識別動力減振鏜桿主系統(tǒng)等效參數(shù)的數(shù)學計算方法

何 苗， 孫蓓蓓

(東南大學 機械工程學院，南京 211189)

深孔鏜削加工時鏜桿的懸伸量較大，鏜桿長徑比越大剛度越低，越容易產(chǎn)生切削顫振，所以深孔加工一直是機械加工的難題，也是國內(nèi)外學者研究的熱點。動力減振鏜桿是在鏜桿內(nèi)部空腔放置一個有阻尼動力吸振器，可以有效地減少切削顫振，提高加工精度。為了設(shè)計減振鏜桿，必須建立其動力學模型，需要識別出等效質(zhì)量和等效剛度，從而把連續(xù)體實際結(jié)構(gòu)等效為理想的集中參數(shù)模型。所以鏜桿主系統(tǒng)的等效參數(shù)準確與否，直接關(guān)系到鏜桿內(nèi)部的動力吸振器的動力參數(shù)設(shè)計。

目前，動力減振鏜桿的研究大多集中于吸振器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計[1-5]、顫振抑制機理[6]、吸振器工程實現(xiàn)[7]、動力學特性[8-10]等。Sims針對切削顫振提出一種吸振器的解析調(diào)優(yōu)策略，Miguelez等基于Sims調(diào)優(yōu)策略，給出了鏜削過程中最佳調(diào)諧頻率的新解析表達式，并提出了吸振器頻率比和阻尼比的經(jīng)驗擬合表達式，羅紅波等利用幅頻響應(yīng)曲線面積最小法來修正全局尋優(yōu)搜索法求得的設(shè)計參數(shù)值從而得到一組最優(yōu)參數(shù)值。Henrik等研究了夾緊性能對鏜桿動態(tài)特性的影響，Sortin等提出一種基于有限元梁和經(jīng)驗的鏜刀系統(tǒng)混合動力模型，Moetakef-Imani等給出了鏜削過程的動力學仿真方法。

識別動力學模型的等效參數(shù)研究不多，大多將等效參數(shù)作為已知條件， Miguelez、Rubio等和Houck III等將鏜桿模型作為等截面梁進行研究。實際減振鏜桿結(jié)構(gòu)(見圖1)內(nèi)部有一長段空腔用于安裝動力吸振器，鏜桿主系統(tǒng)橫截面是不等的。何山等[11]提出的基于正交多項式法的動力吸振器安裝點的等效質(zhì)量識別方法，需要測得動力吸振器安裝點的原點頻響函數(shù)，并用正交多項式進行擬合，對于減振鏜桿這類結(jié)構(gòu)較簡單的主系統(tǒng)，識別過程較復雜?？傊?，目前動力減振鏜桿等效模型的等效參數(shù)識別都是通過實驗和仿真的方法，效率低，傳統(tǒng)質(zhì)量感應(yīng)法識別過程復雜，識別精度低。特別是當鏜桿的尺寸、結(jié)構(gòu)、材料等發(fā)生改變時，必須重新建模仿真或?qū)嶒灒M時費力，本文提出一種新的識別動力減振鏜桿主系統(tǒng)等效參數(shù)的計算方法，可以快速計算出鏜桿主系統(tǒng)參數(shù)，其計算結(jié)果比等截面鏜桿計算結(jié)果更準確，效率和精度相比傳統(tǒng)方法提高。

本文將大長徑比的鏜桿看做懸臂梁，由于橫截面不等，目前廣泛應(yīng)用的均質(zhì)梁的求解公式不再適用，而且等截面懸臂梁的等效質(zhì)量計算公式也不適用于非自由端等效點的等效質(zhì)量計算。所以本文根據(jù)減振鏜桿橫截面明顯的分段特點，提出了基于歐拉—伯努利梁理論和分段連續(xù)條件的方法求解主系統(tǒng)的固有頻率和固有振型函數(shù)，再根據(jù)最大動能不變原則，推導出了主系統(tǒng)等效質(zhì)量的求解公式，由此可求解出鏜桿主系統(tǒng)所有等效參數(shù)。數(shù)值仿真結(jié)果表明，此計算方法比將鏜桿作為等截面梁計算更為準確，可準確地計算出動力減振鏜桿的主系統(tǒng)參數(shù)，從而提高動力減振鏜桿設(shè)計效率，同時適用于其他不等截面梁等效參數(shù)的求解。

1 動力減振鏜桿模型

動力減振鏜桿的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。從圖1中可以看出，鏜刀桿體、車刀轉(zhuǎn)接頭和車刀構(gòu)成主系統(tǒng)，鏜桿內(nèi)部的振芯、橡膠圈和阻尼油構(gòu)成了動力吸振器的質(zhì)量m、剛度k和阻尼c系統(tǒng)，為了設(shè)計動力吸振器系統(tǒng)，需要根據(jù)吸振器的安裝位置對主系統(tǒng)進行動力學等效，從而得到主系統(tǒng)的等效參數(shù)。忽略主系統(tǒng)阻尼，動力減振鏜桿的等效模型如圖2所示。其中，M和K即為主系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度，m，k和c是吸振器的設(shè)計參數(shù)。

圖1 減振鏜桿結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Dynamic damping boring bar

2Euler-Bernoulli經(jīng)典梁理論求解鏜桿彎曲模態(tài)

動力減振鏜桿在實際加工中為橫向振動，由于其長徑比大，所以可以使用Euler-Bernoulli經(jīng)典梁理論進行計算。根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，等截面梁自由振動的運動方程為

圖2 動力減振鏜桿等效模型Fig.2 Dynamic damping boring bar equivalent model

(1)

求解運動方程式(1)，利用分離變量法，即令y(x,t)=Y(x)T(t)

可得等截面懸臂梁的固有振型函數(shù)為

Y(x)=Acos(βx)+Bsin(βx)+
Ccosh(βx)+Dsinh(βx)

(2)

由圖1可以看出，鏜桿作為非等截面懸臂梁進行計算時，可以根據(jù)其橫截面不同，分為三段，每段長度用li表示，彎曲剛度和線密度用EIi和ρAi表示(i=1,2,3)。在刀具裝夾端建立坐標系，如圖3所示，xE為振芯質(zhì)心位置即吸振器安裝位置，也是鏜桿主系統(tǒng)的等效點位置。每段連接處的連續(xù)條件為位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力連續(xù)。

圖3 刀桿分段坐標系Fig.3 Boring bar segmented coordinate system

根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論，減振鏜桿主系統(tǒng)的振型函數(shù)Y(x)可以分段表示為

(3)

其中，

(4)

將待定系數(shù)用矩陣形式表示，即C(i)=[AiBiCiDi]T(i=1,2,3)，則振型函數(shù)可以用矩陣形式表示為

Yi(x)=[cos(βiXi) sin(βiXi) cosh(βiXi) sinh(βiXi)]

(5)

根據(jù)分段連續(xù)條件，即第i段與第i+1段在連接點xi處位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力均連續(xù)，可得

Yi(xi)=Yi+1(xi)

(6a)

(6b)

(6c)

EIiY?i(xi)=EIi+1Y?i+1(xi)

(6d)

將振型函數(shù)表達式(5)代入連續(xù)條件中(式6(a)～式6(d))，整理可得振型函數(shù)的待定常數(shù)遞推公式為

(7)

其中，矩陣A(i)和Q(i+1)為

(8)

(9)

所以，引入遞推系數(shù)矩陣Z(i)，可得遞推公式為C(i+1)=Z(i)C(i)

(10)

根據(jù)懸臂梁固定端和自由端的邊界條件，即固定端位移和轉(zhuǎn)角為0，自由端彎矩和剪力為0，可得

(11a)

(11b)

將振型函數(shù)表達式(5)代入邊界條件中(式(11a)和式(11b)，計算可得

則可得

PC(1)=0

(12a)

QC(3)=0

(12b)

由式(10)的待定系數(shù)遞推公式可得，C(3)=Z(2)Z(1)C(1)，代入式(12b)，可得

QZ(2)Z(1)C(1)=0

(13)

(14)

欲使式(14)有非零解，則其系數(shù)矩陣Γ的行列式必等于零，由此可得刀桿橫向振動的特征方程為

det(Γ)=0

(15)

特征方程式(15)只有一個未知量，即ω，求解此方程可得ωn(n=1,2,3,…)，對應(yīng)鏜桿主系統(tǒng)的第n階固有頻率。

將所求的固有頻率ωn代入線性方程組式(14)中，可求出該階模態(tài)的振型函數(shù)待定系數(shù)A1，B1，C1，D1，再代入式(10)，得到第二段和第三段的待定系數(shù)，從而得到整個刀桿的振型函數(shù)。

3 鏜桿主系統(tǒng)等效質(zhì)量和等效剛度的計算

在上一節(jié)中，由經(jīng)典梁理論分段連續(xù)原理，已經(jīng)求出了鏜桿橫向振動的固有頻率和振型函數(shù)，根據(jù)最大動能等效原則，可計算出鏜桿主系統(tǒng)的等效質(zhì)量。

等效前鏜桿最大動能為

(16)

代入上節(jié)所求的鏜桿的分段連續(xù)振型函數(shù)，可得

(17)

等效后，鏜桿單自由度系統(tǒng)的最大動能為

(18)

式中：xE為吸振器安裝位置，即等效點位置。對比等效前后的最大動能表達式(17)和式(18)，等效前后的最大動能保持不變，所以等效后的等效質(zhì)量為

(19)

等效剛度可由等效質(zhì)量與固有頻率推算得出，所以鏜桿主系統(tǒng)的等效剛度為

K=Mω2

(20)

4 減振鏜桿等效參數(shù)計算實例與結(jié)果驗證

為驗證本文提出的計算方法，以直徑32 mm長徑比為10的動力減振鏜桿為例，該減振鏜桿的基本材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)，如表1所示，其中分段位置和內(nèi)徑參數(shù)均參考圖3所示的分段坐標系。

表1 動力減振鏜桿參數(shù)

在該鏜桿的刀頭處施加掃頻激勵，測得鏜桿的頻率響應(yīng)曲線，如圖4所示，由響應(yīng)曲線可看出，減振鏜桿在第一階頻率處振動幅值最大，所以減振考慮鏜桿的第一階模態(tài)，即以下計算結(jié)果對應(yīng)鏜桿的第一階模態(tài)。

將上節(jié)所推導的計算公式，通過MATLAB編程進行計算，計算流程如圖5所示。只要輸入減振鏜桿的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)，即可計算出該減振鏜桿主系統(tǒng)的固有頻率、等效質(zhì)量和等效剛度。輸入表1中的鏜桿參數(shù)，計算結(jié)果如表2所示。

根據(jù)圖4所示的鏜桿頻率響應(yīng)曲線可得，掃頻實驗方法所測得的鏜桿固有頻率為266.67 Hz，而本文提

出的數(shù)學方法計算所得固有頻率為268.62 Hz，相比掃頻實驗結(jié)果，相差0.73%，說明本文提出的數(shù)學計算方法是準確的。

圖4 鏜桿頻率響應(yīng)曲線Fig.4 Frequency response of boring bar

圖5 MATLAB計算流程Fig.5 Calculation scheme of MATLAB

數(shù)學方法計算結(jié)果仿真方法計算結(jié)果結(jié)果相差率固有頻率/Hz268.62268.760.05等效質(zhì)量/kg0.876 40.881 40.57等效剛度/(N·mm-1)2 496.62 513.40.67

用ABAQUS軟件對減振鏜桿主系統(tǒng)進行有限元仿真，首先由模態(tài)仿真得到主系統(tǒng)的一階彎曲模態(tài)固有頻率為268.76 Hz，結(jié)果云圖如圖6所示。

圖6 有限元仿真結(jié)果云圖Fig.6 Simulation results nephogram

根據(jù)質(zhì)量感應(yīng)法[12]，在等效位置處增加一定質(zhì)量，再根據(jù)增加質(zhì)量后固有頻率的變化，求解出鏜桿主系統(tǒng)的等效質(zhì)量。Δm為增加的附加質(zhì)量，Ω為原系統(tǒng)固有頻率，ω為增加附加質(zhì)量后系統(tǒng)固有頻率。

(21)

在鏜桿等效位置設(shè)置一個RF參考點，并指定附加質(zhì)量為0.2 kg，添加附加質(zhì)量后鏜桿模態(tài)發(fā)生變化，附加質(zhì)量后主系統(tǒng)的一階彎曲模態(tài)固有頻率為242.64 Hz。質(zhì)量感應(yīng)法計算結(jié)果如表2所示，由表2可以看出，仿真計算結(jié)果與本文提出的數(shù)學計算結(jié)果相比，固有頻率僅相差0.05%，等效質(zhì)量相差0.57%，等效剛度相差0.67%，說明本文提出的數(shù)學計算方法是準確的。

為了對比將減振鏜桿作為非等截面梁和等截面梁的計算精度，本文對鏜桿截面進行以下兩種處理，并與本文提出的非等截面數(shù)學計算結(jié)果進行比較，驗證將鏜桿作為非等截面計算的必要性。

第一種等截面方法為將內(nèi)徑按長度加權(quán)平均，即截面大小為

外徑D不變

第二種等截面方法為將截面積和慣性矩按長度加權(quán)平均，即截面大小為

此動力減振鏜桿主系統(tǒng)等效參數(shù)按照等截面計算的結(jié)果如表3所示?？梢钥闯鰧p振鏜桿作為等截面計算與非等截面計算結(jié)果相差較大，說明將減振鏜桿作為非等截面計算十分必要。

表3 等截面方法計算對結(jié)果的影響

5 結(jié) 論

本文針對采用實驗和仿真的傳統(tǒng)等效參數(shù)識別方法效率不高的問題，提出了一種新的識別動力減振鏜桿主系統(tǒng)參數(shù)的簡便高效的數(shù)學計算方法，通過仿真驗證了所提出方法的有效性。主要結(jié)論如下：

(1)新的數(shù)學計算方法在建立鏜桿固有模態(tài)數(shù)學模型的基礎(chǔ)上，通過數(shù)值方法識別出動力減振鏜桿主系統(tǒng)的等效參數(shù)，為動力減振鏜桿吸振器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計奠定了基礎(chǔ)。

(2)根據(jù)新的數(shù)學計算方法編制計算機軟件，只需更改幾個簡單尺寸參數(shù)，即可計算出不同型號、不同設(shè)計尺寸的減振鏜桿主系統(tǒng)的等效參數(shù)，提高了動力減振鏜桿的設(shè)計效率。

(3)本文所提出的數(shù)學方法可直接獲得等效參數(shù)，而有限元方法還需聯(lián)合應(yīng)用質(zhì)量感應(yīng)法；而且，當減振鏜桿尺寸型號變化后有限元法仍需重復前處理和求解計算及質(zhì)量感應(yīng)法的過程，所需時間遠遠大于本文所提出的數(shù)學方法。

(4)將鏜桿視為非等截面梁比作為等截面梁計算更為準確，而且此計算方法簡單易行，也可適用于其他機械結(jié)構(gòu)不等截面梁的等效參數(shù)計算。