朱東海
(云南省蒙自市蒙自一中 661199)
2018年全國高考Ⅲ理科數(shù)學21題是一道很好的題目,著重考查學生對函數(shù)的導數(shù)與其極值,單調(diào)性,最值之間的關(guān)系,但參考答案提供該題的(2)原解是用構(gòu)造新的函數(shù),不僅不易想到,而且不好理解.
題目已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(x+1)-2x.
(1)若a=0,證明:當-1
(2)若x=0是f(x)的極大值點,求a.
現(xiàn)將(2)原解陳述如下:
(2)(ⅰ)若a≥0,由(1)知,當x>0時,f(x)≥(2+x)ln(x+1)-2x>0=f(0),這與x=0是f(x)的極大值點矛盾.
又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的極大值點,當且僅當x=0是h(x)的極大值點.
其實,只需要緊扣極大值、導數(shù)、單調(diào)性和最值之間的關(guān)系,不斷地轉(zhuǎn)換就可以很容易得到以下的解法.