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      運(yùn)用正余弦定理破解三解形問題

      2019-04-02 06:07:42曾光
      廣東教育·高中 2019年1期
      關(guān)鍵詞:三邊余弦定理化簡

      曾光

      解三角形這部分知識是高考重點考查內(nèi)容,每年都會有一道選擇填空題,或一道解答題. 考查的形式主要分為兩大類,第一類為直接給出邊角,第二類給出一個等式. 總體來說第一類難度較第二類小. 雖然難度不算大,可是有些同學(xué)還是感到心里沒底,尤其是遇到第二類有時能解對,但有時又解不出來. 歸納原因,還是對解題的規(guī)律沒摸透. 下面我們一起來看看今年高考題中考查解三角形知識的題目,一起找到解題的規(guī)律.

      第一類:已知條件直接給出邊和角的值.

      【思路】根據(jù)正余弦定理,對于三角形的三邊三角,我們只要知道三個條件(不包括三角)就可以求其它的邊和角,我們簡稱“知三求三”.

      【2018年全國Ⅱ卷文7】 在△ABC中,BC=1,AC=5,則AB=( 【小結(jié)】第一類的問題主要是根據(jù)已知條件合理選用正余弦定理解題,情況有以下四種:

      已知兩邊和一邊對角,求另一對角,用正弦定理.

      已知兩邊和一邊對角,求第三條邊,用余弦定理.

      已知兩邊和夾角,用余弦定理.

      已知三邊,求角,用余弦定理.

      第二類:已知條件不給出邊和角的值,而是給出含有邊和角的等式,需要對這些等式進(jìn)行整理化簡后才能得到角和邊的信息.

      此類問題通常從兩個解題思路入手:

      【1】如果等式兩邊都有正弦函數(shù),往往考慮運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互換.

      【2】如果等式出現(xiàn)三角形的三邊的平方關(guān)系,可以考慮運(yùn)用余弦定理進(jìn)行化簡.

      【2018年全國Ⅰ卷文16】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為________.

      【分析】本題給出的兩個條件等式都有明顯的特點,bsinC+csinB=4asinBsinC,式子兩邊都有正弦函數(shù),根據(jù)第一點思路,可以運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互換. b2+c2-a2=8式子的左邊是三邊的平方關(guān)系,根據(jù)第二點思路,可以用余弦定理化簡.

      【2018年全國Ⅲ卷文11】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c. 若△ABC的面積則(? ? ? )

      【分析】已知條件出現(xiàn)了三角形的三邊的平方關(guān)系,根據(jù)第2點思路,可以考慮用余弦定理進(jìn)行化簡,然后再觀察.

      【解析】根據(jù)余弦定理cos對比前面兩個式子得sinC=cosC,因此C,答案選C.

      【2018年北京卷文14】若△ABC的面積為2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=_______;的取值范圍是_________.

      【分析】本題的已知條件同樣出現(xiàn)了三角形的三邊的平方關(guān)系,根據(jù)第2點思路,可以考慮用余弦定理進(jìn)行化簡,然后再觀察.

      【小結(jié)】兩邊的比例關(guān)系往往可以轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系求范圍.

      【2018年天津卷文16】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c. 已知bsinA=acos(

      (Ⅰ)求角B的大小;

      (Ⅱ)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.

      【分析】本題給出的條件等式兩邊皆有邊,可運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊化角。對于第二問,已知兩邊一角,可運(yùn)用余弦定理求解.

      【解析】根據(jù)正弦定理, bsinA=acos(B-), 即 bsinA=

      ,所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=【總結(jié)】縱看以上今年6個涉及解三解形的高考題,分布在不同的試卷,范圍廣,有的是全國Ⅰ卷,有全國Ⅱ卷,也有北京卷浙江卷等,因此,熟練解決以上問題意義重大. 請同學(xué)們好好體會兩類問題及其對應(yīng)的解題思路!

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