岸上物體經(jīng)水面折射成像的位置分析

唐 星 邵 云

(1. 南京市第八中學(xué),江蘇 南京 210003; 2. 南京曉莊學(xué)院電子工程學(xué)院,江蘇 南京 211171)

1 引言

筆者曾撰文[1]研究了人眼從空氣中看水中物體時(shí)水中物體的成像規(guī)律,本文則嘗試闡述人眼從水中看岸上物體時(shí)岸上物體的成像性質(zhì)和規(guī)律.后者更少有人撰文分析.可能很多人會(huì)認(rèn)為裸眼在水下根本不可能看清楚岸上的物體,其實(shí)不然,只要在水下裸眼前放置10倍以上的高倍放大鏡,即可大體抵消眼睛角膜前的水凹透鏡的影響,從而看清岸上稍遠(yuǎn)處的物體.對(duì)此,筆者在水下做了親眼測(cè)試,效果不錯(cuò),符合預(yù)期.本文和文獻(xiàn)[1]將有助于讀者對(duì)于光在水和空氣界面處的折射成像問(wèn)題形成一個(gè)相對(duì)完整的認(rèn)識(shí).

2 空氣中物點(diǎn)在水中成像的一種常規(guī)推理思路

由姚啟鈞《光學(xué)教程》[2]可知,圖1中像點(diǎn)S′的坐標(biāo)為

(1)

(2)

圖1 空氣中的物點(diǎn)S在水中的折射成像示意圖

則像點(diǎn)S′的軌跡方程為

(3)

根據(jù)式(3)可作出虛像S′隨入射角i的位置變化圖,見圖2,其中已設(shè)物點(diǎn)S的高度h=1 m,水的折射率n=4/3.

圖2 h=1 m處物點(diǎn)的虛像隨入射角i的位置變化圖

3 弧矢、子午虛像的由來(lái)與人眼中實(shí)際虛像的判定

由于我們的瞳孔有一定的大小,直徑在2～5 mm,因此我們需要考慮一束從光源S發(fā)出的空間細(xì)光束如何形成虛像.為此可將圖1中的折射平面Oxy繞y軸偏轉(zhuǎn)一個(gè)很小的角度θ,則三角形SAB將掃出一個(gè)空間單心發(fā)散光束.

首先討論第1種折射成像情況.

如圖3所示,當(dāng)光線SA繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ角時(shí)會(huì)形成無(wú)數(shù)條入射角相同的入射光線,它們的折射光線的折射角也相同.顯然,這些折射光線的反向延長(zhǎng)線將會(huì)聚于y軸上的同一點(diǎn)S1(即像點(diǎn)).依此類推,當(dāng)入射角i小幅變化時(shí),上述單心發(fā)散光束的折射光線的反向延長(zhǎng)線將依次會(huì)聚在y軸上的小線段S1S2范圍內(nèi),見圖4.

圖3 相同入射角的光線折射形成的虛像

圖4 視角r(或i)的變化所形成的系列虛像

接下來(lái)討論第2種折射成像情況.

圖5 成像面Oxy繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的系列虛像

然而,從圖4和圖5可以看到,人眼在水下(通過(guò)高倍放大鏡)觀察岸上的物體時(shí),該物體的弧矢虛像必然“擋”住后面的子午虛像,因此人眼通?？吹降闹荒苁乔懊娴幕∈赶?而無(wú)法透視看到后面的子午像,自然也就不會(huì)觀察到像在很遠(yuǎn)處的情況.當(dāng)然,如果物體是極小的點(diǎn)或極細(xì)的線,那么此時(shí)焦線的長(zhǎng)度理應(yīng)凸顯出來(lái),理論上人眼會(huì)同時(shí)看到不完全重疊的子午、弧矢虛像,像也理應(yīng)是模糊的,即存在像散效應(yīng).但實(shí)際上,由于人眼所看到的焦線實(shí)在太短以及人眼分辨能力的緣故,這種小點(diǎn)與細(xì)線的像散現(xiàn)象人眼在通常的視角下很難觀察到.筆者曾在近處用裸眼去仔細(xì)觀察裝滿水的臉盆底如頭發(fā)絲般粗細(xì)的細(xì)線和小點(diǎn),左看右看上看下看,基本看不出粗細(xì)和大小的明顯變化以及像散(模糊)現(xiàn)象.由此可見人眼中的子午焦線與弧矢焦線之短.這也證明了人眼所看到的只能是近處的虛像.即水下看水上的物體看到的是弧矢像,而水上看水下的物體看到的則是物體的子午像.

4 子午虛像與弧矢虛像的位置對(duì)比與分析

參照?qǐng)D4,可寫出水面上方h高度處物點(diǎn)S的弧矢像坐標(biāo)y的表達(dá)式

(4)

利用折射定律sini=nsinr可將式(4)改寫成

(5)

應(yīng)用式(5)并合并圖2,可作出弧矢、子午兩種虛像位置的對(duì)比圖6,其中已令h=1 m.可見入射角i越大(即觀察視角r越大),兩種像點(diǎn)偏離物點(diǎn)越大,但弧矢像僅在y軸上有偏移且幅度相對(duì)較小,而子午像則在x、y方向上均有大幅偏移,變得又高又遠(yuǎn).當(dāng)然,水下的人眼只能看到前面的弧矢像.

圖6顯示的是物點(diǎn)的位置(h)固定而觀察者的視角在變化的情形.但更常見的則是人眼處在水下的固定位置,而岸上的物體有一定高度的情形,例如水下看高樓.那么此時(shí)高樓各樓層的弧矢像和子午像位置又如何呢?

圖6 不同視角下弧矢像與子午像的位置對(duì)比圖

如圖7所示,設(shè)岸上物體的高度為h,水面下方附近的觀察點(diǎn)距物體的水平距離固定為l.將tani=l/h及折射定律sini=nsinr一起代入式(4)可得弧矢像的坐標(biāo)y隨h及l(fā)變化的函數(shù)

圖7 岸上物點(diǎn)S的弧矢像S′的成像示意圖

(6)

同理,將tani=l/h代入式(1)、式(2)即得子午像坐標(biāo)隨h及l(fā)的變化函數(shù)

(7)

(8)

考慮一個(gè)現(xiàn)實(shí)中可能的情形:取l=20 m,物體為一幢20層的高樓,總高60 m,則應(yīng)用式(6)、式(7)和式(8)即得在水平距離l=20 m處的水面下方附近所看到的高樓各樓層的虛像(弧矢像)位置,以及其后的子午像的位置,見圖8,其中已設(shè)地平面與水平面一致.

由圖8可見,人眼所看到的樓房的弧矢像仍在原地,但各樓層普遍抬升了約20 m,增高幅度隨樓層緩慢增加.經(jīng)計(jì)算,地平面的弧矢像高度為高樓各樓層的弧矢像和子午像位置17.6 m,而20層樓頂(60 m)的弧矢像高度則為81.9 m.這些和實(shí)際觀察相符.從圖8又可見,高樓子午像的形狀十分異怪:七樓即18 m以上的子午虛像還算中規(guī)中矩,與相應(yīng)的弧矢像接近;但七樓以下的子午虛像則變得越來(lái)越高、越來(lái)越遠(yuǎn),其中一樓即地平面的子午像竟然在無(wú)窮遠(yuǎn)處.這就是說(shuō)七樓以下樓層的子午虛像會(huì)越來(lái)越模糊.這與實(shí)際觀察的結(jié)果不符.事實(shí)上從水下看一至七層樓的虛像的清晰度差不多,這就證明了我們從水下用肉眼看岸上的物體,看到的只能是物體的弧矢像.圖9給出水下的魚眼鏡頭所拍攝的水面上方景物的照片,雖然與人眼的主動(dòng)對(duì)焦及小瞳孔成像機(jī)制有顯著差異,但圖像類似.圖中的景物圓圈是由折射光線的臨界角所致.該圖也相當(dāng)于魚眼中的水上世界(假設(shè)魚眼的視力足夠好的話).

圖8 l=20 m處水面下方附近看60 m

圖9 “魚眼”中的水上世界

5 結(jié)論

綜合以上分析可知,從水中觀察到的岸上物體的虛像有如下特點(diǎn).

(1) 每一個(gè)物點(diǎn)同時(shí)產(chǎn)生兩個(gè)虛像——弧矢像點(diǎn)和子午像點(diǎn),它們一近一遠(yuǎn)處在同一束折射光線的反向延長(zhǎng)線上.

(2) 子午像在物點(diǎn)的左上方(觀察點(diǎn)在物點(diǎn)右下方的水面下,見圖6),其位置與入射角i有關(guān),i越大即觀察者越遠(yuǎn),子午像向左上方移動(dòng)的趨勢(shì)越大.

(3) 弧矢像在物點(diǎn)的正上方,其高度也和入射角i有關(guān),i越大弧矢像也越高,只是增高的幅度沒(méi)有子午像那么大,見圖6.

(4) 當(dāng)人眼豎直向上觀察即i=0°時(shí),物點(diǎn)的子午、弧矢像點(diǎn)將重合,見圖6.從式(2)和式(5)可得此時(shí)像點(diǎn)的最低高度同為y=nh=1.333h,稱作像似高度.

(5) 由于同一視線上的弧矢像總是遮住子午像,且人眼中的弧矢、子午焦線極短,因此人眼只能觀察到近處的弧矢像,而無(wú)法透視看到后面的子午像.通過(guò)裸眼在水中透過(guò)高倍放大鏡的觀察可驗(yàn)證這一點(diǎn),參見圖8和圖9.同理,從水上看水下的物體看到的則是子午像,利用裸眼的明視距離去觀測(cè)便能輕松地驗(yàn)證這一點(diǎn).

(6) 2003年人教版高中物理教材(必修加選修)第三冊(cè)[3]中給出的水中的魚看岸上的樹的插圖10顯然是錯(cuò)誤的.它畫的是樹的子午像(參見圖8).正確的畫法應(yīng)該是在樹的正上方畫一正立的弧矢像.如圖9那樣.這里從略.

6 結(jié)束語(yǔ)

在中學(xué)物理的教學(xué)過(guò)程中,對(duì)于物點(diǎn)經(jīng)平面界面折射成像的問(wèn)題,一般教師僅用寥寥數(shù)語(yǔ)或寥寥幾筆作圖一帶而過(guò).教師對(duì)于像的具體位置及其隨視角的變化情況或有大致的了解,但往往不夠清晰,其原理更不詳.更少有人知道虛像會(huì)有兩種,水上看水下的物體看到的是物體的子午像,反之則是弧矢像,所以中學(xué)教材中出現(xiàn)了圖10這種錯(cuò)誤.雖然大學(xué)的光學(xué)教材對(duì)于界面的折射成像原理有所涉及,但均未深入討論,也鮮見有人專門撰文研究,因此筆者在研究的過(guò)程中才有了“新的發(fā)現(xiàn)”.筆者撰寫此文的目的旨在與同行們探討,本文在此權(quán)當(dāng)拋磚引玉.

圖10 魚眼中岸上樹的理論意義上的子午像