基于構(gòu)件合力的曲線梁橋最不利激勵方向確定

馮睿為， 勞天鵬， 鄧通發(fā)， 袁萬城

(1. 同濟大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室， 上海 200092； 2. 廣州大學(xué) 廣州大學(xué)-淡江大學(xué)工程結(jié)構(gòu)災(zāi)害與控制聯(lián)合研究中心， 廣東 廣州 510006； 3. 江西理工大學(xué) 建筑與測繪工程學(xué)院， 江西 贛州 341000)

曲線梁橋具有能夠克服地形、地物的限制、結(jié)構(gòu)線形優(yōu)美、流暢等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于城市高架及高等級公路工程中.受上部結(jié)構(gòu)曲率的影響，荷載作用下曲線梁橋會產(chǎn)生彎扭耦合效應(yīng)，特別是在地震動作用下，該效應(yīng)尤為顯著，使得曲線梁橋中構(gòu)件的力與位移需求被放大，結(jié)構(gòu)受到更為嚴(yán)重的破壞[1].在近年來發(fā)生的大規(guī)模地震中，曲線梁橋受損的案例屢見不鮮[2-4]，更值得注意的是，由于地震動的激勵方向具有較強的隨機性，不同激勵方向下結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)有所差異，特別是對于曲線梁橋這種幾何形式及受力狀態(tài)相對復(fù)雜的結(jié)構(gòu)而言，地震動激勵方向?qū)Y(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響更加不容忽視.已有研究表明：對于不同激勵方向，曲線梁橋的地震響應(yīng)最大相差80%[5].因此，為保證結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的可靠性，需確定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生最大需求時所對應(yīng)的地震動激勵方向，即結(jié)構(gòu)的地震動最不利激勵方向[6]. 目前在實際工程中最為常用的方法是將地震動每隔一定角度進(jìn)行輸入，通過比較各激勵方向下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)來確定最不利激勵方向(簡稱全角度輸入法)，雖然該方法可以得到較為可靠的結(jié)果，但是計算量大且相對費時，對于大型工程及復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言適用性較差.鑒于上述原因，國內(nèi)外研究人員提出了一些直接確定結(jié)構(gòu)地震動最不利激勵方向的理論方法，如反應(yīng)譜法[6-8]、隨機振動理論法[9]、時程分析法[10]、能量方法[11]等.對于曲線梁橋而言，全偉等[12]基于時程分析提出了確定結(jié)構(gòu)最不利激勵方向的簡化算法，該方法通過2次時程分析便可求得地震動最不利輸入角度；宋波等[13]基于推倒分析方法利用橋墩曲率來確定地震動最不利激勵方向，孟杰等[14]利用Bresler屈服面并結(jié)合時程分析提出了確定地震動最不利激勵方向的方法.

然而，盡管目前國內(nèi)外關(guān)于確定結(jié)構(gòu)最不利激勵方向方面的研究取得了較大進(jìn)展，一些新穎的計算方法相繼被提出，但在結(jié)構(gòu)最不利激勵方向的判別標(biāo)準(zhǔn)方面仍值得進(jìn)一步探討，特別是部分方法以控制結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的主要構(gòu)件主軸方向的響應(yīng)分量為判別標(biāo)準(zhǔn)的情況，這較難綜合反映構(gòu)件截面整體的受力性能，而且不同響應(yīng)分量所對應(yīng)的最不利激勵方向往往不同，構(gòu)件整體的最不利輸入方向較難統(tǒng)一.尤其對于曲線梁橋，由于結(jié)構(gòu)幾何線形的不規(guī)則性，各個構(gòu)件的主軸方向往往不同，因此結(jié)構(gòu)主要構(gòu)件的最不利激勵方向更加難以預(yù)測.此外，部分方法在執(zhí)行過程中仍需要較大的計算量，對于曲線梁橋等結(jié)構(gòu)布置及受力行為相對復(fù)雜的結(jié)構(gòu)而言實用性不高.

基于反應(yīng)譜理論，以主要構(gòu)件的合力或合位移為判別標(biāo)準(zhǔn)，研究一種確定結(jié)構(gòu)地震動最不利激勵方向的方法(簡稱構(gòu)件合力法)，并應(yīng)用該方法確定一座典型曲線梁橋的地震動最不利激勵方向，再與全角度輸入法所得結(jié)果進(jìn)行比較分析.

1 構(gòu)件合力法的理論推導(dǎo)

基于實際工程抗震驗算中常采用的單向地震動激勵[15-16]提出構(gòu)件合力法.如圖1所示，X、Y軸為整體坐標(biāo)軸，2、3軸為構(gòu)件局部坐標(biāo)軸，假定地震動為寬帶平穩(wěn)隨機過程，地震動a(t)與X軸成θ角，θ沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正，構(gòu)件合響應(yīng)R(位移、內(nèi)力、應(yīng)力等)方向與2軸成α角.

圖1 單向地震動激勵下構(gòu)件坐標(biāo)軸方向規(guī)定

Fig.1Regulationforcoordinateaxesofacomponentsubjectedtoaunidirectionalseismicexcitation

由多質(zhì)點體系的振動方程可知，質(zhì)點的t時刻位移矢量δ(t)可以分解為

(1)

式中:φ=[φ1φ2…φi…φn]，為振型矩陣;η(t)=[η1(t)η2(t) …ηi(t) …ηn(t)]T，為廣義坐標(biāo)矩陣；i、n為模態(tài)號.從而構(gòu)件2軸方向的響應(yīng)R2(t)可以通過質(zhì)點位移向量的線性組合表示.

(2)

式中:q2為R2(t)所對應(yīng)的響應(yīng)傳遞矩陣，它是結(jié)構(gòu)幾何屬性和彈性屬性的函數(shù).將式(1)代入式(2)中，可得

(3)

式中:ai為第i階模態(tài)的有效模態(tài)內(nèi)力向量[17].

(4)

(5)

式中：ηi,max為第i階模態(tài)的廣義坐標(biāo)峰值.

(6)

(7)

綜合式(3)和式(6)，構(gòu)件的合力R(t)可以通過式(8)得到

R(t)=R2(t)cosα+R3(t)sinα=

(8)

基于以上理論公式的推導(dǎo)，當(dāng)?shù)卣饎友厝我夥较颚容斎霑r，構(gòu)件的峰值合響應(yīng)可以通過以下3個步驟得到.

(9)

(10)

式中：ηiX,max為Sa沿X向作用時第i階模態(tài)的廣義坐標(biāo)峰值.

根據(jù)式(8)，構(gòu)件的合響應(yīng)RX(t)可以表示為

(11)

式中：ηiX(t)為Sa沿X軸作用時第i階模態(tài)的廣義坐標(biāo).從而構(gòu)件第i階模態(tài)的合響應(yīng)峰值RiX可以通過下式計算得到:

RiX=(aicosα+bisinα)ηiX,max

(12)

(2) 步驟2.將Sa沿Y軸方向作用，與等式(11)、(12)推導(dǎo)過程相同，構(gòu)件合響應(yīng)RY(t)及第i階模態(tài)的合響應(yīng)峰值RiY可以表達(dá)為

(13)

RiY=(aicosα+bisinα)ηiY,max

(14)

式中：ηiY(t)為Sa沿Y軸作用時第i階模態(tài)的廣義坐標(biāo)；ηiY,max為Sa沿Y向作用時第i階模態(tài)的廣義坐標(biāo)峰值.

(3) 步驟3.將Sa沿任意方向θ作用時，構(gòu)件第i階模態(tài)的合響應(yīng)Riθ(t)可以通過式(15)得到:

(15)

式中：RiX(t)、RiY(t)分別為Sa沿X、Y向作用時構(gòu)件第i階模態(tài)的合響應(yīng).由多質(zhì)點體系的振動方程可知

ηiX(t)=γiXηi(t)

(16)

ηiY(t)=γiYηi(t)

(17)

式中：γiX、γiY分別是X、Y方向第i階振型的振型參與系數(shù)，從式(16)及式(17)中可以看出ηiX(t)與ηiY(t)完全相關(guān)，它們的比值為γiX/γiY，其峰值同時出現(xiàn)，因此構(gòu)件第i階模態(tài)的合響應(yīng)峰值Riθ為

(18)

利用CQC(complete quadratic combination)模態(tài)組合方法[18]對Riθ進(jìn)行組合可得到地震動沿任意角度θ激勵時構(gòu)件的合響應(yīng)峰值表達(dá)式如下：

(19)

式中：ρij為模態(tài)組合系數(shù)；D1、D2、D3是合響應(yīng)方向α的函數(shù)，可通過式(20)～(22)計算得到：

(22)

根據(jù)式(19)～(22)編制計算程序進(jìn)行極值分析，可分別確定地震動最不利激勵方向及最大響應(yīng)方向，具體方法如下.

(1) 地震動最不利激勵方向.首先給定θ范圍，在每一個給定的θi下，依次循環(huán)α，求出地震動激勵方向為θi時構(gòu)件的合響應(yīng)峰值Rθi,max，再分別比較各個激勵方向下的Rθi,max，從而確定構(gòu)件合響應(yīng)最大值Rθ,max所對應(yīng)的激勵角度，即為最不利激勵方向.

(2) 最大合響應(yīng)方向.首先給定α的范圍，在每一個給定的αi下，依次循環(huán)θ，求出各地震動激勵方向下構(gòu)件α方向的合響應(yīng)峰值Rαi,max，再分別比較構(gòu)件不同合響應(yīng)方向下的Rαi,max，從而確定構(gòu)件合響應(yīng)最大值Rα,max所對應(yīng)的響應(yīng)方向，即為最大合響應(yīng)方向.

2 數(shù)值模型建立及地震動選擇

2.1 工程概況及有限元模型

選取一座典型的三跨鋼筋混凝土曲線梁橋為工程背景，該橋整體布置及主要構(gòu)件截面尺寸如圖2所示.該橋曲線半徑為90 m，每跨跨徑均為30 m；上部結(jié)構(gòu)為單箱單室箱梁，采用C50混凝土，梁寬8.5 m，高1.9 m；相鄰聯(lián)間設(shè)置伸縮縫，伸縮縫寬0.1 m.下部結(jié)構(gòu)采用雙柱墩，材料為C40混凝土，墩高均為6.0 m，直徑為1.0 m，全橋采用板式橡膠支座，主梁與橋墩間除支座外無其他墩梁連接裝置.

采用有限元分析軟件SAP2000建立曲線梁橋有限元模型，考慮相鄰聯(lián)間耦聯(lián)振動的影響，該有限元模型包括左右兩側(cè)邊界聯(lián)，邊界聯(lián)均為跨徑30 m的簡支梁橋，截面尺寸及構(gòu)造與主橋相同.全橋主梁和橋墩采用彈性梁單元模擬；支座采用線性連接單元模擬，主橋中墩支座(B3至B6)水平剛度均為3 571 kN·m-1，主橋邊墩支座(B1、B2、B7、B8)及引橋支座水平剛度均為2 142 kN·m-1，有限元模型中不考慮防落梁裝置對結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響.不考慮樁-土相互作用對結(jié)構(gòu)的影響，墩底采用固結(jié)的方式處理.

a 平面圖c 立面圖(括號中橋墩布置在曲線外側(cè))b 箱梁截面d 橋墩截面

圖2曲線梁橋整體布置及截面尺寸(單位：m)

Fig.2Configurationandgross-sectionaldimensionofthecurvedbridge(unit：m)

對該橋進(jìn)行動力特性分析，考慮結(jié)構(gòu)前12階模態(tài)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的貢獻(xiàn)，各階模態(tài)周期如表1所示.

表1 曲線梁橋振動周期

2.2 地震動選擇及坐標(biāo)軸方向規(guī)定

選取3條具有不同特性的地震波.其中1994年的Northridge(Rinaldi)是地面運動速度較大的近場脈沖型地震動，1994年的Northridge(Santa Monica City Hall)地震動具有峰值加速度較大、地震動頻率較高等特點，而1989年的Loma Prieta(Saratoga Aloha Ave)代表中等強度的地震動.3條地震動的反應(yīng)譜如圖3所示，由于該橋幾何布置關(guān)于Y軸對稱，因此θ范圍可取為0°≤θ≤180°[19].另外，由于主橋外側(cè)中墩分擔(dān)上部結(jié)構(gòu)慣性質(zhì)量較大且邊墩支座水平剛度較小，位移響應(yīng)會比中墩支座大，因此選擇P4墩墩底彎矩及B2支座位移來反映結(jié)構(gòu)的整體響應(yīng)，P4墩及B2支座的整體及局部坐標(biāo)軸方向如圖4所示.其中β1、β2代表2軸與整體坐標(biāo)系X軸間的夾角.

圖3 所選地震動反應(yīng)譜

a P4墩坐標(biāo)軸方向b B2支座坐標(biāo)軸方向

圖4構(gòu)件坐標(biāo)軸方向規(guī)定

Fig.4Regulationforprincipleaxesofcomponents

3 構(gòu)件合力法的應(yīng)用及結(jié)果分析

應(yīng)用構(gòu)件合力法確定曲線梁橋的最不利輸入方向，以Northridge(Rinaldi)地震作為輸入，闡述該方法的應(yīng)用過程.首先，基于表1中動力特性分析結(jié)果，依據(jù)文獻(xiàn)[18]計算模態(tài)組合系數(shù)ρij；然后分別在X、Y方向輸入地震動，對算例橋梁進(jìn)行反應(yīng)譜分析，得到橋墩及支座局部坐標(biāo)軸(2、3軸)方向各階模態(tài)的峰值響應(yīng)，如表2所示；最后將計算得到的模態(tài)組合系數(shù)ρij及表2中模態(tài)響應(yīng)分量的峰值代入到式(20)～(22)中，通過編制計算程序建立構(gòu)件合力峰值與激勵角度及截面合力方向之間的關(guān)系，分別如圖5、圖6所示.從圖5中可以看出在Northridge(Rinaldi)地震作用下，θ=45°為該橋最不利激勵方向，當(dāng)?shù)卣饎友卦摲较蜃饔脮r橋墩彎矩及支座位移均達(dá)到最大.此外，各構(gòu)件響應(yīng)對于地震動激勵方向的敏感性有所不同.對于墩底彎矩而言，如圖5a所示，θ=45°時墩底合彎矩為5 990.7 kN·m，而當(dāng)激勵方向θ=135°時，墩底彎矩為5 674.6 kN·m，不同激勵方向下墩底彎矩最大值與最小值相差5.3%，說明地震激勵方向?qū)τ跇蚨帐芰τ绊戄^小.這主要歸因于橋墩采用圓形截面，各方向力學(xué)性質(zhì)相同，因此不同激勵方向地震動作用下墩底響應(yīng)之間差異較小，若橋墩采用非圓形截面，此時截面力學(xué)性質(zhì)存在各向異性，則地震動激勵方向?qū)τ跇蚨帐芰Φ挠绊懹锌赡茉龃?相比之下，通過圖5b計算可得，不同激勵方向下支座位移峰值最大相差15.2%，說明地震激勵方向?qū)χё灰频挠绊懖蝗莺鲆?

表2 橋墩及支座局部坐標(biāo)軸方向各階模態(tài)峰值響應(yīng)

a 墩底彎矩

b 支座位移

圖6描述了地震動沿不同方向激勵時構(gòu)件截面各方向響應(yīng)峰值，由圖可知，對于橋墩而言，α=128°為墩底截面彎矩響應(yīng)最大方向，而α=159°為支座位移響應(yīng)最大方向.對于部分采用圓形截面的構(gòu)件而言，由于其各方向力學(xué)性質(zhì)相同，即截面能力相同，截面響應(yīng)最大處就是最不利受力部位，由此可知通過構(gòu)件合力法能夠捕捉部分構(gòu)件截面最不利受力部位，為實際工程的抗震設(shè)計及加固提供參考.

a 墩底彎矩

b 支座位移

另一方面，圖7中是Northridge(Rinaldi)地震作用時不同激勵方向下構(gòu)件局部坐標(biāo)軸方向響應(yīng)分量峰值，從圖中可以看出不同局部坐標(biāo)軸方向的響應(yīng)分量所對應(yīng)的最不利激勵方向不同，并且地震動沿其各自的最不利激勵方向作用時所產(chǎn)生的響應(yīng)峰值也不同.以墩底彎矩為例，如圖7a所示，繞局部2軸方向的彎矩峰值為5 745.1 kN·m，其對應(yīng)的最不利輸入方向為θ=90°，而繞局部3軸方向的彎矩峰值為5 831.7 kN·m，其對應(yīng)的最不利輸入方向為θ=15°，因此，很難通過局部坐標(biāo)軸方向響應(yīng)分量來確定該橋墩的最不利激勵方向.同時由于局部坐標(biāo)軸方向響應(yīng)峰值的不同，若采用任一響應(yīng)分量的峰值來確定結(jié)構(gòu)最不利激勵方向，很有可能低估結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)，影響結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的安全.

a 墩底彎矩

b 支座位移

4 構(gòu)件合力法與全角度輸入法計算結(jié)果比較

采用全角度輸入法，分別輸入3條地震波，在各個方向?qū)η€橋進(jìn)行線性時程分析并與構(gòu)件合力法所得計算結(jié)果進(jìn)行比較，地震動輸入角度間隔為15°.

圖8為不同激勵方向下2種計算方法的比較結(jié)果.由圖可知，在3條地震波作用下2種分析方法所得結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)峰值隨激勵方向的變化趨勢一致，計算得到的最不利激勵方向均為θ=45°且各激勵方向下的地震響應(yīng)峰值相差最多不超過4%，從而反映出構(gòu)件合力法在確定結(jié)構(gòu)最不利激勵方向時具有較高的可靠性，并且構(gòu)件合力法僅需分別沿X、Y方向?qū)Y(jié)構(gòu)進(jìn)行2次反應(yīng)譜分析便可確定結(jié)構(gòu)的最不利激勵方向，相對于全角度輸入法而言(本算例進(jìn)行了13次時程分析)計算量更小、更為高效.此外，圖8中還描述了根據(jù)規(guī)范方法[15](圖9)確定的曲線梁橋地震動最不利激勵方向及相應(yīng)的響應(yīng)值.由圖可知，采用規(guī)范方法得到的最不利激勵方向與構(gòu)件合力法及時程方法所得最不利輸入方向相差26°且采用規(guī)范方法得到的結(jié)構(gòu)的響應(yīng)偏小，與時程方法相比，最不利激勵方向下構(gòu)件響應(yīng)值最大相差3.5%(圖8d)，從而表明當(dāng)以構(gòu)件合力作為最不利輸入方向的判別標(biāo)準(zhǔn)時，盡管規(guī)范方法可能造成對于結(jié)構(gòu)構(gòu)件響應(yīng)的低估，但與理論方法相比相差較小，能夠滿足實際工程抗震設(shè)計的需要.由于3條地震動頻譜特性各不相同，而由圖可知，各條地震動作用下該橋最不利激勵方向基本相同，說明地震動頻譜特性對于該橋的最不利輸入方向影響較小.

a Northridge(Rinaldi)地震作用下墎底彎矩

b Northridge(Rinaldi)地震作用下支座位移

c Northridge(Santa Monica City Hall)地震作用下墎底彎矩

d Northridge(Santa Monica City Hall)地震作用下支座位移

e Loma Prieta地震作用下墎底彎矩

f Loma Prieta地震作用下支座位移

圖9 現(xiàn)行規(guī)范規(guī)定的曲線橋地震輸入方向

5 結(jié)論

(1) 對于任何結(jié)構(gòu)，構(gòu)件合力法只需在其縱、橫向進(jìn)行2次反應(yīng)譜分析，再通過編制計算程序進(jìn)行極值分析，便可求得結(jié)構(gòu)的最不利激勵方向，相比于全角度輸入法(本文算例共進(jìn)行13次時程分析)計算量更小，對于確定復(fù)雜結(jié)構(gòu)的最不利激勵方向更加省時.

(2) 構(gòu)件合力法具有較高的計算精度.針對算例橋梁，構(gòu)件合力法與全角度輸入法計算得到的最不利激勵方向相同且地震峰值響應(yīng)相差最多不超過4%.應(yīng)用構(gòu)件合力法能夠確定圓形截面橋梁構(gòu)件的最不利受力部位，可以為實際工程的抗震設(shè)計及加固提供參考.

(3) 對于算例橋梁，3條地震波作用下構(gòu)件合力法與全角度時程分析方法得到的最不利激勵方向均為θ=45°；采用規(guī)范方法得到結(jié)構(gòu)的最不利激勵方向為與構(gòu)件合力法及時程方法相差26°，但在最不利激勵方向下構(gòu)件響應(yīng)峰值與時程方法最大相差3.5%，表明按照現(xiàn)行規(guī)范規(guī)定的地震動激勵方向?qū)η€梁橋進(jìn)行抗震性能驗算能夠滿足實際工程抗震設(shè)計的需要.

(4) 曲線梁橋不同構(gòu)件的地震響應(yīng)對地震動激勵方向的敏感性有所不同；對于算例橋梁，Northridge(Rinaldi)地震沿不同方向激勵時墩底彎矩峰值最大僅相差5.3%，而不同激勵方向下支座位移峰值最大相差15.2%.

(5) 地震動頻譜特性對該曲線梁橋最不利激勵方向的影響較小，在3條不同頻譜特性的地震動輸入下，該橋的最不利激勵方向基本不變.