徑向聲子晶體隔聲特性?

王興國(guó) 舒海生 張 靚 劉秀林 王鳳娟

(1齊齊哈爾大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 齊齊哈爾 161006)

(2哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 哈爾濱 150001)

(3黑龍江交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 齊齊哈爾 161002)

0 引言

聲子晶體作為一種人工周期結(jié)構(gòu)功能材料，具有控制波傳播的特性，從而受到了學(xué)界的廣泛關(guān)注[1?5]。近年來，聲子晶體在帶隙理論和帶隙算法方面均取得重要進(jìn)展。聲子晶體模型是借鑒和模仿自然晶格結(jié)構(gòu)形式，即在直角坐標(biāo)系中構(gòu)造聲子晶體模型，這種周期性結(jié)構(gòu)在一定程度上已經(jīng)制約了該領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展。在聲子晶體帶隙的產(chǎn)生本質(zhì)上應(yīng)根源于其內(nèi)在的平移周期性，然而我們認(rèn)為能夠激發(fā)帶隙的并不僅限于這種周期特性。目前，我們已經(jīng)做了一些廣義聲子晶體方面的研究[6?8]，成功地將廣義周期性的理念引入到曲線坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系下，例如：在曲線坐標(biāo)系下構(gòu)建出廣義聲子晶體曲梁結(jié)構(gòu)；在柱坐標(biāo)系下構(gòu)建出一維廣義聲子晶體薄圓板以及壓電型廣義聲子晶體薄圓板。需要指出的是，Torrent等[9]提出了一類徑向波晶體概念；Li等[10]和Ma等[11]構(gòu)造了兩類徑向聲子晶體，針對(duì)Lamb波在其中的傳播特性進(jìn)行了研究，并指出這類結(jié)構(gòu)可用于結(jié)構(gòu)的探傷；Ye等[12]對(duì)兩種流體組成的復(fù)合球殼對(duì)中心點(diǎn)聲源的透射系數(shù)與反射系數(shù)進(jìn)行了研究，但是并沒有針對(duì)固體情況進(jìn)行探索，也未揭示出帶隙的產(chǎn)生機(jī)理。

在以上研究的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步構(gòu)建了柱坐標(biāo)系下具有徑向周期性的一維徑向聲子晶體柱殼。柱殼的振動(dòng)與聲輻射問題一直是結(jié)構(gòu)聲學(xué)的重點(diǎn)，文獻(xiàn)[13-18]分別采用解析法和數(shù)值法討論了單雙層圓柱殼的振動(dòng)與聲輻射性能，這些研究主要集中在圓柱殼結(jié)構(gòu)受簡(jiǎn)諧力作用下的振動(dòng)與聲輻射，而對(duì)于內(nèi)部聲源作用下的周期圓柱殼的外場(chǎng)聲輻射問題的研究較少。隨著靜音設(shè)備和減振隔振技術(shù)的發(fā)展，機(jī)械力引起的噪聲得到了有效的控制，使得內(nèi)部聲激勵(lì)殼體的振動(dòng)及聲輻射的研究更加重要。為此我們針對(duì)聲波在徑向聲子晶體柱殼內(nèi)的軸對(duì)稱傳播問題展開研究，力圖發(fā)現(xiàn)一些有意義的現(xiàn)象并研究其產(chǎn)生機(jī)理，以期能夠?yàn)榇祟惤Y(jié)構(gòu)的減振降噪提供一種新的原理和技術(shù)途徑。

1 理論分析

圖1為我們所構(gòu)建的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。圖中，徑向聲子晶體柱殼是由兩種不同彈性常數(shù)和密度的固體介質(zhì)材料A和B在r方向上交替嵌套排列形成的一維柱狀周期結(jié)構(gòu)；聲波入射空間和出射空間流體介質(zhì)區(qū)域分別用I和II來表示。

圖1 線聲源和徑向聲子晶體柱殼結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of the line source and cylindrical shell of radial phononic crystals

在線聲源激勵(lì)下，能量的傳輸途徑為聲源-內(nèi)部流體介質(zhì)-徑向聲子晶體柱殼-外部流體介質(zhì)，故柱殼內(nèi)外流體介質(zhì)存在聲輻射，而殼體將產(chǎn)生振動(dòng)，需對(duì)聲場(chǎng)和結(jié)構(gòu)場(chǎng)分別進(jìn)行分析。

1.1 聲場(chǎng)方程

線聲源作用下，區(qū)域I內(nèi)入射波場(chǎng)的聲壓表達(dá)式為

其中，Ain為待定系數(shù)，為漢克爾函數(shù)，k0=ω/c0，c0代表聲腔內(nèi)流體介質(zhì)的聲速。

由于流體介質(zhì)與徑向聲子晶體的阻抗特性不同，在區(qū)域I內(nèi)必然還存在反射波。反射波場(chǎng)聲壓的表達(dá)式為

其中，R0為待定系數(shù)，J0為貝塞爾函數(shù)。

故內(nèi)部聲腔總的聲壓表達(dá)式為

在區(qū)域II(r>r2N,N為總周期數(shù))存在著透射聲場(chǎng)，透射波的聲壓表達(dá)式為

其中，T0為待定系數(shù)，k3=ω/c3，c3為外部流體介質(zhì)的聲速。

區(qū)域I、II聲場(chǎng)的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度表達(dá)式為[19]

其中，ρ0、ρ3分別代表柱殼內(nèi)外流體的密度。

聯(lián)立式(1)、式(2)、式(4)，推導(dǎo)出聲壓透射TR和反射系數(shù)RF表達(dá)式為

隔聲量的一般通式可表示為

聯(lián)立式(6)、式(7)即可推導(dǎo)出徑向聲子晶體柱殼隔聲量的具體表達(dá)式。

徑向聲子晶體柱殼內(nèi)外側(cè)的聲壓級(jí)之差為

其中，IL為聲壓級(jí)之差，Lout、Lin分別表示柱殼內(nèi)外層的聲壓級(jí)。式(8)中，

1.2 結(jié)構(gòu)場(chǎng)方程

在中心線聲源激勵(lì)下，彈性固體中只存在縱波。縱波在徑向聲子晶體柱殼中傳播的控制方程表示為[20]

式(10)中，urj代表徑向位移，cLj=為縱波的波速，λ和μ為拉梅常數(shù)，j=1,2代表任意組元中的子層1和子層2。

方程(10)的通解表示為

其中，C、D為待定系數(shù)，J1、Y1分別表示一階第一類和第二類柱貝塞爾函數(shù)，kj為波數(shù)。

徑向應(yīng)力表示為

式(11)、式(12)即為徑向聲子晶體柱殼在聲波激勵(lì)下徑向位移與應(yīng)力的表達(dá)式。

本文重點(diǎn)關(guān)注的是反射聲場(chǎng)和透射聲場(chǎng)的大小及其分布情況，而采用力學(xué)狀態(tài)向量傳遞矩陣法，可以直接將內(nèi)外聲場(chǎng)與結(jié)構(gòu)場(chǎng)聯(lián)立起來求解透射系數(shù)和反射系數(shù)，進(jìn)而能夠消除求解結(jié)構(gòu)場(chǎng)各周期組元待定系數(shù)的復(fù)雜性。鑒于在之前的研究中詳細(xì)地推導(dǎo)了徑向波在徑向聲子晶體柱殼中由內(nèi)向外傳播的力學(xué)狀態(tài)向量傳遞矩陣，本文在計(jì)算過程中直接引用相關(guān)方程[21]。

求解透射系數(shù)以及反射系數(shù)的前提需先求出未知系數(shù)R0和T0，應(yīng)用聲固耦合協(xié)調(diào)條件來進(jìn)行求解，即在柱殼內(nèi)壁(r0)和柱殼外壁(r2N)界面處固體和流體的法向振速相等、固體的法向正應(yīng)力與流體的聲壓相等：

求解式(13)即可求出系數(shù)R0和T0。

2 數(shù)值計(jì)算和有限元仿真

為了能夠說明問題的本質(zhì)，我們進(jìn)行一些數(shù)值算例分析。假定柱殼內(nèi)外的流體介質(zhì)為理想狀態(tài)下的水(ρ0/3=1000 kg/m3,c0/3=1480 m/s)；柱殼本體結(jié)構(gòu)的材料參數(shù)如表1所示。

表1 線彈性材料參數(shù)Table 1 Linear elastic material parameters

2.1 單一材質(zhì)柱殼隔聲性能分析

2.1.1 殼體厚度(d)

圖2 聲波在不同厚度鋼質(zhì)柱殼中傳播時(shí)隔聲量頻響曲線Fig.2 The sound insulation frequency response curve when acoustic waves propagate in steel shells with dif f erent thicknesses

首先分析殼體的厚度對(duì)隔聲性能的影響。圖2給出了在聲腔尺寸r0=0.2 m情況下，聲波在不同厚度(d)鋼質(zhì)柱殼中傳播時(shí)隔聲量頻響曲線。觀察圖2我們可以發(fā)現(xiàn)，這四條隔聲量頻響曲線均存在較為密集的共振峰和節(jié)點(diǎn)，當(dāng)聲波頻率接近于TL曲線節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)頻率時(shí)，聲波得到了一定程度上的抑制；相反，當(dāng)入射聲波頻率接近共振峰對(duì)應(yīng)頻率時(shí)，該結(jié)構(gòu)顯然并沒有起到隔聲的效果。此外，由于聲波多重反射的相干性，四條曲線表現(xiàn)出一定的周期性，其隨著柱殼厚度d的增加，周期數(shù)目增多，周期變小。

縱觀全圖，就隔聲效果而言，隨著d的增加，TL曲線的數(shù)值并沒有顯著變化，在低頻范圍內(nèi)(0.1 kHz～2 kHz)TL的值有略微增加，而在高頻處TL的最大值穩(wěn)定在30 dB左右，顯然單純地增加柱殼厚度能夠?qū)Φ皖l聲波進(jìn)一步產(chǎn)生一定程度的抑制作用。

2.1.2 聲腔尺寸(r0)

將柱殼厚度統(tǒng)一設(shè)定為0.16 m，分別對(duì)聲腔尺寸為0.2 m、0.5 m、1.0 m和2.0 m的四種鋼質(zhì)柱殼進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，相應(yīng)的隔聲量頻響曲線如圖3所示。對(duì)比圖3可以發(fā)現(xiàn)，隨著聲腔尺寸的擴(kuò)大，隔聲量頻響曲線的包絡(luò)線周期數(shù)目是不變的，但其峰谷數(shù)目增多。這表明聲腔尺寸影響峰谷的位置以及疏密程度，而殼體厚度控制著包絡(luò)線的數(shù)目。

對(duì)于聲腔尺寸的增大意味著波陣面的擴(kuò)大，文獻(xiàn)[7]已經(jīng)證明了波陣面對(duì)近場(chǎng)波的作用較為明顯，而對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)波的影響較小，所以單材質(zhì)柱殼會(huì)表現(xiàn)出隨著聲腔尺寸的增大，低頻聲波的衰減逐漸越小，而高頻聲波的衰減量幾乎沒有變化這一現(xiàn)象。

2.1.3 結(jié)構(gòu)材料

由隔聲質(zhì)量作用定律可知，結(jié)構(gòu)材料特性阻抗的不同，將導(dǎo)致不同材質(zhì)殼體的隔聲性能也不相同。圖4給出了同一厚度(d=0.16 m)和聲腔尺寸(r0=0.2 m)下，不同材質(zhì)柱殼隔聲量的頻響曲線圖。明顯可以發(fā)現(xiàn)，除部分共振峰位置外，單質(zhì)柱殼表現(xiàn)出特性阻抗越大，隔聲能力越強(qiáng)。

2.2 徑向聲子晶體柱殼的隔聲特性分析

針對(duì)由鋼(A)、硬橡膠(B)兩種材料組成的徑向聲子晶體柱殼進(jìn)行隔聲特性分析，組元及聲腔的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)如表2所示。為了能夠說明問題同時(shí)便于和單質(zhì)柱殼隔聲能力進(jìn)行對(duì)比，此處，我們針對(duì)四周期的徑向聲子晶體柱殼模型進(jìn)行分析。

圖3 不同聲腔尺寸殼體的隔聲量曲線Fig.3 The sound insulation curve of the shells with dif f erent acoustic cavities

圖4 不同材料殼體的隔聲量曲線Fig.4 The sound insulation curve of dif f erent material shells

表2 結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)Table 2 Structural dimension parameters

根據(jù)第1節(jié)的理論分析，對(duì)徑向聲子晶體柱殼的透射系數(shù)和隔聲量進(jìn)行計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，徑向聲子晶體柱殼在中高頻域(13.2 kHz～57.1 kHz)內(nèi)均存在一個(gè)明顯的聲波帶隙包絡(luò)線。在聲波帶隙范圍內(nèi)，透射系數(shù)曲線的數(shù)值都小于1，隔聲量曲線的數(shù)值都在0 dB以上，最大隔聲量為86.51 dB，明顯高于單質(zhì)鋼和硬橡膠柱殼，說明聲波得到有效的抑制；而在低頻范圍內(nèi)徑向聲子晶體與單一材質(zhì)殼體的隔聲量并沒有顯著的區(qū)別。

圖5 徑向聲子晶體柱殼的透射系數(shù)和隔聲量頻響曲線Fig.5 Transmission coefficient and sound insulation frequency response curve of cylindrical shell of radial phononic crystal

圖6 不同周期數(shù)下徑向聲子晶體柱殼的隔聲量頻響曲線Fig.6 The sound insulation frequency response curve of cylindrical shell of radial phononic crystals in dif f erent cycles

由質(zhì)量定律可知，增加單一材質(zhì)殼體的壁厚來提高隔聲量并不是一種高效的手段，在第2.1節(jié)針對(duì)單一材質(zhì)柱殼隔聲性能進(jìn)行了分析，此處為了便于對(duì)比，圖6給出了與單質(zhì)鋼柱殼相同厚度的徑向聲子晶體柱殼的隔聲量曲線。可以看到，隨著殼體總周期數(shù)目N(相當(dāng)于柱殼的壁厚)的增加，中高頻處帶隙內(nèi)的隔聲量顯著增加，而在0.1 kHz處的隔聲量略有增加。由此可見，徑向聲子晶體柱殼在帶隙范圍內(nèi)表現(xiàn)出來的特性突破了聲學(xué)中質(zhì)量定律的限制，即可以實(shí)現(xiàn)厚度增加一倍，隔聲量增加一倍的效果。

2.3 有限元仿真驗(yàn)證

采用COMSOL 5.3聲固耦合模塊對(duì)四周期徑向聲子晶體柱殼隔聲性能進(jìn)行有限元仿真驗(yàn)證。由于軟件不便于拾取徑向聲子晶體柱殼的隔聲量，而可以拾取柱殼內(nèi)外聲場(chǎng)的聲壓級(jí)，其具體數(shù)值由聲源功率所調(diào)控，考慮到僅計(jì)算內(nèi)聲場(chǎng)或外聲場(chǎng)的聲壓級(jí)曲線并不能體現(xiàn)徑向聲子晶體柱殼的隔聲特性，所以此處針對(duì)徑向聲子晶體柱殼內(nèi)外聲場(chǎng)與結(jié)構(gòu)場(chǎng)接觸面的聲壓級(jí)之差進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)根據(jù)式(8)給出數(shù)值計(jì)算結(jié)果，并將兩者計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從而可以驗(yàn)證理論分析的正確性，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

圖7 徑向聲子晶體柱殼的內(nèi)外聲壓級(jí)之差頻響曲線Fig.7 The dif f erence frequency response curve of the inner and outer sound pressure level of cylindrical shell of radial phononic crystals

對(duì)比兩條頻響曲線可知，就帶隙位置以及衰減量而言，有限元仿真結(jié)果與數(shù)值結(jié)果幾乎完全一致，從而驗(yàn)證了理論分析和數(shù)值計(jì)算相關(guān)結(jié)論的正確性。

3 流體介質(zhì)參數(shù)對(duì)TL影響規(guī)律

隔聲量的表達(dá)式與內(nèi)外聲場(chǎng)流體介質(zhì)以及徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)場(chǎng)的本體結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。目前對(duì)于本體結(jié)構(gòu)中材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)聲子晶體彈性波帶隙的影響研究很多，故在本節(jié)中，主要針對(duì)聲場(chǎng)流體介質(zhì)參數(shù)對(duì)隔聲量的影響進(jìn)行分析。表3給出了部分常用流體介質(zhì)的聲學(xué)常數(shù)。

表3 流體介質(zhì)的聲學(xué)常數(shù)表Table 3 Acoustic constants of the f l uid medium

3.1 內(nèi)聲場(chǎng)流體介質(zhì)特性阻抗

假定徑向聲子晶體柱殼的本體結(jié)構(gòu)和外聲場(chǎng)流體介質(zhì)(理想狀態(tài)下的流體水)固定不變，通過改變內(nèi)部流體介質(zhì)的特性阻抗來探索隔聲量頻響曲線的變化規(guī)律。

當(dāng)內(nèi)部聲場(chǎng)介質(zhì)的阻抗很小時(shí)，隔聲量頻響曲線峰谷相對(duì)較多，隨著阻抗的增加，其數(shù)量也逐漸減少。圖8及圖5(b)表現(xiàn)出一個(gè)共同點(diǎn)，即聲波帶隙的位置完全相同，表明聲波帶隙的位置完全是由徑向聲子晶體本體結(jié)構(gòu)所調(diào)控。

3.2 外聲場(chǎng)流體介質(zhì)特性阻抗

接下來，假定殼體內(nèi)腔的流體介質(zhì)為水，徑向聲子晶體本體結(jié)構(gòu)不變，改變殼體外部聲場(chǎng)流體的特性阻抗參數(shù)，使外部聲場(chǎng)介質(zhì)的特性阻抗逐漸增大，研究隔聲量曲線的變化規(guī)律。

圖8 徑向聲子晶體柱殼內(nèi)腔流體參數(shù)對(duì)隔聲量的影響Fig.8 The inf l uence of internal f l uid parameters of cylindrical shell of radial phononic crystal on the sound insulation

由圖9可以看出，在整個(gè)頻率區(qū)間內(nèi)曲線的疏密程度幾乎是不變的，同時(shí)聲波帶隙的位置也是一致的。然而在圖9(a)中，隔聲量曲線在帶隙范圍內(nèi) (30 kHz附近處)存在明顯的共振峰，而其他曲線并沒有出現(xiàn)這一現(xiàn)象，通過進(jìn)一步分析可知此共振峰位置正對(duì)應(yīng)于表面波模態(tài)頻率，即出現(xiàn)表面局域態(tài)現(xiàn)象。而彈性波帶隙內(nèi)表面局域態(tài)現(xiàn)象出現(xiàn)與否，與聲子晶體材料的排列順序有關(guān)[22?23]。此處，我們進(jìn)一步討論探索聲波帶隙內(nèi)表面局域態(tài)現(xiàn)象的出現(xiàn)與徑向聲子晶體材料(軟/硬)和內(nèi)外流體介質(zhì)(輕/重流體)的排列順序的關(guān)系。通過多組數(shù)值計(jì)算，得出了表面局域態(tài)現(xiàn)象的出現(xiàn)規(guī)律，如表4所示。

首先，當(dāng)內(nèi)外流體介質(zhì)采用輕流體排列時(shí)，隔聲量頻響曲線帶隙范圍定會(huì)出現(xiàn)表面局域態(tài)現(xiàn)象，相反，采用重流體排列時(shí)，則不會(huì)出現(xiàn)；當(dāng)內(nèi)外流體介質(zhì)與徑向聲子晶體組元采用輕/重流體-軟/硬材料或重/輕流體-硬/軟材料組合排列時(shí)，會(huì)出現(xiàn)表面局域態(tài)現(xiàn)象，相反則不會(huì)出現(xiàn)。結(jié)果表明，隔聲量頻響曲線是否會(huì)在表面波模態(tài)對(duì)應(yīng)頻率處出現(xiàn)表面局域態(tài)現(xiàn)象，不僅與徑向聲子晶體柱殼組元材料排列順序(即自由表面層的波速)有關(guān)，同時(shí)還受內(nèi)外聲場(chǎng)介質(zhì)的特性阻抗影響。

圖9 徑向聲子晶體柱殼外部聲場(chǎng)流體參數(shù)對(duì)隔聲量的影響Fig.9 The inf l uence of external acoustic f i eld f l uid parameters of cylindrical shell of radial phononic crystals on the sound insulation

表4 表面局域態(tài)現(xiàn)象(+代表存在，?代表不存在)Table 4 The surface localized modes(+represents existence,?represents nonexistence)

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了徑向聲子晶體柱殼的模型。采用力學(xué)狀態(tài)向量傳遞矩陣法將內(nèi)外聲場(chǎng)與結(jié)構(gòu)場(chǎng)的力學(xué)量相結(jié)合，系統(tǒng)地研究了在中心線聲源激勵(lì)下聲波在徑向聲子晶體柱殼中的傳播特性，并與單一材質(zhì)柱殼中的傳播規(guī)律進(jìn)行對(duì)比分析；然后借助有限元方法對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證；最后重點(diǎn)討論內(nèi)外聲場(chǎng)流體介質(zhì)對(duì)隔聲量的影響規(guī)律。研究表明：

(1)聲波在徑向聲子晶體柱殼傳播過程中，聲波帶隙的出現(xiàn)能有效地抑制聲波由內(nèi)向外的傳播；此外，其在帶隙范圍內(nèi)表現(xiàn)出來的隔聲特性已經(jīng)突破聲學(xué)中的質(zhì)量定律的限制，當(dāng)徑向聲子晶體柱殼的壁厚增加一倍時(shí)，帶隙范圍內(nèi)的隔聲量數(shù)值顯著增加近一倍。

(2)徑向聲子晶體內(nèi)外聲場(chǎng)流體參數(shù)對(duì)隔聲量頻響曲線峰谷的疏密程度會(huì)產(chǎn)生影響，但并不影響聲波帶隙的位置，帶隙的位置是由徑向聲子晶體本體結(jié)構(gòu)所決定。此外，隔聲量頻響曲線是否會(huì)在表面波模態(tài)對(duì)應(yīng)頻率處出現(xiàn)表面局域態(tài)現(xiàn)象，不僅僅與徑向聲子晶體柱殼組元材料排列順序(即自由表面層的波速)有關(guān)，同時(shí)還要受內(nèi)外聲場(chǎng)介質(zhì)的特性阻抗的制約，即由內(nèi)外聲場(chǎng)和結(jié)構(gòu)場(chǎng)介質(zhì)共同決定。

本文的研究對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)性，同時(shí)也對(duì)隔聲問題提供一種新的解決途徑，拓寬了減振降噪思路。例如，通過合理設(shè)計(jì)徑向聲子晶體的材料和結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以構(gòu)造出具有不同隔聲性能的隔聲罩，若進(jìn)一步結(jié)合現(xiàn)有隔聲罩原理(如附著各類吸聲材料)進(jìn)行集成，那么極有可能獲得性能更為優(yōu)異的新型隔聲罩。