對于一道經(jīng)典傳送帶問題的再思考

李 鑫

(浙江省桐鄉(xiāng)第一中學,浙江 嘉興 314500)

傳送帶問題是高中物理經(jīng)典話題,傳送帶是力與運動以及能量問題的天然載體,大部分高考題里傳送帶運動方向都與物塊運動方向共線,2014年江蘇壓軸題中傳送帶速度與物塊速度不共線,不僅于此,此題還考查了驅(qū)動傳送帶電機功率問題,可以說是恢復(fù)高考40年來高考物理中關(guān)于傳送帶問題的集大成者．

1 原題展現(xiàn)

圖1

(2014年江蘇高考題)如圖1所示,生產(chǎn)車間有兩個相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙,甲的速度為v0．小工件離開甲前與甲的速度相同,并平穩(wěn)地傳到乙上,工件與乙之間的動摩擦因數(shù)為μ．乙的寬度足夠大,重力加速度為g．

(1) 若乙的速度為v0,求工件在乙上側(cè)向(垂直于乙的運動方向)滑過的距離s;

(2) 若乙的速度為2v0,求工件在乙上剛停止側(cè)向滑動時的速度大小v;

(3) 保持乙的速度2v0不變,當工件在乙上剛停止滑動時,下一只工件恰好傳到乙上,如此反復(fù).若每個工件的質(zhì)量均為m,除工件與傳送帶之間的摩擦外,其他能量損耗均不計,求驅(qū)動乙的電動機的平均輸出功率．

速度不共線的相對運動不算什么新話題,例如下面例題[1],是早期的一道預(yù)賽真題,這類問題的關(guān)鍵是滑動摩擦力的方向與相對運動的方向相反,相對速度方向由矢量加法所決定,滑動摩擦力的大小仍是μN．

圖2

例題.一個質(zhì)量m=20kg的鋼件,架在兩根完全相同的、平行的長直圓柱上,如圖2所示,鋼件的重心與兩柱等距,兩柱的軸線在同一水平面內(nèi),圓柱的半徑r=0.025m,鋼件與圓柱間的滑動摩擦系數(shù)μ=0.20,兩圓柱各繞自己的軸線做轉(zhuǎn)向相反的轉(zhuǎn)動,角速度ω=40rad/s,若沿平行于柱軸方向施加力推著鋼件做速度為v0=0.05m/s的勻速運動,推力是多大?設(shè)鋼件左右受光滑槽限制(圖中未畫出),不發(fā)生橫向運動．

圖3

2 相對運動問題討論

2.1 分析過程

回歸到高考問題,如圖3所示,當工件進入傳送帶乙(下文簡稱乙),工件相對于乙的運動方向沿右下方,所以受到的摩擦力沿左上方.

其實此題前兩問是同一個問題的兩個側(cè)面,實際上,無論乙的速度如何,工件的速度如何,只要工件停止側(cè)向滑動,在沿乙速度方向一定和乙共速.

以乙為參考系,顯然工件相對于乙做勻減速直線運動,摩擦力和初速度方向就是圖3標明的方向,所以摩擦力方向不變,意味著摩擦力在x,y方向上分量不變,即兩個方向上加速度不變．所以對于第(2)問有

(1)

對于任意初速度比都有

(2)

即x,y方向上加速度比就是工件和乙初速度之比,在兩個方向上分別做勻減速直線運動和勻加速直線運動,當勻減速運動結(jié)束時候,勻加速運動也剛好結(jié)束．

事實上,傳送帶乙運動的方向甚至不需要和工件速度方向垂直,只要傳送帶尺度合適,在任意速度夾角下都有這樣的結(jié)論．

由于兩個方向上運動等時性，有

(3)

2.2 相對運動的結(jié)論

這個結(jié)論分析起來似乎不難,但是有些悖于直覺,覺得過于簡單,筆者和諸位前輩討論的時候,大家一開始都有所懷疑此結(jié)論,最大的問題在于摩擦力方向是否不變．考生在考場面對此題,在以前沒有仔細研究過此題時,第(2)問是有相當難度的,很容易認為摩擦力方向改變導(dǎo)致無從下手．不過命題者通過第(1)問的鋪墊,是有意引導(dǎo)學生往這個結(jié)論上“猜”的．

圖4

實際上,由于工件相對于乙做勻減速直線運動,所以兩個方向上運動可以視作此運動的分運動,顯然合運動和分運動具有等時性,而且和速度分量的夾角無關(guān)．

2.3 工件相對地面運動

如果以地面為參考系,工件如何運動?由于摩擦力大小方向均不變,工件初速度方向和摩擦力方向不共線,所以物塊做的是勻變速曲線運動,也可以說做的是類斜拋運動．軌跡如圖4所示，這個結(jié)論也很有意思,筆者就這個結(jié)論設(shè)計了兩個問題.

2.3.1 工件結(jié)束運動時相對于地面的位移

工件相對于傳送帶的位移為

(4)

乙相對于地面的位移為

圖5

(5)

根據(jù)余弦定理可知

(6)

2.3.2 工件在運動過程中速度的最值

開始運動時,工件速度方向與加速度的方向夾角為鈍角,共速時是銳角,所以工件先減速后加速,必然有速度最小值．當加速度方向和速度方向垂直時,速度出現(xiàn)最小值.

如圖4,顯然α=β.所以

(7)

即最小速度為

對于此問的求解,學生們提供了很多有意思的方案，限于篇幅,不再枚舉．通過對試題的挖掘,有益于提升學生追問試題本源的動力,是實踐科學探究和培育物理學科素養(yǎng)的良好路徑．從表面上看,工件對地軌跡是拋物線和兩個方向上直線運動同時結(jié)束的結(jié)論是相悖的,但本質(zhì)上卻是和諧統(tǒng)一的．

3 驅(qū)動電機問題

3.1 分析過程和結(jié)論

本題第2個難點是分析傳送的驅(qū)動電機,關(guān)于驅(qū)動電機能量的分析學生們很容易陷入思維混亂,遑論本題需要在兩個維度上分析清楚．所以本文詳細分析速度共線情況,以期挖掘出一些本源的內(nèi)容．

倘若工件速度和傳送帶速度方向共線,假設(shè)傳送帶足夠長,已知接觸面摩擦因數(shù)為μ,電動機驅(qū)動傳送帶勻速傳動,工件初速度為v,傳送帶速度是v′.

3.1.1 工件加速

若v

(8)

s′=v′t.

(9)

由于相對運動產(chǎn)生的熱量為

Q=μmg(s′-s).

(10)

根據(jù)能量守恒,電動機在這個過程提供能量為E=Q+Ek=μmgs′.

當v=0,有2s=s′,即Q=Ek.

初速度為0,即對應(yīng)著本題工件在乙上加速情況．能量關(guān)系非常清晰,傳送帶給工件提供動能,也會有等量熱量損耗,所以驅(qū)動電機需要給傳送帶兩倍動能．

3.1.2 工件減速

若v>v′,工件減速位移為

根據(jù)能量守恒,電動機在這個過程提供能量為E=Q-Ek=-μmgs′.

這個值為負值,工件損耗的動能比產(chǎn)生的熱量要多,可以額外供給能量給傳送帶,無需驅(qū)動電機供給能量.因為這里的傳送帶模型是理想模型,忽略了傳送帶輪軸能量損耗,也就是說傳送帶空載情況下不需要提供電能,所以物塊減速時動能損耗比產(chǎn)生熱量要多,額外的就給了傳送帶．從力的角度來說,傳送帶給物塊的力是阻力,而物塊給傳送帶是動力,相當于工件給傳送帶做正功,給傳送帶補給了能量．

當v′=0,有s′=0,即Q=Ek,就是工件動能全部轉(zhuǎn)化成了熱量,電動機無需供給能量．對應(yīng)的恰好是此題工件側(cè)向滑動的模型．

3.2 第(3)問求解

把傳送帶上能量關(guān)系分開來詳細討論,學生對于驅(qū)動電機供能關(guān)系一目了然,清晰明確，而且也理解了理想傳送帶的局限性．

4 結(jié)論

本文首先指出速度不共線的相對運動問題大多為自主招生和預(yù)賽難度的試題,對于高考學生,有相當難度．于是文章詳細分析此題相對運動模型,發(fā)現(xiàn)工件側(cè)向減速到0時,沿傳送帶乙方向必然同時加速完成,而且與二者速度夾角無關(guān),指出此題前兩問展示的是一個更廣延結(jié)論下的一個特例．然后文章探討了工件相對于傳送帶和地面做何運動,分別是勻減速直線運動和類斜拋運動．最后分析了驅(qū)動電機問題,給出了工件加速和減速情況下驅(qū)動電機能量分配問題,強調(diào)理想傳送帶是忽略轉(zhuǎn)軸間能量損耗,通過分析大大優(yōu)化了解題過程,使得學生對于此題驅(qū)動電機功率問題認知更加清晰深刻．