小學數(shù)學“圖形認識”教學的目標立意與實施策略

[摘 要]“圖形認識”是小學數(shù)學“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容之一，是提升學生空間觀念，促進兒童由形象認知向抽象認識的思維發(fā)展的重要載體。教學中立足對“形”的整體認識，以豐富素材感知，多維思路分析，聚類、分類抽象等策略，將有助于學生把握“形”的直觀、要素及特征，形成認識與研究的一般方式，發(fā)展數(shù)學思維。

[關(guān)鍵詞]圖形認識;結(jié)構(gòu)教學;聚類分析;分類甄別

“圖形認識”屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域。從學生的認知過程及思維方式看，圖形認識實質(zhì)是一個概念形成的過程。學生通過對學習與生活場景中具體可感的實際物體的認識，聚焦本質(zhì)屬性，認知逐層上升與抽象，以達到對圖形的整體、結(jié)構(gòu)認識和把握，建立相關(guān)圖形的概念模型。

一、“圖形認識”的學科育人立意

圖形認識的教學要關(guān)注學生“認”“辨”“識”“用”的過程，借助體驗與認識過程，形成相應的觀察、研究方法，發(fā)展空間觀念，提升數(shù)學思維能力。所謂空間觀念，是在空間知覺的基礎(chǔ)上形成的，主要表現(xiàn)在：“指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系;描述圖形的運動和變化;依據(jù)語言的描述畫出圖形等?！眻D形的認識，學生不單單是“認識”，更是在認識的過程中經(jīng)歷“認”“辨”“識”“用”的過程，在對豐富的感性材料觀察、分析與概括中，展開數(shù)學抽象，實現(xiàn)對圖形的數(shù)學化理解，溝通不同圖形間聯(lián)系，發(fā)展學生的空間觀念。

（一）豐富感知，形成結(jié)構(gòu)整體

豐富的素材感知是溝通兒童認知與生活現(xiàn)實的橋梁與基礎(chǔ)，孩子在對各種學習材料的觀察、操作、研究分析中，借助多感觀協(xié)同，有助于提升對簡單幾何體和平面圖形的基本特征的結(jié)構(gòu)認識。直接的空間感知經(jīng)驗，推動兒童由形象思維，逐級提升，向抽象思維過渡?？v觀整個小學階段，學生對圖形的認知過程，經(jīng)歷了從直觀認識到要素認識，再到特征認識的過程，形成了一個有機的結(jié)構(gòu)整體。通過對“認識過程”的體驗與理解，不僅認識了圖形，更幫助學生形成對一類圖形的認識視角、內(nèi)容、研究方式的結(jié)構(gòu)化認知，促進學生學會用整體、聯(lián)系的認知方式，分析圖形，形成自我認識結(jié)構(gòu)。

（二）有序思維，促進能力發(fā)展

學生在整體認知的不斷反復和推進中，同步伴隨著思維的有序和遞進過程，教師需要借助圖形的認識過程，幫助學生在具體的情境中識別“圖形”，建立類別意識，引導學生學會抽象圖形的本質(zhì)屬性，識別特征要素，明確研究內(nèi)容，進而在“認識”中提高思維品質(zhì)。據(jù)此，具體的圖形認識，將是一個螺旋上升，逐步內(nèi)化與比較聯(lián)系的過程，教師要借助生活經(jīng)驗及抽象認識過程，引領(lǐng)學生“辨”“識”中聚相同，比不同，聚焦本質(zhì)屬性，幫助學生內(nèi)化“形認識”的形成過程，獲得完整體驗和經(jīng)驗，從而引導學生有意識地建立相關(guān)研究模型的思維方式，增強他們自主學習的探究能力。

（三）累積經(jīng)驗，發(fā)展應用意識

發(fā)展空間觀念與思維能力，圖形認識的教學，借助“認”的過程，將不斷幫助與啟發(fā)兒童形成自我認知的應用意識，即有意識利用圖形概念解釋生活中的現(xiàn)象與問題;認識到現(xiàn)實生活中存在大量的與圖形有關(guān)的問題，可以用數(shù)學的方法解決。事實上，學生數(shù)學思維的發(fā)展，離不開“數(shù)學化”的過程，兒童認識圖形的過程，將與其個性語言表達，思維內(nèi)省建構(gòu)關(guān)聯(lián)，特別是將有效提升數(shù)學認識與研究的“經(jīng)驗”，形成對現(xiàn)實生活的數(shù)學認知思維方式，在“用”的過程中，實現(xiàn)語言與思維的協(xié)同發(fā)展。

二、圖形認識的內(nèi)容視角

空間觀念是幾何形體根據(jù)其形狀、大小和互相之間的位置關(guān)系而在人們大腦中積累而成的一種表象，這種表象具有直覺性和概括性，它是將具體感知和抽象概念連接起來的階梯和紐帶。只有清晰地掌握各種幾何圖形的特征，才能正確地計算物體的面積、表面積和體積，這就是空間觀念的初步建立。有了基礎(chǔ)的空間觀念，才能在此之上建立起點、線、面這樣的幾何概念，才能進一步溝通這些概念間的區(qū)別和聯(lián)系。可見，必要的空間觀念的積累，將逐步上升從而成為空間想象力，這是后續(xù)學習的基礎(chǔ)。

基于學生的年齡特征和認知能力發(fā)展，對圖形的認知應該經(jīng)歷一個從外部到內(nèi)在、從直觀到本質(zhì)的過程。因此，我們將學生對圖形的認識結(jié)構(gòu)的目標遞進設(shè)定為三個維度：圖形直觀認識、圖形要素認識、圖形特征認識。

直觀認識主要是指學生在低年級階段對圖形的一個初步和整體的感知，如長長方方的是長方體，方方正正的是正方體，是形成的一種對圖形最直觀的外部特點的認識。

要素認識主要指對構(gòu)成圖形的邊和角的認識，引導學生能從邊和角的角度來認識和判斷圖形，并建立這些要素和圖形整體之間的聯(lián)系。

特征認識主要指從三年級開始的，對各種類型圖形的本質(zhì)特征的認識。其核心任務就是幫助學生從要素的角度以及位置關(guān)系的角度，觀察和發(fā)現(xiàn)這些圖形不同于其他圖形的特殊性，從而掌握它們的本質(zhì)特征，形成對圖形內(nèi)在關(guān)系的清晰認識。

[維度 年級 內(nèi)容 遞進目標 直觀認識 一年級上冊 長方體、正方體、圓柱

和球的直觀認識 1.整體感知長方體、正方體、圓柱和球等各種立體圖形的形狀，能識別這些形體，形成初步表象

2. 初步感知平面形體和曲面形體的區(qū)別 一年級下冊 長方形、正方形、圓、三角形和平行四邊形的直觀認識 1.能在長方體、正方體、圓柱這些立體圖形上，找到長方形、正方形、圓、三角形等平面圖形

2.對長方形、正方形、圓、三角形和平行四邊形等平面圖形進行整體感知，形成初步的表象

3.初步感知直邊圖形和曲邊圖形的區(qū)別 要素認識 二年級上冊 平行四邊形的認識及多邊形的認識 1.初步認識平行四邊形，逐步豐富對多邊形認識，形成初步表象

2.體會多邊形的邊的條數(shù)和名稱之間的聯(lián)系

3.初步體驗平面圖形中邊的要素的特征 二年級下冊 角和直角的認識 1.初步直觀認識角，知道角的各部分名稱，建立角的表象

2.明確角有大小，掌握角的大小的比較方法

3.能區(qū)分直角、銳角和鈍角，知道這三種角的基本特點

4.會用不同的符號來標注角和直角 特征認識 三年級上冊 長方形和正方形的特征認識 1.在低年級直觀認識的基礎(chǔ)上，通過大量的材料感知，發(fā)現(xiàn)并了解長方形和正方形的本質(zhì)特征，進一步認識長方形和正方形

2.溝通長方形和正方形之間的聯(lián)系和區(qū)別 四年級上冊 兩直線位置關(guān)系

平行和相交 1.結(jié)合生活情境，了解同一平面上兩條直線之間的位置存在平行和相交（包括垂直）兩種關(guān)系

2.認識平行線和垂線，知道點到直線的距離

3. 能利用輔助工具畫平行線和垂線，并確定和測量點到直線的距離 四年級下冊 三角形、平行四邊形和梯形的特征認識 1.在動手操作的過程中發(fā)現(xiàn)和了解三角形、平行四邊形和梯形的本質(zhì)特征，進一步認識三角形、平行四邊形和梯形

2.認識三角形、平行四邊形和梯形的高，能測量或繪制平行四邊形和梯形的高 五年級下冊 圓的特征認識 1.在大量感性材料的基礎(chǔ)上感悟、認識圓的本質(zhì)特征，理解圓心和半徑的作用

2.掌握圓各部分的名稱，會用字母表示圓心、半徑

3.理解并掌握在同圓（或等圓）中半徑的特點 六年級上冊 長方體和正方體的特征認識 1. 通過觀察、操作等活動，進一步認識長方體和正方體的本質(zhì)特征，理解它們之間的關(guān)系

2.認識長方體和正方體的面、棱、頂點以及長、寬、高或棱長，理解它們的含義

3.通過展、折和想象，認識這些立體圖形的展開圖 六年級下冊 圓柱和圓錐的特征認識 1.通過大量的材料感知正確地認識圓柱和圓錐，掌握圓柱和圓錐的本質(zhì)特征

2.溝通圓柱和圓錐的聯(lián)系和區(qū)別 ]

從直觀認識到要素認識再深入到特征認識，體現(xiàn)的是一個圖形外部向內(nèi)部的認識過程;也是一個從上位的一般圖形到下位的特殊圖形的深化過程。學生在這個過程中經(jīng)歷了從實物體中抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體，初步獲得表象，發(fā)展空間觀念。

三、“圖形認識”的教學策略

（一）豐富素材感知，從感性經(jīng)驗入手認識圖形

低年級兒童的數(shù)學體驗與它們的生活密切聯(lián)系，因此，豐富的材料感知是“圖形認識”的基礎(chǔ)。從大量的直觀素材入手，在課堂上應給予充足的時間和空間，讓兒童進行有意義和有目標的觀察和操作，將提升并豐富對圖形的直觀認識。比如一年級上學期立體圖形的直觀認識，可以讓學生準備一些平時經(jīng)常玩的各種形狀的積木、魔方、乒乓球，家中到處可見的牙膏盒、紙巾盒、茶葉罐等實物。這些都是他們見慣了的東西，很親切，很容易建立起生活和數(shù)學的聯(lián)系。準備一個不透明的袋子，把大家?guī)淼牟牧涎b進去，讓學生先摸一摸，再猜一猜摸到的是什么。學生會根據(jù)摸到的物體的特征，來判斷到底是哪種形體。“圓圓直直的是圓柱，方方正正的是正方體……”既充分抓住了學生的好奇心，又能使學生再一次利用素材回顧圖形的特征，等到圖形特征已經(jīng)認識后，這些素材還可以進行二次運用。

又如在“認識角”時，我們有同樣的感受：對于8歲的孩子來說，角是植物表面“堅硬的角”，是桌子上“圓圓的角”，而最難理解的就是數(shù)學定義的這個“抽象的角”。所以我們需要豐富對“角”的直觀體驗，安排以下幾個階段：①看一看，摸一摸，生活中的角都是什么樣子的？②想一想，畫一畫，這角在你頭腦里的樣子。③最后形成“角”最簡潔的概念：從一個頂點引出的兩條邊。由此，學生從具體可感出發(fā)，頭腦中保留了概念本質(zhì)，這也正是數(shù)學教學所追求的抽象思想。同時在教學中，通過看一看、摸一摸、比一比等具體活動，為學生提供“做數(shù)學”的機會，讓學生體會“做數(shù)學”的樂趣，在“做”的過程中感受圖形的特征，形成明晰的幾何直觀。

當然，素材的涵義也是非常豐富的，不僅僅是指生活中的積木、藥盒這些實物，大量的各種形狀的圖片欣賞、簡潔立體的模型再現(xiàn)、甚至讓學生找找生活中的形體，舉舉例子都可以成為素材。面對現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的材料，通過直觀實物、模型、圖片或舉例子，學生獲得豐富的感性認識，借助原有的生活經(jīng)驗和已有的知識，引導學生對圖形特征進行歸納和概括，豐富感知，為概念模型的建立提供基礎(chǔ)性支撐。

（二）指導概括與表達，提升語言直觀與分析能力

學生辨析比較和抽象概括能力是逐步發(fā)展的，因此，低年級時容易就事論事地對物體和圖形的特點進行表述，很難用準確全面的語言進行闡述。教師要注意引導他們，經(jīng)歷從素材到本質(zhì)屬性的抽象提煉過程，更要在過程中為學生的全面準確的語言表達，創(chuàng)設(shè)良好的環(huán)境和契機。讓學生感知如何用準確的語言表達各類圖形和物體的特點，不僅要會用自己的語言，說出每一類圖形或物體有什么共同的特點，還要盡可能說得全面，并使用比較規(guī)范的語言。這個過程其實就是學生對自己認識和體驗過程的完整表述，這種體驗和表述，將成為學生對圖形本質(zhì)特征認識的重要支撐。

學生基于經(jīng)驗的數(shù)學語言表達不是一蹴而就的，它是一個不斷反復、不斷熟悉的過程。比如在一年級上冊的長方體、正方體、圓柱和球的初步認識中，學生形成了對這些立體圖形的直觀認識后，會用方方正正來描述正方體，用長長方方來描述長方體，用長長圓圓來描述圓柱，用滾圓滾圓來描述球。在接下來的活動中，教師就要有意識地引導和促進學生，用數(shù)學的語言較為準確地描述各種形體的直觀特征。如果學生在摸到長方體后，只會說出是長長的，那教師就要引一引，帶一帶：“只是長的嗎？還有別的特征嗎？”幫助他們形成和運用全面準確的用詞，不僅體現(xiàn)語言上的進步，更要加強思維上的提升。

（三）多維度打開分析思路，學會數(shù)學認識與思維

學生在概念形成過程中所經(jīng)歷的操作活動，只是教學的手段和載體，旨在引導學生對不同素材進行辨析和對比，尋找其本質(zhì)屬性。但是，由于學生，尤其是低年段學生的年齡特點和心理特點相對易受外在干擾的影響，因此要特別注意他們是否過分關(guān)注素材的外在表象或操作活動本身，而使思維止步不前。這就需要教師在概念形成的過程中，及時關(guān)注學生的狀態(tài)，不斷引導、推進和打開，引導他們的思考由散點狀態(tài)向結(jié)構(gòu)狀態(tài)提升。

比如在教學“三角形內(nèi)角和”一課，首先，當所有同學通過一系列操作，成功得出三角形的內(nèi)角和是180度后，教師提出質(zhì)疑：“測量就會有誤差，難道剪、撕、折等過程就沒有誤差了嗎？”“全班同學研究了42個三角形，得出內(nèi)角和都是180度，是不是所有三角形內(nèi)角和都一定是180度”“怎么用數(shù)學的方法來認定這個結(jié)論呢？”追問引發(fā)的是對數(shù)學思維方式的啟發(fā)，隨后教師借助幾何畫板，通過變化其中一個頂點的位置，觀察形成的不同三角形內(nèi)角的變化情況，計算得出不同三角形內(nèi)角和均為180度的直觀經(jīng)驗。其次，介紹法國著名數(shù)學家帕斯卡小時候的證明推理過程，拓展孩子的思維視角。最后，教師引入一個研究場景：“地面上有一個三角形的花園，小明在起飛的飛機上發(fā)現(xiàn)，當離地面越高，三條路交叉形成的一塊三角形綠地就會變成一個點。引導學生去思考并理解到：原來六個角的度數(shù)和是540度，現(xiàn)在∠1、∠3、∠5之和是360度，消失的三個內(nèi)角和就是180度。這樣的補充，讓學生在直觀操作的基礎(chǔ)上，獲得理性的思考啟發(fā)。也是對小學階段實驗幾何和經(jīng)驗幾何的補充，也是初中邏輯推理證明的滲透和萌芽。

（四）相同材料聚類歸納，不同材料分類甄別

除了注重內(nèi)容本身的學科邏輯與思想方法，教學中還需關(guān)注學生在學習知識中的思維路徑，通過適合的方法引領(lǐng)，實現(xiàn)“怎樣學”“如何研究”的個人數(shù)學研究經(jīng)驗的深化。

比如在“垂線和平行線”教學中，立足于學生的思維，有這樣兩個重要的邏輯：①兩條直線相交成直角和兩條直線相交成4個直角是什么關(guān)系？怎么理解？②從兩條直線的垂直到兩條線段的垂直是怎么過渡的？兩個問題的思考，不是由教師“教”給學生，而應是學生在過程經(jīng)歷中自主“感悟”形成。

豐富展開學生的認識思維過程，將有助于學生逐步實現(xiàn)對概念的理解，歸納與演繹推理的相互融合，將幫助學生突破直觀認識，實現(xiàn)認識的橫向數(shù)學化聯(lián)系發(fā)展與縱向數(shù)學化認識推進。

具體在分析中，需要特別重視在材料感知基礎(chǔ)上，引導學生對相關(guān)材料進行分析和處理。這里可以分為兩種形式的邏輯展開。

（1）聚類分析：即面對大量感性材料，將它們集中在一起仔細觀察，尋找這些材料的共同點。盡管這些材料從表面上看都是不一樣的，但去除他們的外部表象，可以發(fā)現(xiàn)他們存在著共同的本質(zhì)屬性，這就是聚焦的目標。如五年級下冊的圓的特征認識，觀察并呈現(xiàn)如下情境：“教師在黑板上畫圓，學生在作業(yè)紙上畫圓，觀看體育老師在操場上畫圓，教師用一端系物的繩子甩出一個圓”，等等。引導學生對以上所有出現(xiàn)的畫出的圓及過程進行觀察，并思考：“從黑板上的畫圓到紙上的畫圓，到操場上的畫圓，再到空中的畫圓，在不同的情境里畫圓，有沒有相同的地方？”學生通過觀察和分析，透過這些大小不同、位置不同的圓的表象，去發(fā)現(xiàn)和歸納概括所有材料的內(nèi)在聯(lián)系，從而抽取出“定點，定長，旋轉(zhuǎn)一周”這一圓的本質(zhì)屬性。這是一個思維經(jīng)歷從具象到抽象的提升過程，也是圖形認識教學中最有價值的所在。

（2）分類甄別：有時課堂中羅列的材料在類型方面會有很大差別，這樣的材料就不適合進行聚類分析。這時，教師要引導學生在充分感知的基礎(chǔ)上對材料進行分類甄別。將不同類別的材料區(qū)分開來，相關(guān)的有內(nèi)在聯(lián)系的材料分為一類。當然，學生在分類過程中會出現(xiàn)不相同的情況，教師就要引導學生對材料進行辨析，溝通材料和材料間的聯(lián)系和差別，同樣抽取出圖形的本質(zhì)屬性。通過這樣分類甄別的過程，突出本質(zhì)，明確特征，更利于圖形“類”的認識。有些材料還可以進行二級甚至三級分類，直至甄別抽取出本質(zhì)屬性，達到這一階段邏輯展開的目的。比如一年級下冊長方形、正方形、圓、三角形和平行四邊形的初步認識，學生從立體圖形上畫下各種平面圖形后進行分類，圓、三角形這兩類一般不會出現(xiàn)狀況，但長方形和正方形就極有可能出現(xiàn)錯誤。這時，教師可以引導學生觀察所有的長方形和正方形，辨一辨，議一議，到底是完全相同的還是有差別的。通過辨析，讓學生明確，一類是長長方方的，一類是正正方方的，從而達到二級分類甄別出本質(zhì)屬性的目的。

我們可以將這兩種展開邏輯的流程合并如下圖所示：

實際教學中，教師首先要精準了解學生的認知經(jīng)驗與生活基礎(chǔ)，隨之提供適切的相關(guān)活動素材，幫助學生在自主活動中豐富對圖形的直觀認識，引導學生形成圖形認識一般路徑與方法，學會從不同角度分析、比較，不斷推進學生對圖形的數(shù)學抽象及認識。

“圖形認識”作為“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，不局限于認識層面，需要老師著眼于學生數(shù)學認知及思維方式的轉(zhuǎn)換，從數(shù)學理解與應用層面，提升“認識”過程的育人價值，還給學生“認識”的空間，用數(shù)學的眼光觀察，用數(shù)學的思維思考，用數(shù)學的語言表達，將不斷促進學生對空間與圖形的理性認知，發(fā)展空間觀念。

[參 考 文 獻]

[1]國家教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]袁平平.“圖形的認識”的育人價值與教學策略——基于整體結(jié)構(gòu)化的教材解讀[J].教育研究與評論（小學教育教學），2016（6）.

[3]蔣敏杰.聚類研究，突出本質(zhì)——五年級下冊〈圓的認識〉教學探索[J].教育研究與評論（小學教育教學），2016（6）.

[4]周志華.小學數(shù)學整體綜合設(shè)計的實踐探索[M].南京：江蘇人民出版社，2012.

（責任編輯：李雪虹）