廣義自回歸條件異方差模型加速模擬定價(jià)理論

馬俊美, 卓金武, 張 建, 陳 淥

(1.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 200433； 2.上海市金融信息技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200433； 3.應(yīng)用數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(莆田學(xué)院)，福建 莆田 351100；4.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息管理與工程學(xué)院，上海 200433)

波動(dòng)率是金融資產(chǎn)最重要的特征之一，特別是在定價(jià)中起決定因素.波動(dòng)率通常定義為標(biāo)的資產(chǎn)投資回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差，通常用來(lái)度量標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)或者不確定性.經(jīng)典的Black-Scholes模型假設(shè)波動(dòng)率是常數(shù)，這與實(shí)際金融市場(chǎng)得到的數(shù)據(jù)不一致.金融實(shí)證研究表明：波動(dòng)率最顯著的一個(gè)特點(diǎn)就是具有“微笑”或者偏斜的曲線[1].此外，除了具有“微笑”曲線外，人們還發(fā)現(xiàn)波動(dòng)率具有集聚性與時(shí)變性，分布呈尖峰厚尾性，還具有杠桿效應(yīng)、日歷效益效應(yīng)等特性[2].針對(duì)市場(chǎng)波動(dòng)率的這些特性，研究者們提出了一系列隨機(jī)波動(dòng)率模型來(lái)改進(jìn)Black-Scholes模型，期望更好地刻畫(huà)隨機(jī)波動(dòng)率特征.估量波動(dòng)性的模型在過(guò)去的半個(gè)世紀(jì)里成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和實(shí)證金融學(xué)中較為活躍的研究領(lǐng)域之一.概括起來(lái)主流的隨機(jī)波動(dòng)率模型主要有兩類，一類是連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)波動(dòng)率模型(SV模型)，一類是離散時(shí)間的隨機(jī)波動(dòng)率模型(GARCH模型).這兩類模型被認(rèn)為是最集中反映全球金融數(shù)據(jù)時(shí)間序列方差波動(dòng)特點(diǎn)的模型，也是研究現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)的一個(gè)重點(diǎn).在金融實(shí)務(wù)操作中，交易都是離散進(jìn)行的，GARCH模型描述離散時(shí)間經(jīng)濟(jì)情形，更能反映實(shí)務(wù)中股票價(jià)格運(yùn)行的實(shí)際情況.

GARCH模型是將波動(dòng)率視為過(guò)去信息集的函數(shù)，是Bollerslev[3]在Engle[4]在ARCH模型基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的.GARCH模型考慮了擾動(dòng)項(xiàng)的滯后值和擾動(dòng)項(xiàng)條件方差的滯后值，克服了ARCH模型無(wú)法反映波動(dòng)率的持續(xù)性以及不能保證參數(shù)非負(fù)的缺點(diǎn)，被廣泛用于描述金融市場(chǎng)上資產(chǎn)收益的波動(dòng)變化.1987年，Bollerslev在考慮分布有偏和放寬假設(shè)的前提下，使用t分布代替正態(tài)分布描述時(shí)間序列的偏度和峰度問(wèn)題，建立了AGARCH模型[4].基于這些研究，考慮到該模型的應(yīng)用性和擴(kuò)展性，此后20多年，許多學(xué)者針對(duì)不同問(wèn)題構(gòu)建出多種變形模型，構(gòu)成GARCH族模型，使條件異方差結(jié)構(gòu)得到完善的詮釋.例如，Robert等為解決高風(fēng)險(xiǎn)高收益問(wèn)題，將風(fēng)險(xiǎn)加入收益方程，建立了MGARCH模型[5].針對(duì)沖擊非對(duì)稱效應(yīng)，Nelson提出了指數(shù)模型EGARCH[6], Zakoian提出了門限模型TGARCH[7].大量實(shí)證證明GARCH模型對(duì)金融時(shí)間序列有較好的描述，它充分體現(xiàn)了金融數(shù)據(jù)的特征，這些GARCH族模型的應(yīng)用與實(shí)證領(lǐng)域雙向作用，使得模型在分析波動(dòng)性和表征宏觀、金融高頻數(shù)據(jù)等方面體現(xiàn)出巨大的價(jià)值和意義.

GARCH模型描述的是離散時(shí)間經(jīng)濟(jì)情形，在進(jìn)行產(chǎn)品定價(jià)研究時(shí)，不能象連續(xù)時(shí)間經(jīng)濟(jì)情形那樣，可以建立期權(quán)價(jià)格滿足的偏微分方程，所以，Monte Carlo模擬方法被普遍用來(lái)解決GARCH模型下金融產(chǎn)品的計(jì)算問(wèn)題.Duan等[8]在1995年第一次提出了一個(gè)在GARCH模型框架下歐式期權(quán)定價(jià)的完整理論，運(yùn)用均衡定價(jià)原理證明了當(dāng)投資者的效用函數(shù)滿足一定的條件時(shí)，就存在一個(gè)滿足局部風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)關(guān)系的概率測(cè)度Q，用傳統(tǒng)的Monte Carlo模擬算法計(jì)算了GARCH模型歐式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題[8-9]；邵斌和丁娟研究了GARCH模型下美式亞式期權(quán)價(jià)值的Monte Carlo模擬算法，在Longstaff等的美式期權(quán)定價(jià)的最小二乘算法的基礎(chǔ)上，開(kāi)發(fā)了GARCH模型下美式亞式期權(quán)定價(jià)的最小二乘模擬算法[10].

波動(dòng)率衍生產(chǎn)品是一類基于波動(dòng)率遠(yuǎn)期水平的特殊金融衍生品，主要代表是方差互換.波動(dòng)率衍生產(chǎn)品是在1998年經(jīng)濟(jì)危機(jī)之后順時(shí)而出的產(chǎn)品，它代表了一種新的交易思路——交易波動(dòng)率，是現(xiàn)今金融工程的熱門方向，也是研究的前沿，它的出現(xiàn)為國(guó)際資本市場(chǎng)的拓展和融資技術(shù)的創(chuàng)新帶來(lái)了巨大的變化，衍生出了方差和波動(dòng)率互換市場(chǎng).1998年，市場(chǎng)開(kāi)始出現(xiàn)股票指數(shù)波動(dòng)率互換和波動(dòng)率變動(dòng)互換的交易；同年，德國(guó)出現(xiàn)了波動(dòng)率指數(shù)期貨的交易；2001年，基于Nasdaq-100期權(quán)的納斯達(dá)克波動(dòng)率指數(shù)(VXN)波動(dòng)率指數(shù)被開(kāi)發(fā)出來(lái)；2003年，基于SP500期權(quán)的新VIX波動(dòng)率指數(shù)被開(kāi)發(fā)出來(lái)；2004年，VIX波動(dòng)率指數(shù)期貨與波動(dòng)率指數(shù)變動(dòng)期貨開(kāi)始交易；2008年，VIX波動(dòng)率指數(shù)期權(quán)開(kāi)始交易.交易波動(dòng)率除了將不同市場(chǎng)連接起來(lái)，同時(shí)對(duì)于整個(gè)資本市場(chǎng)也存在重大的意義，這代表了一種新的研究方向.國(guó)內(nèi)，目前關(guān)于波動(dòng)率衍生產(chǎn)品的關(guān)注度也越來(lái)越高，上海期貨所和上海紐約大學(xué)就波動(dòng)率衍生產(chǎn)品的運(yùn)用與交易策略已展開(kāi)多次高層論壇，上海紐約大學(xué)專門成立波動(dòng)研究所(V-Lab)，通過(guò)對(duì)各類金融資產(chǎn)的波動(dòng)性、相關(guān)度及其他風(fēng)險(xiǎn)維度的實(shí)時(shí)度量、建模和預(yù)測(cè)，為學(xué)界、業(yè)界及監(jiān)管和決策部門提供實(shí)時(shí)的市場(chǎng)動(dòng)態(tài)資訊及分析，為日后波動(dòng)率產(chǎn)品的推行做準(zhǔn)備.所以，關(guān)于波動(dòng)率及波動(dòng)率產(chǎn)品的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理研究有著重要的現(xiàn)實(shí)意義.

方差互換是一種合約，且是期限較長(zhǎng)的.買方取得的利潤(rùn)取決于實(shí)際資產(chǎn)指數(shù)波動(dòng)率減去敲定波動(dòng)率，以上各項(xiàng)均應(yīng)該在與簽訂方的合約中有限制，包括限定期限等.在合約到期時(shí)簽訂方的償付額為名義本金與此差值的乘積，即

P=M·(σ2-K2)

式中：M是名義本金；σ2是事實(shí)資產(chǎn)指數(shù)的方差；K2是方差互換中的敲定方差.

關(guān)于波動(dòng)率衍生產(chǎn)品的定價(jià)研究，前人研究思路主要有2個(gè)方面: 一個(gè)方面是在著重刻畫(huà)產(chǎn)品的性質(zhì)特征上，如文獻(xiàn)[11-12]，以期權(quán)定價(jià)理論為基礎(chǔ)，通過(guò)一系列標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)的組合來(lái)復(fù)制相應(yīng)的互換[11-12].另一方面是在某些特殊條件下，研究產(chǎn)品價(jià)格的半解析解，如文獻(xiàn)[13-15]，但求半解析解的過(guò)程亦是一復(fù)雜的數(shù)值過(guò)程.Ma等[16]使用Monte Carlo技術(shù)研究了連續(xù)型Hull-White隨機(jī)波動(dòng)率模型下波動(dòng)率衍生產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題.

本文著重研究GARCH隨機(jī)波動(dòng)率模型下金融衍生產(chǎn)品的加速模擬定價(jià)問(wèn)題，并以方差衍生產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題為例.

1 Monte Carlo方法及控制變量技術(shù)

由中心極限定理，可以得到估計(jì)值的誤差為

假設(shè)每次仿真的過(guò)程中都存在另一個(gè)隨機(jī)變量X，形成一對(duì)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量(Xj,Vj)，且Xj的期望E(X)是已知的，則對(duì)任意確定的常數(shù)b，第j次重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果為

Vj(b)=Vj-b[Xj-E(X)]

那么m次模擬之后，期權(quán)價(jià)格的控制變量估計(jì)值為

Var(Vj(b))=Var(V)+b2Var(X)-

關(guān)于控制變量技術(shù)的方差分解原理及其他幾種方差減小理論可參考文獻(xiàn)[17].

2 GARCH模型下方差衍生產(chǎn)品的控制變量加速模擬理論

2.1 GARCH隨機(jī)波動(dòng)率模型介紹

在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下，資產(chǎn)收益率過(guò)程由式(1)給出[8]：

(1)

式中：α0、α1、β1和γ都是GARCH模型中的參數(shù)，α0>0,α1>0,β1>0；λ是風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)率.

h(S0,S1,…,SN)

產(chǎn)品的收益函數(shù)記為h(S0,S1,…,SN)，產(chǎn)品的發(fā)行時(shí)刻價(jià)格為

V(S0，0)=E[e-rTh(S0,S1,…,SN)]

方差衍生產(chǎn)品的定價(jià)屬于高維的路徑依賴型問(wèn)題，而在GARCH模型下，此類路徑依賴問(wèn)題的解析表達(dá)式很難得到，一般情況下只能用數(shù)值估計(jì)方法估計(jì)，若用有限差分方法或者二叉樹(shù)方法直接求解，計(jì)算量極大，因此考慮用Monte Carlo加速模擬技術(shù)來(lái)研究此定價(jià)問(wèn)題.

2.2 Black-Scholes框架下方差互換產(chǎn)品價(jià)格的解析解

考慮使用Black-Scholes框架下的輔助方差互換產(chǎn)品，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程服從下面的擴(kuò)散過(guò)程：

(2)

式中：σc為波動(dòng)率常數(shù)；Bt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

記此時(shí)產(chǎn)品的價(jià)格為W=W(S,t),到期日的收益函數(shù)仍為h(S0，S1，…,SN)，使用概率論方法求其解析解.因?yàn)?/p>

式中：Xi～N(0,1)，i=1,2,…,N，且Xi和Yj相互獨(dú)立，所以

則

W(S0,0)=E[e-rTh(S0，S1，…,SN)]=

將收益函數(shù)h(S0，S1，…,SN)的表達(dá)式代入上式即可求出解析解為

2.3 GARCH波動(dòng)率模型產(chǎn)品定價(jià)的控制變量加速模擬算法

將上述Black-Scholes框架下的輔助方差互換產(chǎn)品的價(jià)格作為控制變量來(lái)求解GARCH隨機(jī)波動(dòng)率模型下方差互換的價(jià)格.控制變量Monte Carlo加速模擬算法如下.

(3)

式中：ε1,i是符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，每個(gè)間隔點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)，這樣就可以模擬出基于常數(shù)波動(dòng)率下方差互換產(chǎn)品價(jià)格的一條路徑j(luò).

(2) 步驟2.運(yùn)用方差互換產(chǎn)品定價(jià)模型和步驟1中模擬路徑j(luò),可求出控制變量在零時(shí)刻的價(jià)格為

(4)

(3) 步驟3.n等分時(shí)間段[0,T]，基于GARCH模型的收益率變化過(guò)程(在于步驟1中相同的隨機(jī)序列ε1下生成)，有式(5)：

(5)

式中的波動(dòng)率σ(ti)滿足式(6)：

(6)

式中：ε2,i取為一個(gè)與ε1,i相互獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量.這樣便可以模擬出基于GARCH模型下方差互換產(chǎn)品價(jià)格的另一條路徑.

(4) 步驟4.運(yùn)用方差互換產(chǎn)品定價(jià)模型和步驟3中模擬的路徑推導(dǎo)出方差互換產(chǎn)品初始時(shí)刻價(jià)格為

(5) 步驟5.計(jì)算V(b)=V-b(X-E(X))，b為一個(gè)可以估計(jì)出的常數(shù)，其中E(X)由下式給出：

(6) 步驟6.模擬m次(重復(fù)步驟1至5m次)，并對(duì)每一次模擬所得的V(b)取平均得到GARCH模型下方差互換產(chǎn)品價(jià)格的控制變量估計(jì)為

(7)

其中最優(yōu)系數(shù)b*可用樣本點(diǎn)估計(jì).

該Monte Carlo控制變量算法的誤差減小效果關(guān)鍵在于要使控制變量與所求GARCH問(wèn)題模型具有較高的相關(guān)性ρXV.加速的效果用2種算法的誤差減小倍數(shù)R來(lái)衡量.

數(shù)值結(jié)果表明：控制變量技術(shù)的加速效果高度依賴于模型參數(shù)σc的選取，σc選取的不同，誤差減小效果差別很大.圖1描述了R與不同的波動(dòng)率常數(shù)的關(guān)系.

圖1 R與波動(dòng)率的關(guān)系(N=1, m=5 000)

如何選取高效有代表性的常數(shù)波動(dòng)率σc是該控制變量算法設(shè)計(jì)的關(guān)鍵問(wèn)題，使模擬的效果能達(dá)到最好.通過(guò)對(duì)GARCH離散標(biāo)的過(guò)程和Black- Scholes連續(xù)標(biāo)的資產(chǎn)過(guò)程的一階矩和二階矩的分析，得到下面定理.

定理1當(dāng)波動(dòng)率常數(shù)滿足

時(shí)，過(guò)程(3)與(5)所描述的兩股票價(jià)格的前兩階矩在T時(shí)刻近似相等,其中，σ(ti,j)表示第i條路徑上tj時(shí)刻對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率.

若X～N(μ,σ2)，則

Var(eX)=(eσ2-1)e2μ+σ2

所以，對(duì)于過(guò)程(3)有

對(duì)于過(guò)程(5)有

則有

S0erTe-(σ*)2Te(σ*)2T=

把滿足上面結(jié)論的σc所確定的控制變量視為“最優(yōu)控制”，對(duì)應(yīng)的控制變量估計(jì)作為GARCH模型下方差互換產(chǎn)品的價(jià)格，此時(shí)的誤差作為控制變量算法的誤差.

3 數(shù)值計(jì)算模擬結(jié)果

對(duì)算控制變量算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)，并驗(yàn)證定理1的最優(yōu)化結(jié)果：即在σc的一個(gè)局部區(qū)域進(jìn)行搜索，搜索出滿足最優(yōu)化問(wèn)題

表1 N=1時(shí)的模擬結(jié)果

由表中數(shù)據(jù)看出，Monte Carlo控制變量法對(duì)于模型的加速效果相當(dāng)明顯，加速后誤差減小倍數(shù)在126左右，大幅度減小模擬誤差；若不使用控制變量法要達(dá)到相同的誤差減小倍數(shù)，模擬次數(shù)需要增加到原來(lái)的1262倍，所以大幅提高了模擬效率.而隨著模擬次數(shù)的增加，方差互換產(chǎn)品定價(jià)模型的模擬誤差逐漸降低，模擬出的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格V相對(duì)穩(wěn)定(誤差小于0.001)，這表明Monte Carlo模擬是有效、合理并且穩(wěn)定的.

此外，根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)M結(jié)果，還發(fā)現(xiàn)了一些其他的結(jié)論.如圖2所示為模擬次數(shù)m=2 000時(shí)方差減小倍數(shù)隨著常數(shù)波動(dòng)率σc設(shè)定值的變化而產(chǎn)生變化的函數(shù)圖像.可以看到，函數(shù)圖像是單峰對(duì)稱分布的，當(dāng)常數(shù)波動(dòng)率約為0.142 2時(shí)，誤差減小倍數(shù)最大，在對(duì)稱軸兩側(cè)快速遞減；當(dāng)常數(shù)波動(dòng)率以0.142 2為初始點(diǎn)減小或增大時(shí)，方差減小倍數(shù)下降得很快，常數(shù)波動(dòng)率±0.02的變化引起誤差減小倍數(shù)下降了100左右.由此可見(jiàn)，在GARCH模型下的方差互換產(chǎn)品定價(jià)模型中，用控制變量法進(jìn)行Monte Carlo模擬時(shí)，常數(shù)波動(dòng)率的取值對(duì)模擬加速效果影響很大，微小的變化就能使方差減小倍數(shù)發(fā)生大變，因此在模擬加速時(shí)應(yīng)提升常數(shù)波動(dòng)率取值的精度，提高控制變量法的效率，減小Monte Carlo模擬的模擬誤差.

為更好進(jìn)行比較，表2記錄了當(dāng)觀察次數(shù)N=10時(shí)該Monte Carlo模擬控制變量法的MATLAB數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

數(shù)值實(shí)驗(yàn)分析的結(jié)果表明:N=10時(shí)的模型變化規(guī)律與N=1時(shí)的模型變化規(guī)律基本保持一致，最優(yōu)波動(dòng)率均在0.142 2附近取到，且經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得出的波動(dòng)率和最優(yōu)常數(shù)波動(dòng)率都十分接近，在可接受誤差范圍內(nèi).在N=10時(shí)，模擬次數(shù)m分別為1 000和2 000時(shí)，誤差減小與常數(shù)波動(dòng)率取值關(guān)系中，和N=1時(shí)的情況基本相同，呈單峰對(duì)稱分布且存在一個(gè)最優(yōu)的常數(shù)波動(dòng)率，使得誤差減小倍數(shù)達(dá)到最大，見(jiàn)圖3.

圖2 R與波動(dòng)率的關(guān)系(N=1，m=2 000)

mσc1σ?cVStd/10-3RR?1 0000.142 40.142 319.410.749 5107.41107.422 0000.142 40.142 219.410.373 7107.99108.045 0000.142 40.142 219.410.153 9106.90106.9210 0000.142 40.142 219.410.078 6104.33104.3415 0000.142 40.142 219.410.052 7103.69103.7020 0000.142 40.142 319.410.039 5103.40103.41

4 進(jìn)一步的討論

由上述可見(jiàn)，使用Black-Scholes框架下的確定常數(shù)波動(dòng)率條件下的方差互換的價(jià)格作為控制變量，為GARCH模型下的方差互換產(chǎn)品進(jìn)行加速模擬定價(jià)，取得了很好的效果.繼續(xù)對(duì)上述算法進(jìn)行改進(jìn)，考慮使用分段常數(shù)波動(dòng)率框架下的產(chǎn)品價(jià)格作為控制變量，對(duì)原GARCH隨機(jī)波動(dòng)率模型下的產(chǎn)品進(jìn)行加速模擬定價(jià).

考慮式(8)模型：

(8)

(9)

GARCH模型的價(jià)格變化過(guò)程為

(10)

式中：ti表示第i個(gè)觀測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻.

為確保原定價(jià)問(wèn)題與模型(8)下的產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題有較高的相關(guān)性，盡量使得兩類標(biāo)的過(guò)程(9)和(10)有較高的“相似性”，同樣對(duì)兩類標(biāo)的過(guò)程的一階矩和二階矩進(jìn)行分析，使得它們?cè)谌我庥^測(cè)點(diǎn)ti上相等，得到下面的定理.

定理2當(dāng)每一段的常數(shù)波動(dòng)率滿足

時(shí)，可以保證過(guò)程(9)和(10)在N個(gè)觀測(cè)點(diǎn){t1,t2,…,tN}的前兩階矩相等.其中σ(tj,i)表示過(guò)程(10)的第j條路徑上0～ti之間所有時(shí)刻對(duì)應(yīng)的波動(dòng)率，且

證明現(xiàn)證明過(guò)程(9)與(10)在每一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的一階矩和二階矩相等，即期望與方差相等.

因?yàn)?，若X～N(μ,σ2)，則

Var(eX)=(eσ2-1)e2μ+σ2

在觀測(cè)點(diǎn)t1,過(guò)程(9)的前兩階矩為

Var(S(1)(t1))=

在觀測(cè)點(diǎn)t1,過(guò)程(10)的兩階矩為

此時(shí)有

S0ert1=E(S(1)(t1))

e-(E(σ(tj,1)))2t1e(E(σ(t0,1)))2t1-1)=

此時(shí)，當(dāng)初始條件相等，且σ1,c-E(σ(tj,1))時(shí)，可以保證

同理，考慮觀測(cè)點(diǎn)t2，有

且

此時(shí)有

當(dāng)初始條件相等，為了保證在觀測(cè)點(diǎn)t2時(shí)刻前兩階矩相等，即

則要求

即

(E(σ(tj,2)))2t2-(E(σ(tj,1)))2t1

依此類推，繼續(xù)考慮N個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，當(dāng)滿足

則可以保證在N個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的前兩階矩相等.證畢.

再次利用與前文相同的初始條件進(jìn)行數(shù)值模擬，并與常數(shù)波動(dòng)率情形進(jìn)行對(duì)比，另外模擬參數(shù)α1=0.005.

在表3中，σc表示分段最優(yōu)常數(shù)波動(dòng)率(考慮了分N=2段和N=3段的情況)，Rc表示分段最優(yōu)常數(shù)波動(dòng)率下誤差減小倍數(shù)(相對(duì)于原始的Monte Carlo方法).當(dāng)m=1 000時(shí)，分N=2段的話，求出的兩段最優(yōu)波動(dòng)率常數(shù)為：0.142 4和0.142 2，此時(shí)控制變量的誤差減小倍數(shù)為126.68；同樣的，當(dāng)m=1 000時(shí)，分N=3段的話，求出的三段最優(yōu)波動(dòng)率常數(shù)為：0.142 5，0.142 2和0.142 2，此時(shí)控制變量的誤差減小倍數(shù)為127.27.從表3的結(jié)果比較中可以看出，分段波動(dòng)率常數(shù)情形下的誤差減小倍數(shù)相比常數(shù)波動(dòng)率情形有一定的改進(jìn)，但改進(jìn)的幅度并不是很大.分析其主要原因?yàn)椋簭腉ARCH模型產(chǎn)生的波動(dòng)率序列的自相關(guān)函數(shù)逐漸趨于零，當(dāng)分段考慮不同的波動(dòng)率時(shí)，隨著波動(dòng)率序列的增多，每一段都相當(dāng)于一個(gè)獨(dú)立的滿足過(guò)程，即每一段的序列期望值趨于相等，所以針對(duì)GARCH模型考慮分段常數(shù)波動(dòng)率時(shí)，相比單個(gè)常數(shù)波動(dòng)率情形時(shí)效果差別不是很大.

表3常數(shù)波動(dòng)率與分段常數(shù)波動(dòng)率對(duì)比(α1=0.005)

Tab.3Constantvolatilityvs.piecewiseconstantvolatilityvariancereductioncomparison(α1=0.005)

mσ?cR?c最優(yōu)波動(dòng)功率常數(shù)Ric1 0000.142 3120.045 0000.142 3127.4510 0000.142 3128.280.142 40.142 20.142 50.142 20.142 20.142 40.142 20.142 50.142 20.142 20.142 40.142 20.142 50.142 20.142 2126.68127.27129.46133.13129.63132.20

5 結(jié)論

數(shù)值分析的結(jié)果也表明：利用常數(shù)波動(dòng)率下產(chǎn)品價(jià)格符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)的一個(gè)衍生品的價(jià)格作為控制變量，對(duì)GARCH模型下的方差互換產(chǎn)品定價(jià)是有成效的，推導(dǎo)出的公式也是合理且符合實(shí)際的.并且發(fā)現(xiàn)：控制變量模型中常數(shù)波動(dòng)率對(duì)方差減小的影響具有鮮明的數(shù)學(xué)特點(diǎn)，方差減小隨常數(shù)波動(dòng)率變化的圖像呈單峰對(duì)稱分布.這也為其他模型下對(duì)Monte Carlo控制變量法在期權(quán)定價(jià)中的運(yùn)用提供了思路.最后，對(duì)常數(shù)波動(dòng)率的情形進(jìn)行了改進(jìn)，用分段波動(dòng)率常數(shù)的Black-Scholes模型去近似原GARCH模型，并給出了最優(yōu)分段常數(shù)波動(dòng)率的選取方法.