基于信用違約互換和Copula函數(shù)的中小企業(yè)貸款保證保險定價研究

劉娜 張林波

（1.北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 北京100191；2.國家互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)急中心 北京 100191）

一、引言

信用保證保險是一種擔(dān)保性質(zhì)的保險，按照投保人的不同分成信用保險和保證保險，通常前者是指權(quán)利人投保義務(wù)人信用的保險業(yè)務(wù)，后者是指義務(wù)人投保自己信用的保險業(yè)務(wù)。中小企業(yè)融資難是一世界性難題。信貸融資是我國中小企業(yè)外源融資的主要籌資方式[1]。目前，我國中小企業(yè)融資主要借助于抵押和擔(dān)保兩種方式申請貸款。抵押貸款要求企業(yè)要擁有足量的抵押資產(chǎn)，而大部分中小企業(yè)資產(chǎn)規(guī)模有限，抵押貸款較難。擔(dān)保貸款需要承擔(dān)高額的擔(dān)保費用，中小企業(yè)的貸款成本大大增加。因此，有23.8%的中小企業(yè)由于擔(dān)保不足、有32.3%的中小企業(yè)由于貸款抵押物的缺失，而無法成功申請銀行貸款[2]。這為保險公司參與中小企業(yè)貸款增信業(yè)務(wù)留下了一定的發(fā)展空間，貸款保證保險成為中小企業(yè)融資增信的選擇之一。2019年9月29日，中國銀行保險監(jiān)督管理委員會、中國人民銀行聯(lián)合發(fā)布了《2019年中國普惠金融發(fā)展報告》，要求保險公司進(jìn)一步發(fā)揮在普惠金融中的保障作用，推動小微企業(yè)信用保證保險發(fā)展，撬動銀行貸款服務(wù)小微企業(yè)[3]。因此，中小企業(yè)貸款保證保險定價的研究具有重要意義。

二、文獻(xiàn)綜述

Samuelson和Merton（1969）[4]提出了認(rèn)股權(quán)證定價模型，為信用擔(dān)保定價奠定基礎(chǔ)。Akerlof（1970）[5]著名的“舊車市場模型”，提出了解決不對稱信息中的信用擔(dān)保問題。Graham（2004）[6]通過研究英國中小企業(yè)貸款擔(dān)保計劃，分析了英國擔(dān)保計劃存在的弊端，提出了改進(jìn)意見并指出2%的擔(dān)保費用是比較符合英國的實際情況。Camino（1999）[7]的研究表明中小企業(yè)對于貸款擔(dān)保需求高，通過研究擔(dān)保成本和貸款擔(dān)保隱形收益之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)歐盟中小企業(yè)擔(dān)保機(jī)構(gòu)根據(jù)企業(yè)的規(guī)模和利潤確定相關(guān)的擔(dān)保費用。Beck，Klapper和Mendoza（2008）[8]通過對46個發(fā)達(dá)國家和發(fā)展中國家所提供的貸款保險計劃進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)政府在中小企業(yè)貸款保險中具有非常重要的地位。Kuo，Chen和Sung（ 2011）[9]從精算的角度出發(fā)，利用保險保費收取應(yīng)和其在未來支出折現(xiàn)相等的思想，對中小企業(yè)貸款保險費進(jìn)行了厘定。Yoshino和Taghizadeh-Hesary（2019）[10]提供出了一個理論模型對決定最佳信用擔(dān)保比率的因素進(jìn)行了實證分析，發(fā)現(xiàn)這一比率不僅應(yīng)達(dá)到政府降低銀行對中小企業(yè)不良貸款的目標(biāo)，同時通過減少信息不對稱實現(xiàn)政府扶持中小企業(yè)的政策目標(biāo)，此外，為了避免道德風(fēng)險，保證中小企業(yè)貸款的穩(wěn)定性，政府必須根據(jù)宏觀經(jīng)濟(jì)條件確定最優(yōu)的信貸擔(dān)保率，并根據(jù)銀行的穩(wěn)健程度對其進(jìn)行調(diào)整。

汪宗?。?998）[11]在貸款信用保險機(jī)構(gòu)的設(shè)置、對象的確定、保費的厘定、保險基金的籌集及運營等方面進(jìn)行了分析。尉玉芬（2012）[12]在《中小企業(yè)信用擔(dān)保定價理論研究述評》中指出必須考慮對未來不確定性的估算，即對違約率的估算。

由于中小企業(yè)信用數(shù)據(jù)不易獲取，本文更關(guān)注于已發(fā)行債券的中小企業(yè)的貸款保證保險定價的科學(xué)性問題，借鑒已有文獻(xiàn)的研究思路，可以先計算出一項貸款財產(chǎn)在未來某段時期的損失額（可利用信用風(fēng)險模型來計算），再運用一定的補償機(jī)制對貸款進(jìn)行相應(yīng)的定價。

三、基于信用違約互換的貸款保證保險定價模型構(gòu)建

在中小企業(yè)貸款保證保險定價方面，有以下四種常見模型（：1）期權(quán)定價模型，如Merton（1977）[13]，Gorton 和 Santomero（1990）[14]，F(xiàn)lannery 和 Sorescu（1996）[15]；（2）信用度量術(shù)，如Gupten，F(xiàn)inger和bhatia（1997）[16]，唐吉平和陳浩（2004）[17]，胡斌和史本山（2015）[18]（；3）VaR定價模型，如陳曉紅，韓文強和佘堅（2005）[19]；（4）信用違約互換定價模型，如詹原睿（2008）[20]。本文結(jié)合中國中小企業(yè)信用風(fēng)險因素，以及銀行保險業(yè)的運營特點，擬采用信用違約互換，選取結(jié)構(gòu)化的Creditgrades模型和簡約化的Bloomberg模型進(jìn)行模型構(gòu)建。

第一，變量選擇：

n：發(fā)放貸款的次數(shù)；

Ai：發(fā)放貸款的數(shù)額；

Δ：每一期保費支付之間的時間差；

τk：保費支付到第K次違約時間；

Sk：保費支付比例；

B(0,t)：無風(fēng)險利率折現(xiàn)因子；

Ri：貸款發(fā)生違約時的回收率，補償比例即為1-Ri；

第二：CDS模型的建立：

在風(fēng)險中性測度下，計算所有支付保費現(xiàn)值之和PL為：

根據(jù)無套利原理即可得到貸款保證保險定價公式：

根據(jù)公式(1～3)可以得到所要求的Sk,即K次違約互換的公平定價：

根據(jù)上式，確定所有貸款違約時間的聯(lián)合分布以及貸款 的違約分布函數(shù)后即可求解。

四、信用違約互換模型中相關(guān)參數(shù)的確定

中小企業(yè)貸款保證保險的實證研究主要分為以下幾個步驟完成：第一步，選取樣本公司債券的到期收益率作為衡量中小企業(yè)還款能力的指標(biāo)，確定合適的函數(shù)描述企業(yè)的收益率；第二步，利用公司債券集合的歷史數(shù)據(jù)得到收益率之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)；第三步，利用債券市場的數(shù)據(jù)得到企業(yè)違約概率的邊緣分布，由此得到不同貸款的獨立違約概率，進(jìn)一步得到全部貸款的違約概率分布情況；最后，計算得到在此條件下的保費收取比例。通常情況下是由隨機(jī)變量的聯(lián)合分布確定不同變量的邊緣分布，然而由邊緣分布卻很難確定聯(lián)合分布的情況。因此，本文引入Copula函數(shù)作為連接函數(shù)，由每個變量的邊緣分布確定中小企業(yè)貸款違約的聯(lián)合分布。

（一）中小企業(yè)邊際違約分布函數(shù)

本文將企業(yè)違約強度模型定義為一個首次到達(dá)時間為τ的泊松過程，在泊松過程中強度不變，通常用λ表示。在這一定義下，可以得到違約強度的性質(zhì)：

1、企業(yè)生存t年的概率為：

表示違約時間按照指數(shù)分布形式分布；

2、企業(yè)違約的均值函數(shù)E[N(t)]=λt,方差函數(shù)V[N(t)]=λt，違約時間的期望為 1/λ；

3、在時間距離為Δ的違約概率為Δt；

對于違約強度隨時間變化的泊松過程，其函數(shù)表達(dá)式如下：

在實際操作中，違約強度可以通過公開市場數(shù)據(jù)得到，由于國際信用互換市場交易頻繁，發(fā)展較為健全，因此，國外市場企業(yè)違約強度較易獲得。我國信用違約互換市場剛剛成立，數(shù)據(jù)較為缺乏，因此本文采用Hull（2004）[21]利用公司債券價格推導(dǎo)違約強度的方法：

其中ri表示公司債券的收益率，rf表示無風(fēng)險利率，在此以5年期國債的到期收益率的均值表示，Ri表示違約回收率。

（二）違約時間的邊緣分布函數(shù)

由上式可以得到對于t時間的資產(chǎn)違約概率分布函數(shù)F(t)：

對于貸款組合中某一項貸款i而言，其在t時刻的邊緣分布函數(shù)表示如表1：

表1 資產(chǎn)樣本數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計量

為方便研究，假設(shè)違約強度呈現(xiàn)水平結(jié)構(gòu)，即違約強度不隨時間變化而改變，因此，得到的分布函數(shù)如下：

在已知無風(fēng)險利率、違約回收率以及公司債券的收益率后就可以得到每個企業(yè)的違約強度 ，將其帶入到公式，就可以得到資產(chǎn)在t時刻的違約概率分布函數(shù)F(t)。

（三）樣本數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計分析

為構(gòu)建資產(chǎn)之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，針對有債券發(fā)行記錄的中小企業(yè)貸款保證保險定價的研究目標(biāo)，本文隨機(jī)選取10家公司發(fā)行的債券作為研究對象，債券簡稱分別為12粵電債、12久聯(lián)債、13南洋債、14福星01、14萬里債、14興蓉01、14科陸01、14怡亞債、14司爾01、14金貴債，并將這些債券假定為一項集合債券。為研究方便，本文將這些債券簡記 為 SZ112162、SZ112171、SZ112179、SZ112220、SZ112221、SZ112224、SZ112226、SZ112228、SZ112230、SZ112231。本文選取各項債券的到期收益率作為衡量資產(chǎn)收益率的指標(biāo)。為詳細(xì)刻畫相關(guān)數(shù)據(jù)，樣本選取的時間段為2012年12月12日至2019年5月24日。為減少短期因素對收益的波動性影響，本文選擇周數(shù)據(jù)作為觀測數(shù)據(jù)，得到有效數(shù)據(jù)共589個，數(shù)據(jù)來源于Wind金融終端數(shù)據(jù)庫。

1、樣本數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計量

對以上數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，本文選取具有代表性的統(tǒng)計量均值、中位數(shù)、最小值、最大值、峰度、偏度和標(biāo)準(zhǔn)差作為刻畫公司債券到期收益率的基本統(tǒng)計量，調(diào)用MATLAB 2016a相關(guān)函數(shù)計算得到結(jié)果如表1：

樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果如上，通過對上表分析可以看出，所有公司債券的平均收益率大于零，表明樣本企業(yè)具有一定的盈利，可以列為貸款保證保險的研究對象。同時，10個企業(yè)偏度都不為零，僅SZ112224基本為對稱分布。從峰度上看，沒有一家公司債券到期收益率峰度接近于正態(tài)分布峰值3。

2、收益率趨勢圖、頻率直方圖

為檢驗各收益率密度函數(shù)是否符合正態(tài)分布，本文調(diào)用MATLAB 2016a軟件對這10項公司債的日到期收益率進(jìn)行Jarque-Bera檢驗和Kolmogorov-Smirnov（正態(tài)分布）檢驗，在置信水平位0.05時其檢驗結(jié)果如表2：

由表2看出：10項公司債的日到期收益率通過JB的概率、K-S檢驗均小于1%，表明在顯著性0.05的情況下拒絕原假設(shè)（原假設(shè)為日到期收益率服從正態(tài)分布），因此認(rèn)為10個公司債券的日收益均不服從正態(tài)分布。

表2 收益率JB檢驗和K-S檢驗結(jié)果

為更直觀的觀察樣本數(shù)據(jù)的總體分布情況，本文利用MATLAB 2016a軟件做出上述10個公司債券到期收益率的分布直方圖和正態(tài)分布示意圖，得到結(jié)果如圖1：

圖1 收益率分布頻率直方圖

圖2 核密度估計樣本數(shù)據(jù)

通過對10個公司債券收益率分布直方圖和相關(guān)正態(tài)分布的比較發(fā)現(xiàn)，這10項公司債券到期收益率分布直方圖與相關(guān)正態(tài)分布均不能很好地擬合。

3、對收益率的核密度估計

通過上文對10個公司收益率的分布估計發(fā)現(xiàn)，收益率不僅不滿足正態(tài)分布的估計，且尖峰厚尾現(xiàn)象明顯，在對極值的估計上會出現(xiàn)明顯偏差，因此本文決定采用非參數(shù)估計對原始樣本進(jìn)行估計。本文選用核密度估計方法對收益率進(jìn)行估計，選用MATLAB 2016a中相關(guān)程序，調(diào)用Guass核函數(shù)對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計，結(jié)果如圖2：

通過MATLAB 2016a中的kedensity函數(shù)對樣本數(shù)據(jù)累計分布函數(shù)進(jìn)行估計后得到的結(jié)果如圖2所示，并且將估計后的樣本經(jīng)驗分布函數(shù)和核密度估計的分布函數(shù)放在一起對比，圖中的經(jīng)驗分布由紅色曲線表示，核密度估計的經(jīng)驗分布由黑色曲線表示，二者重疊程度很高，表明經(jīng)驗分布和核密度估計的結(jié)果基本一致，在準(zhǔn)確度方面比正態(tài)分布更能準(zhǔn)確的描述公司的收益率情況。

（四）違約時間分布

本文根據(jù)債券市場對10個公司債券到期收益率的時間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，得到其在2014年12月12日到2019年3月17日之間的平均收益率分別為4.1733%，5.0381%，5.6801%，9.8481%，6.9599%，4.0297%，6.9722%，9.3436%，6.0392%，14.1085%。根據(jù)先前研究可假設(shè)債券違約回收率為40%[22]。將同期國債到期平均收益率作為無風(fēng)險利率，經(jīng)計算為3.1776%，根據(jù)方程（7）可以推算出違約強度。將違約強度帶入違約邊緣分布函數(shù)積分得到其違約分布概率，結(jié)果如表3：

由表3可以看出，收益率和違約強度呈正比，違約回收率與違約強度呈反比，這與實際情況是相符合的。

根據(jù)以上違約強度和違約概率邊緣分布函數(shù)，可以計算出在不同時間這10項公司債券的單獨違約概率，結(jié)果如表4：

由表4可以看出，隨著時間的增加，企業(yè)的違約概率變大，這與實際是一致的。而且，由于假設(shè)違約期限結(jié)構(gòu)是水平的，因此，違約概率是時間的泊松分布函數(shù)。根據(jù)得到的一年期債券違約率可以得到不同期限的債券違約率，n表示違約貸款的違約年限，根據(jù)條件違約概率方程組(11)，可計算在不同時刻貸款違約概率分布：

表3 違約時間的邊緣分布函數(shù)

表4 違約概率累計分布

依照上式可得到表5結(jié)果:

表5 條件概率違約概率離散分布

由表5數(shù)據(jù)可以看出，10項公司債券第一年、第二年、第三年的違約率較為接近，但呈現(xiàn)出逐年下降趨勢。

（五）違約模擬過程

1、Copula函數(shù)的參數(shù)估計與選取對上述10項公司債券的收益率情況，選擇具有代表性的Copula函數(shù)多元正態(tài)Copula函數(shù)和t-Copula函數(shù)作為備選對象，通過MATLAB 2016a中調(diào)用copulafit函數(shù)估計正態(tài)Copula中的線性相關(guān)參數(shù)和t-Copula中的相關(guān)參數(shù)以及自由度，同時調(diào)用copulatast函數(shù)求得正態(tài)Copula和t-Copula的Spearman秩相關(guān)系數(shù)和Kendall秩相關(guān)系數(shù)，并與原始數(shù)據(jù)的Spearman秩相關(guān)系數(shù)和Kendall秩相關(guān)系數(shù)比較，選擇合適的Copula函數(shù)。其結(jié)果如表6，7：

將由此求出來的Kendall秩相關(guān)系數(shù)Kendall_norm、Kendall_t和Kendall相 比 較，求出來的Spearman秩相關(guān)系數(shù)Spearman_norm、Spearman_t和Spearman作對比，可以看出，Kendall秩相關(guān)系數(shù)中，相比較于Kendall_norm，Kendall_t和Kendall較為近似。Spearman秩相關(guān)系數(shù)比較中，Spearman_t也比較接近Spearman。說明了線性關(guān)系為nuhat=36.5696以及nuci=2.1582，3.7898的t-Copula函數(shù)較好的反映了10項債券收益率之間的秩相關(guān)性。

表6 多元正態(tài)Copula和t-Copula參數(shù)估計結(jié)果

表7 Kendall秩相關(guān)系數(shù)和Spearman秩相關(guān)系數(shù)

t-Copula Kendall_t秩相關(guān)系數(shù)1.0000 0.4835 0.4031 0.2664 0.2476 0.5511 0.1411 0.3379 0.1349 0.2091 0.4835 1.0000 0.5157 0.4066 0.4791 0.5879 0.2610 0.4602 0.3131 0.3089 0.4031 0.5157 1.0000 0.4811 0.5133 0.5389 0.4003 0.4464 0.3849 0.4539 0.2664 0.4066 0.4811 1.0000 0.6777 0.2543 0.6657 0.6916 0.5947 0.7352 0.2476 0.4791 0.5133 0.6777 1.0000 0.3114 0.5245 0.6658 0.5375 0.5926 0.5511 0.5879 0.5389 0.2543 0.3114 1.0000 0.1657 0.2952 0.1792 0.1984 0.1411 0.2610 0.4003 0.6657 0.5245 0.1657 1.0000 0.5261 0.5933 0.6456 0.3379 0.4602 0.4464 0.6916 0.6658 0.2952 0.5261 1.0000 0.5331 0.6243 0.1349 0.3131 0.3849 0.5947 0.5375 0.1792 0.5933 0.5331 1.0000 0.5904 0.2091 0.3089 0.4539 0.7352 0.5926 0.1984 0.6456 0.6243 0.5904 1.0000 S pearman_t秩相關(guān)系數(shù)1.0000 0.4835 0.4031 0.2664 0.2476 0.5511 0.1411 0.3379 0.1349 0.2091 0.4835 1.0000 0.5157 0.4066 0.4791 0.5879 0.2610 0.4602 0.3131 0.3089 0.4031 0.5157 1.0000 0.4811 0.5133 0.5389 0.4003 0.4464 0.3849 0.4539 0.2664 0.4066 0.4811 1.0000 0.6777 0.2543 0.6657 0.6916 0.5947 0.7352 0.2476 0.4791 0.5133 0.6777 1.0000 0.3114 0.5245 0.6658 0.5375 0.5926 0.5511 0.5879 0.5389 0.2543 0.3114 1.0000 0.1657 0.2952 0.1792 0.1984 0.1411 0.2610 0.4003 0.6657 0.5245 0.1657 1.0000 0.5261 0.5933 0.6456 0.3379 0.4602 0.4464 0.6916 0.6658 0.2952 0.5261 1.0000 0.5331 0.6243 0.1349 0.3131 0.3849 0.5947 0.5375 0.1792 0.5933 0.5331 1.0000 0.5904 0.2091 0.3089 0.4539 0.7352 0.5926 0.1984 0.6456 0.6243 0.5904 1.0000

（六）聯(lián)合違約時間分布模擬

以上10個公司的違約事件模擬的過程將分為以下幾個步驟進(jìn)行[22]：

第一步，根據(jù)信用資產(chǎn)的違約強度，得到單個資產(chǎn)的邊際違約概率分布，并且假設(shè)違約強度具有水平期限結(jié)構(gòu)；

第二步，根據(jù)t-Copula函數(shù)隨機(jī)數(shù)的抽取方法，抽取[0,1]上符合均值分布的隨機(jī)數(shù)，形成

第三步，根據(jù)第一步中得到的各個資產(chǎn)違約強度，可得到每一個資產(chǎn)的違約時間的邊緣分布；

第四步，根據(jù)生成的隨機(jī)數(shù)，根據(jù)各參數(shù)模擬出各個資產(chǎn)違約事件的模擬值為t1，t2，……，tn；

第五步，利用第四步計算得到的違約時間按照從小到大的順序進(jìn)行排序得到序列，并重復(fù)以上步驟100次，得到以此違約時間序列的100個模擬值；

第七步，根據(jù)以上步驟可以計算出保費支出現(xiàn)值，進(jìn)而得到中小企業(yè)貸款保證保險費率厘定的范圍。

以下是利用MATLAB 2016a程序模擬出的違約時間，這里僅列出各項債券發(fā)生第一次違約的時間，結(jié)果如表8：

（七）純保費計算

1、中小企業(yè)貸款保證保險純保費的計算

將以上數(shù)據(jù)作為中小企業(yè)貸款違約的時間分布，由于我國中小企業(yè)貸款數(shù)額較小，因此本文假設(shè)10家公司的每一項貸款都是100萬元人民幣。根據(jù)資產(chǎn)組合的違約概率和違約期限影響因素所計算的保險純保費。在我國，中小企業(yè)貸款保證保險處于起步階段，由于政府的大力支持，不同銀行和保險公司推出了不同的保險產(chǎn)品，對于中小企業(yè)貸款保證保險保費的收取也不近完全相同，還需考慮信用級別、附加費率等因素。首先計算全部資產(chǎn)的違約資產(chǎn)損失概率，將期望損失折現(xiàn)即可得到DL，設(shè)B(t，0)為t時刻到t=0時刻的貼現(xiàn)因子，則：

表8 違約時間模擬

表9 1年期資產(chǎn)期望損失

因此，慮到折現(xiàn)因素與風(fēng)險中性條件，在違約分布函數(shù)和違約時間確定的基礎(chǔ)上可以得到中小企業(yè)貸款保證保險的費率。其中以1年期為例，表9為1年期十項資產(chǎn)的期望損失：

以上是假設(shè)10個公司總價值1000萬貸款基礎(chǔ)上計算得到的貸款保證保險的期望損失，進(jìn)一步可以得到中小企業(yè)集合的貸款保證保險的費率：

由此可以得到結(jié)論，對于以上資產(chǎn)組合貸款保證保險的費率定為2.5024%比較合適，該結(jié)果是

五、結(jié) 論

本文將信用衍生品定價方法—信用違約互換模型應(yīng)用于保險定價中，對我國已發(fā)行債券的中小企業(yè)貸款保證保險費率進(jìn)行了研究。本文選取2012年12月12日至2019年5月24日Wind金融終端中小企業(yè)板10家公司債券的每日到期收益率為樣本，確定單個資產(chǎn)的邊際違約分布函數(shù)，同時模擬出違約時間聯(lián)合分布，并將Copula函數(shù)引入信用違約互換模型中，完成了對中小企業(yè)1年期貸款保證保險的純保費計算，為有發(fā)債記錄的中小企業(yè)及中小企業(yè)集合的貸款保證保險定價提供了一種新模式。