一個錯解引發(fā)的探究

周天明

(安徽省合肥市第六中學(xué) 230001)

一、舉例及解析

分析試卷時我給出了以下解法：

由|PA|=|PB|，可得A,B的中點(diǎn)與點(diǎn)P連線的斜率為-3.

聽完他的提問，我的第一反應(yīng)是認(rèn)為這可能只是一種巧合，但還是讓他把他的解法展示給大家看看.他的解法如下：

解當(dāng)直線l斜率不存在時，根據(jù)對稱性可知，直線l被雙曲線與漸近線所截得的兩段長相等. 故直線截雙曲線的弦的中點(diǎn)與直線與兩條漸近線交點(diǎn)的中點(diǎn)相同.

所以xP+xQ=xA+xB，故直線截雙曲線的弦的中點(diǎn)與直線與兩條漸近線交點(diǎn)的中點(diǎn)相同.

故解法二并不是巧合，而是有其合理性和數(shù)學(xué)背景.

解因?yàn)锳,P,Q,B共線，所以要證|PA|=|QB|，只需證xP-xA=xQ-xB，即xP+xQ=xA+xB，當(dāng)直線l斜率不存在時，根據(jù)對稱性可知，直線l被雙曲線與漸近線所截得的兩段長相等.

當(dāng)x0≠a時，顯然直線l存在斜率,故可設(shè)直線l的方程為y-y0=k(x-x0),

這時下課鈴響了，我讓同學(xué)們課下繼續(xù)思考這個問題，看看還有什么新的發(fā)現(xiàn).第二天，又有同學(xué)有了新的發(fā)現(xiàn)，下面是幾位同學(xué)的發(fā)現(xiàn).

故△OAB的面積為定值.

二、總結(jié)

哈爾莫斯提出“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.通過這次由于錯解引發(fā)的探究，我感到問題也是數(shù)學(xué)教學(xué)的心臟，只有問題才能引發(fā)學(xué)生思維活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.以問題為指引，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，合作學(xué)習(xí)，我們會發(fā)現(xiàn)學(xué)生的潛力是無窮的.如何激發(fā)學(xué)生興趣，如何引導(dǎo)學(xué)生去主動探究，是值得每位數(shù)學(xué)教師深思的問題.數(shù)學(xué)教學(xué)要著眼于學(xué)生的長期利益，發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，以提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、發(fā)展思維能力、培育理性精神為核心，使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中學(xué)會思考，成為善于認(rèn)識問題、解決問題的人才.