公司可以考慮通過(guò)發(fā)行長(zhǎng)壽債券的方式來(lái)利用資本市場(chǎng)進(jìn)行長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移，其設(shè)計(jì)和發(fā)行長(zhǎng)壽債券不僅能夠有效的增加保險(xiǎn)行業(yè)的產(chǎn)品供給能力，同時(shí)長(zhǎng)壽債券還可以成為保險(xiǎn)公司連接資本市場(chǎng)的一個(gè)橋梁，對(duì)促進(jìn)多元化的保險(xiǎn)產(chǎn)品發(fā)展，豐富資本市場(chǎng)的繁榮有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。此外，由于長(zhǎng)壽債券與其他類型的債券及權(quán)益類金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性很低，其有利于長(zhǎng)壽債券投資者分散組合投資風(fēng)險(xiǎn)，保證穩(wěn)健的投資收益。因此，保險(xiǎn)公司設(shè)計(jì)和發(fā)行長(zhǎng)壽債券可以將長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)通過(guò)資本市場(chǎng)有效的進(jìn)行轉(zhuǎn)移，為保險(xiǎn)公司管理和經(jīng)營(yíng)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)提供了更多選擇和商業(yè)機(jī)會(huì)。

長(zhǎng)壽債券與一般的金融衍生品和一般的債券有所不同，其是一種與死亡率掛鉤的死亡衍生債券，其定價(jià)的方法也相對(duì)更為復(fù)雜。針對(duì)長(zhǎng)壽債券的定價(jià)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者也進(jìn)行了多個(gè)方面比較深入的研究，當(dāng)今長(zhǎng)壽債券定價(jià)最主流應(yīng)用是王轉(zhuǎn)換定價(jià)法，該方法是由Wang(2000)[1]首次提出了王轉(zhuǎn)換定價(jià)法，其將金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)考慮到保險(xiǎn)市場(chǎng)中，建立了在不完全市場(chǎng)下的長(zhǎng)壽債券定價(jià)方法。Blake和 Burrows(2001)[2]設(shè)計(jì)了一種票息的給付依賴于死亡率指數(shù)的長(zhǎng)壽債券基本結(jié)構(gòu)，而通過(guò)購(gòu)買市場(chǎng)上的長(zhǎng)壽債券保險(xiǎn)公司就可以對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行套期保值。Wang (2001)[3]進(jìn)一步的將扭曲概率分布引入了長(zhǎng)壽債券定價(jià)中，通過(guò)王轉(zhuǎn)換定價(jià)法設(shè)計(jì)了不完全市場(chǎng)中的長(zhǎng)壽債券定價(jià)框架。Samuel Wills 和 Michael Sherris（2010）[4]設(shè)計(jì)出一種分層長(zhǎng)壽債券，并將其運(yùn)用到發(fā)達(dá)金融市場(chǎng)中來(lái)對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行證券化以有效轉(zhuǎn)移長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，最后設(shè)計(jì)了長(zhǎng)壽債券的結(jié)構(gòu)和定價(jià)模型。Chen和Cummins（2010）[5]考慮將用于巨災(zāi)債券定價(jià)方法中的極值理論應(yīng)用到長(zhǎng)壽事件建模中，通過(guò)巨災(zāi)債券定價(jià)中使用風(fēng)險(xiǎn)立方方法對(duì)長(zhǎng)壽債券進(jìn)行定價(jià)，設(shè)計(jì)了一種長(zhǎng)壽債券定價(jià)模型，計(jì)算了長(zhǎng)壽債券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。Yang等人(2011)[6]分析了運(yùn)用連續(xù)Lee-Carter死亡率模型對(duì)多個(gè)國(guó)家的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行證券化。余偉強(qiáng)（2006）[7]首先通過(guò)考慮死亡率期權(quán)設(shè)計(jì)了一種生存?zhèn)岢隽送ㄟ^(guò)發(fā)行長(zhǎng)壽債券等證券化方法管理長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，并提議加快建立相應(yīng)的二級(jí)交易市場(chǎng)以促進(jìn)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)證券化的發(fā)展。尚勤、秦學(xué)志等（2008）[8]針對(duì)中國(guó)現(xiàn)有的生命表中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，運(yùn)用常用的王轉(zhuǎn)換方法設(shè)計(jì)了一種長(zhǎng)壽債券定價(jià)模型，并進(jìn)行了仿真模擬。崔佳佳（2008）[9]通過(guò)使用等價(jià)效用準(zhǔn)則方法對(duì)長(zhǎng)壽債券進(jìn)行定價(jià)研究，其認(rèn)為長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的證券化設(shè)計(jì)可以有效的對(duì)沖掉長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，是一種管理長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的有效手段。陳秉正和祝偉（2008）[10]設(shè)計(jì)了一些死亡率債券、死亡率期權(quán)及死亡率互換等與死亡率指數(shù)掛鉤的衍生產(chǎn)品，并系統(tǒng)梳理了長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)管理方面的研究，在此基礎(chǔ)上探討了我國(guó)如何對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行管理，及對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理金融工具的設(shè)計(jì)和定價(jià)提供一些策略。艾蔚（2010）[11]研究了國(guó)外的長(zhǎng)壽債券的設(shè)計(jì)和死亡率證券的設(shè)計(jì)模式，探索了如何通過(guò)資本市場(chǎng)有效的對(duì)沖和轉(zhuǎn)移長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。謝世清（2011）[12]借鑒了國(guó)外長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的管理模式，設(shè)計(jì)了四種長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)管理產(chǎn)品，包括長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)債券化產(chǎn)品、反向抵押貸款、附保證變額年金和長(zhǎng)期護(hù)理保險(xiǎn)，比較分析了這四種產(chǎn)品的特點(diǎn)和適用性，并為中國(guó)市場(chǎng)未來(lái)開(kāi)發(fā)相關(guān)的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品提供了一定的指導(dǎo)意義。艾蔚（2011）[13]分析了死亡率期貨、長(zhǎng)壽債券、死亡率互換等多種與死亡率掛鉤的金融衍生產(chǎn)品的特點(diǎn)及適用范圍，通過(guò)在資本市場(chǎng)上交易這些金融衍生產(chǎn)品可以有效的對(duì)沖長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，靈活地調(diào)整保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)和收益。侯立平（2011）[14]研究了在長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)加劇的影響下如何積極的管理長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，并建議政府推動(dòng)死亡率指標(biāo)的構(gòu)建來(lái)幫助長(zhǎng)壽債券的設(shè)計(jì)和發(fā)行，以通過(guò)資本市場(chǎng)有效轉(zhuǎn)移長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。謝世清（2014）[15]對(duì)國(guó)內(nèi)外長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的管理方法及衍生產(chǎn)品的研究進(jìn)行了總結(jié)，并對(duì)比了長(zhǎng)壽期權(quán)、債券與互換這類長(zhǎng)壽衍生產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)及定價(jià)模型，為未來(lái)中國(guó)保險(xiǎn)公司管理長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)提供了幫助。李梧銘，陳婉茜和尚勤（2015）[16]從國(guó)家、資本市場(chǎng)、人才和產(chǎn)品設(shè)計(jì)四個(gè)角度分析了中國(guó)建設(shè)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)的必要性，表明中國(guó)實(shí)施長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)證券化是符合中國(guó)目前的國(guó)情，也是未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)。

在長(zhǎng)壽債券設(shè)計(jì)方面，國(guó)內(nèi)外大多數(shù)的研究基本上都集中在通過(guò)Lee-Carter動(dòng)態(tài)死亡率模型及王轉(zhuǎn)換模型等方法進(jìn)行理論上的定價(jià)，且未有文獻(xiàn)從微觀角度來(lái)分析發(fā)行長(zhǎng)壽債券的保險(xiǎn)公司和購(gòu)買長(zhǎng)壽債券的對(duì)沖基金之間的效用水平。而通過(guò)期望效用理論中的效用無(wú)差別定價(jià)方法可以從微觀角度分析長(zhǎng)壽債券的購(gòu)買方和發(fā)行方的期望效用，從而提供了另外一種長(zhǎng)壽債券的定價(jià)思路，可以對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步深入的研究。因此，本文提出采用發(fā)行長(zhǎng)壽債券的方法來(lái)化解養(yǎng)老保險(xiǎn)行業(yè)面臨的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，并運(yùn)用期望效用理論中的效用無(wú)差別定價(jià)方法，在綜合比較壽險(xiǎn)公司發(fā)行長(zhǎng)壽債券與不發(fā)行長(zhǎng)壽債券的期望效用結(jié)果，來(lái)確定長(zhǎng)壽債券的合理均衡價(jià)格，作為長(zhǎng)壽債券的定價(jià)依據(jù)。

二、長(zhǎng)壽債券的模型設(shè)計(jì)

這一節(jié)，我們將討論長(zhǎng)壽債券模型設(shè)計(jì)的問(wèn)題。首先，我們?cè)谝粋€(gè)離散時(shí)間的概率框架下討論，模型包含兩個(gè)重要的時(shí)間點(diǎn)0和T，即保險(xiǎn)合同的開(kāi)始期與保險(xiǎn)合同的結(jié)束期。Ω = {ω1，…，ωx} 代表不同年齡段的人群購(gòu)買一份保單可能發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)事件的集合，這里的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)時(shí)間定義為被保險(xiǎn)人在保單結(jié)束后存活了下來(lái)，即認(rèn)為發(fā)生了長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)事件。長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生的概率為Tpx，這里的發(fā)生概率即為x歲人口存活到保單結(jié)束期的生存概率。E(·) 代表期望價(jià)值。S代表一旦長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生，即長(zhǎng)壽債券發(fā)生違約后，對(duì)沖基金可以收回的一個(gè)本金回收比率。為了方便描述模型，首先介紹模型相關(guān)變量，詳見(jiàn)表1。

表1 模型變量含義描述

（一）保險(xiǎn)公司不發(fā)行長(zhǎng)壽債券時(shí)的效用

保險(xiǎn)公司是否發(fā)行長(zhǎng)壽債券其取決于保險(xiǎn)公司合同期結(jié)束后的最終期望收益。設(shè)0時(shí)刻為交易開(kāi)始時(shí)刻，T時(shí)刻為交易結(jié)束時(shí)刻。在0時(shí)刻，π(X) 是x歲的人購(gòu)買保險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)用于承擔(dān)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)而支付的保單價(jià)值，此時(shí)保險(xiǎn)公司將收取的保費(fèi)連同保險(xiǎn)公司的初始財(cái)富用于債券市場(chǎng)債券，即使用總財(cái)富W=π(X)+w去購(gòu)買價(jià)值為W的零息債券，債券期為T，零息債券的年化收益率為r。在時(shí)期T時(shí)，保險(xiǎn)公司將會(huì)受到面值為W(1+r)T的債券收益，并用于賠償被保險(xiǎn)人的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)損失L。此時(shí)，保險(xiǎn)公司在T時(shí)刻的最終財(cái)富為WT=W(1+r)T-L，對(duì)應(yīng)的保險(xiǎn)公司在此時(shí)獲得的效用為：

（二）保險(xiǎn)公司發(fā)行長(zhǎng)壽債券時(shí)的效用

在這個(gè)部分，我們考慮保險(xiǎn)公司在發(fā)行長(zhǎng)壽債券情況下如何達(dá)到最終財(cái)富的期望效用最大化。這一部分與上一部分主要的不同在于此時(shí)保險(xiǎn)公司可以通過(guò)發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)壽債券將一部分長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移到對(duì)沖基金公司那里，類似于之前的分析，在0時(shí)刻，保險(xiǎn)公司從被保險(xiǎn)人那里收到保費(fèi)π(X)，然后保險(xiǎn)公司通過(guò)將不同年齡組的長(zhǎng)壽債券打包銷售給對(duì)沖基金公司，獲得補(bǔ)充的收入C。然后保險(xiǎn)公司將保費(fèi)收入與銷售長(zhǎng)壽債券獲得的補(bǔ)充收入加總起來(lái)的總財(cái)富去債券市場(chǎng)購(gòu)買總金額為B的零息債券，債券期為T，零息債券的年化收益率為r。在T時(shí)刻，保險(xiǎn)公司將從債券市場(chǎng)收獲金額為B(1+r)T的總財(cái)富，其中的一部分用于賠償被保險(xiǎn)人的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)損失L。此外，保險(xiǎn)公司還需要支付對(duì)沖基金長(zhǎng)壽債券到期時(shí)候的本息和Y，長(zhǎng)壽債券的面值為C，票面利息為r'=SHIBOR+E，E為超額收益率。若一旦發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)事件，即長(zhǎng)壽債券發(fā)生違約后，對(duì)沖基金只可以按照一個(gè)總收益回收比率S收回本息SC(1+r')T。此時(shí)，保險(xiǎn)公司在T時(shí)刻的期末最終財(cái)富其滿足以下的概率分布函數(shù)：

對(duì)應(yīng)的保險(xiǎn)公司在此時(shí)獲得的效用為：

此時(shí)，保險(xiǎn)公司可以通過(guò)最大化期望效用函數(shù)來(lái)確定最優(yōu)的長(zhǎng)壽債券價(jià)格C，即

通過(guò)求解上述方程即可得到長(zhǎng)壽債券的最優(yōu)定價(jià)結(jié)果C。此時(shí)，對(duì)沖基金獲得的總的期望效用為：

三、均衡價(jià)基格于效用函數(shù)的長(zhǎng)壽債券

在這一章，我們將引入具體的效用函數(shù)，分析在效用函數(shù)確定的情況下保險(xiǎn)公司是如何通過(guò)效用方程來(lái)確定最優(yōu)的長(zhǎng)壽債券均衡價(jià)格。

一般情況下，我們假設(shè)認(rèn)為保險(xiǎn)公司是風(fēng)險(xiǎn)厭惡，本文采用Gerber和Pafum(1998)[17]、Pantelous和Passalldou (2017)[18]在論文中所使用的模型假設(shè)，選擇最為簡(jiǎn)單的二次效用函數(shù)作為保險(xiǎn)公司進(jìn)行決策的效用函數(shù)，而且二次效用函數(shù)通常被用來(lái)逼近更為復(fù)雜的效用函數(shù)。在一般的均值方差分析框架下，二次效用函數(shù)也具有一定的優(yōu)越性，但是在社會(huì)實(shí)踐中，由于二次效用函數(shù)是絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡增加的，二次效用函數(shù)的運(yùn)用并不是那么廣泛。在本文下面的例子中，在不失一般性的情況下，我們假設(shè)二次效用方程為如下表達(dá)形式：

保險(xiǎn)公司在T時(shí)刻的期末最終財(cái)富的概率分布可以變形為：

對(duì)上述期望效用函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，以得到長(zhǎng)壽債券的最優(yōu)定價(jià)結(jié)果C，即：

因此，在無(wú)套利的市場(chǎng)假設(shè)前提下，當(dāng)保險(xiǎn)公司使用二次效用函數(shù)作為決策方程時(shí)，可以通過(guò)計(jì)算發(fā)行長(zhǎng)壽債券時(shí)，當(dāng)期望效用函數(shù)達(dá)到最大化時(shí)的長(zhǎng)壽債券價(jià)格C作為保險(xiǎn)公司對(duì)長(zhǎng)壽債券的最后定價(jià)。

四、長(zhǎng)壽債券定價(jià)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在這一節(jié)中，我們將運(yùn)用中國(guó)人身保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（2010-2013）死亡率數(shù)據(jù)對(duì)上述所設(shè)計(jì)的長(zhǎng)壽債券期望效用無(wú)差異定價(jià)方法進(jìn)行一個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，分析和評(píng)價(jià)該方法對(duì)長(zhǎng)壽債券定價(jià)結(jié)果的合理性和可行性。

首先，本文先對(duì)保險(xiǎn)公司銷售的壽險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行設(shè)計(jì)。基于簡(jiǎn)化分析的角度考慮，本文選擇最為普通和常見(jiàn)的期末付定期生命年金作為保險(xiǎn)公司為養(yǎng)老者對(duì)抗長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)而銷售的保險(xiǎn)產(chǎn)品。保險(xiǎn)合同為一期期限為10年，保險(xiǎn)人購(gòu)買保險(xiǎn)合同的購(gòu)買年齡范圍為36歲至80歲，這里設(shè)此年金保險(xiǎn)產(chǎn)品每期期末給付金額為1，則n期期末付定期生命年金的精算現(xiàn)值隨機(jī)變量為X，而凈躉繳保費(fèi)π(X)是精算現(xiàn)值在死亡分布上的期望。假設(shè)保險(xiǎn)合同的開(kāi)始期為2022年年初，則一期合同的結(jié)束時(shí)間為2031年年末。此外，在此考慮保險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)產(chǎn)品價(jià)格為公平定價(jià)定出的凈保費(fèi)，因此保費(fèi)定價(jià)過(guò)程中的折現(xiàn)率等于保險(xiǎn)公司在債券市場(chǎng)購(gòu)買十年期的零息債券所獲得的預(yù)期收益率r。這里假設(shè)十年期的零息債券的年化收益率為8%，即保險(xiǎn)公司在債券市場(chǎng)的保費(fèi)投資預(yù)期收益率r=8%。而保險(xiǎn)公司發(fā)行長(zhǎng)壽債券時(shí)，假設(shè)承諾給對(duì)沖基金的長(zhǎng)壽債券利息率r’=SHIBOR+E=10%。當(dāng)長(zhǎng)壽債券發(fā)生違約風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，假設(shè)對(duì)沖基金可以獲得總收益的回收比率S=80%，二次效用函數(shù)的參數(shù)設(shè)為a=0.5。

此時(shí)，可以求出不同年齡結(jié)構(gòu)下保險(xiǎn)公司發(fā)售的期末付定期生命年金的凈躉繳保費(fèi)價(jià)格π(X)、保險(xiǎn)公司在不發(fā)行長(zhǎng)壽債券且未發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)賠付時(shí)和發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)賠付時(shí)在債券市場(chǎng)投資零息債券一期后的總投資財(cái)富（含本金）分別為W(1+r)和WT=W(1+r)-L、保險(xiǎn)公司在不發(fā)行長(zhǎng)壽債券時(shí)且未發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)賠付時(shí)和發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)賠付時(shí)得到的最終收益效用分別為u[W(1+r)]和u(WT)、保險(xiǎn)公司在不發(fā)行長(zhǎng)壽債券時(shí)和發(fā)行長(zhǎng)壽債券時(shí)一期后投資收益的總期望效用分別為、保險(xiǎn)公司在發(fā)行長(zhǎng)壽債券且發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)賠付時(shí)和未發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)賠付時(shí)在投資一期后給付完對(duì)沖基金收益后的最終財(cái)富分別為、保險(xiǎn)公司在發(fā)行長(zhǎng)壽債券時(shí)且發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)賠付時(shí)和未發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)賠付時(shí)得到的最終收益效用分別為、二次效用函數(shù)下令保險(xiǎn)公司期望效用最大化的長(zhǎng)壽債券價(jià)格為C。具體結(jié)果見(jiàn)圖1～3：

圖1給出了保險(xiǎn)公司根據(jù)精算定價(jià)公式計(jì)算出了36～80歲1期期末付定期生命年金的凈躉繳保費(fèi)價(jià)格。從圖中可以看出，隨著年齡的增大，定期生命年金的躉繳保費(fèi)價(jià)格在下降，這是因?yàn)殡S著被保險(xiǎn)人年齡的增大，其死亡的概率在不斷增加，生存的概率不斷下降，則保險(xiǎn)公司面臨的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)在不斷降低，即保險(xiǎn)公司賠付長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的概率也隨之降低，因此應(yīng)當(dāng)給予年齡越大的被保險(xiǎn)人提高越低的保費(fèi)價(jià)格，即保證了精算定價(jià)的公平與合理性。

圖2給出了保險(xiǎn)公司根據(jù)期望效用最大化理論確定出的36～80歲年齡段不同的長(zhǎng)壽債券價(jià)格。從圖2的趨勢(shì)可以看出，隨著被保險(xiǎn)人年齡的增長(zhǎng)，其對(duì)應(yīng)發(fā)行的長(zhǎng)壽債券的價(jià)格是在下跌的。這是因?yàn)楫?dāng)被保險(xiǎn)人年齡很低時(shí)，其死亡概率很低，存活概率就越高，此時(shí)發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的概率越高，即債券違約的概率很高，進(jìn)而其收益率就很低，因此長(zhǎng)壽債券的價(jià)格會(huì)很高。隨著被保險(xiǎn)人年齡的增大，其死亡概率也會(huì)越來(lái)越高，存活概率變低，即發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的可能性變小，此時(shí)長(zhǎng)壽債券違約的風(fēng)險(xiǎn)也就變小，對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)壽債券的收益率就很高，因此長(zhǎng)壽債券的價(jià)格相應(yīng)越便宜。通過(guò)效用最大化條件下確定出來(lái)的長(zhǎng)壽債券價(jià)格是合理的。

圖1 保險(xiǎn)公司期末付定期生命年金凈躉繳保費(fèi)定價(jià)

圖2 效用最大化條件下的長(zhǎng)壽債券的定價(jià)結(jié)果

通過(guò)圖3的結(jié)果可以看出，不發(fā)行長(zhǎng)壽債券條件下保險(xiǎn)公司1期后的投資收益及效用要明顯小于保險(xiǎn)公司發(fā)行長(zhǎng)壽債券時(shí)獲得的收益與效用。這是因?yàn)楸ｋU(xiǎn)公司通過(guò)發(fā)行長(zhǎng)壽債券從資本市場(chǎng)獲得更多的資金并在債券市場(chǎng)進(jìn)行投資而獲得超額收益，從而獲得更高的效用。通過(guò)二次效用函數(shù)計(jì)算出來(lái)的保險(xiǎn)公司發(fā)行長(zhǎng)壽債券與不發(fā)行長(zhǎng)壽債券的總效用結(jié)果可以看出，隨著被保險(xiǎn)人年齡越大，保險(xiǎn)公司的總的期望效用呈現(xiàn)一個(gè)上升的趨勢(shì)，這是因?yàn)楸槐ｋU(xiǎn)人年齡越小，其死亡概率越小，存活概率越大，即長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)越大，此時(shí)保險(xiǎn)公司可以獲得的期望效用就越小，反之，當(dāng)被保險(xiǎn)人年齡越大，死亡率就越大，其發(fā)生長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的概率就越低，對(duì)于支付的定期生命年金的金額就會(huì)降低，相應(yīng)的獲得的期望效用會(huì)增加。而在發(fā)行長(zhǎng)壽債券時(shí)，在36～40歲年齡段出現(xiàn)保險(xiǎn)公司的總期望效用下降的情況，這可能是由于此時(shí)這個(gè)年齡段人口死亡率出現(xiàn)了一個(gè)改善情況，導(dǎo)致了中年人的死亡概率出現(xiàn)了下降，進(jìn)而導(dǎo)致了長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)出現(xiàn)了一個(gè)局部年齡段的增加，從而降低了保險(xiǎn)公司在這個(gè)年齡段人群中獲得的期望效用。而且相比較不發(fā)行長(zhǎng)壽債券的情況下，保險(xiǎn)公司發(fā)行了長(zhǎng)壽債券，獲得了更多的資金杠桿去進(jìn)行債券投資，也就更加劇了這種局部長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)帶來(lái)的效用損失，其36～40歲之間的效用跌幅更為明顯。在此長(zhǎng)壽債券發(fā)行價(jià)格的情況下，保險(xiǎn)公司發(fā)行長(zhǎng)壽債券得到的總的期望效用始終大于保險(xiǎn)公司不發(fā)行長(zhǎng)壽債券得到的總的期望效用。因此，從期望效用最大化理論分析出發(fā)，在不同年齡段下保險(xiǎn)公司應(yīng)當(dāng)按照期望效用最大化的定價(jià)結(jié)果為長(zhǎng)壽債券進(jìn)行定價(jià)，在此定價(jià)結(jié)果下，保險(xiǎn)公司發(fā)行長(zhǎng)壽債券可以獲得更高的期望效用，是合理的。

圖3 保險(xiǎn)公司是否發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)壽債券的總期望效用圖

五、結(jié) 論

長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)是人壽保險(xiǎn)和養(yǎng)老金產(chǎn)品中的關(guān)鍵風(fēng)險(xiǎn)因素，尤其是對(duì)于存續(xù)期較長(zhǎng)的保險(xiǎn)年金產(chǎn)品，比如養(yǎng)老金產(chǎn)品發(fā)行人面臨的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)暴露，具體表現(xiàn)為養(yǎng)老金領(lǐng)取人群的死亡率改善比發(fā)行人進(jìn)行養(yǎng)老金定價(jià)時(shí)預(yù)期的速度更快，進(jìn)而造成更多的風(fēng)險(xiǎn)賠付。應(yīng)對(duì)不能通過(guò)增加規(guī)模對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分散的問(wèn)題，考慮引入其他外部工具來(lái)解決，如將長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移到保險(xiǎn)以外的金融市場(chǎng)。

本文提出采用發(fā)行長(zhǎng)壽債券的方法來(lái)化解保險(xiǎn)養(yǎng)老行業(yè)面臨的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，研究了保險(xiǎn)公司與對(duì)沖基金交易長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的期望效用問(wèn)題，并從保險(xiǎn)公司發(fā)行長(zhǎng)壽債券的角度出發(fā)，基于傳統(tǒng)的無(wú)差異效用定價(jià)方法對(duì)保險(xiǎn)公司發(fā)行的長(zhǎng)壽債券進(jìn)行定價(jià)。在模型中，我們假設(shè)不設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)交易與預(yù)算約束，保險(xiǎn)公司的效用函數(shù)選擇二次效用函數(shù)，最終通過(guò)求解保險(xiǎn)公司的效用最大化條件得出保險(xiǎn)公司發(fā)行長(zhǎng)壽債券的最優(yōu)價(jià)格。最后，利用數(shù)值實(shí)驗(yàn)闡明了模型和結(jié)果的有效性。研究結(jié)果表明，保險(xiǎn)公司發(fā)行長(zhǎng)壽債券，不僅可以有效的讓保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)得到轉(zhuǎn)移釋放，還可以提高保險(xiǎn)公司在資本市場(chǎng)的收益和期望效用。對(duì)于對(duì)沖基金公司而言，長(zhǎng)壽債券可以作為他們多資產(chǎn)投資組合中的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中的重要組成部分，當(dāng)長(zhǎng)壽債券價(jià)格處于一個(gè)合理水平時(shí)，購(gòu)買長(zhǎng)壽債券可以為對(duì)沖基金公司帶來(lái)更高的投資收益與更好的期望效用。