例談用三角換元法解重點大學(xué)自主招生試題

甘志國

(北京市豐臺二中 100071)

一、前言

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)·選修4-4·A版·坐標(biāo)系與參數(shù)方程》(人民教育出版社，2007年第2版)中介紹了圓、橢圓與雙曲線的參數(shù)方程：

(1)若點P在圓x2+y2=r2(r>0)上，則可設(shè)點P的坐標(biāo)是(rcosθ,rsinθ)；

二、舉例及解析

下面將用以上結(jié)論來解答幾道重點大學(xué)自主招生試題.

注:該題與下面的兩道題如出一轍：

答案：A.

例2 (2017年清華大學(xué)能力測試(數(shù)學(xué)部分試題)，不定項選擇題)若實數(shù)x,y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值是( ).

例3 (2015年清華大學(xué)領(lǐng)軍計劃數(shù)學(xué)測試第9題)已知非負(fù)實數(shù)x,y,z滿足4x2+4y2+z2+2z=3，則5x+4y+3z的最小值為( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

還可得x,y,z∈[0,1]，因而5x≥4x2(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號)，4y≥4y2(當(dāng)且僅當(dāng)y=0或1時取等號)，3z≥z2+2z(當(dāng)且僅當(dāng)z=0或1時取等號)，所以

5x+4y+3z≥4x2+4y2+z2+2z=3,

5x+4y+3z≥3(當(dāng)且僅當(dāng)x=y=0,z=1時取等號),

即5x+4y+3z的最小值為3.

但此解法不能解決原問題.

可設(shè)a=-a′(a′>0)，得題設(shè)即

下面由線性規(guī)劃知識來解此不等式組.

圖1

注:下面給出該題結(jié)論的幾何意義.

圖2

圖3