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    挖掘題目價值 發(fā)展學(xué)生思維

    2021-08-17 09:59:27欒功
    關(guān)鍵詞:挖掘高考題目

    欒功

    [摘? ?要]高考試題凝聚了命題專家的智慧,深入挖掘高考題目的教學(xué)價值,對發(fā)展學(xué)生思維,提高學(xué)生的解題能力有實際意義.

    [關(guān)鍵詞]高考;題目;價值;挖掘;思維

    [中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058(2021)20-0001-04

    高三復(fù)習(xí)課中經(jīng)常遇到高考真題的講評,那么如何深入挖掘這些題目的價值,深度發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維呢?筆者以2019年高考全國Ⅲ卷理科第20題的探究為例,和一線教師交流探討.

    一、真題溯源

    題目:已知函數(shù)[f(x)=2x3-ax2+b].

    (1)討論[f(x)]的單調(diào)性;

    (2)是否存在[a],[b],使得[f(x)]在區(qū)間[0,1]的最小值為[-1]且最大值為1?若存在,求出[a],[b]的所有值;若不存在,說明理由.

    題源1: 湘教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修2-2第45頁習(xí)題8第3題:

    設(shè)函數(shù)[fx=ax3-3ax2+ba>0]在區(qū)間[1, 4]上有最大值[23],最小值[3],求[a],[b]的值.

    題源2: 高等學(xué)校教材《數(shù)學(xué)分析講義(第五版上冊)》第285頁:

    若函數(shù)[fx]在閉區(qū)間[a, b]連續(xù),在開區(qū)間[a, b]內(nèi)可導(dǎo),且[x1],[x2],…,[xn]是函數(shù)[fx]在開區(qū)間[a,b]內(nèi)的所有駐點,則函數(shù)值[([n+2])個數(shù)][fa],[fx1],[fx2],…,[fxn],[fb]中最小者就是函數(shù)[fx]的最小值,最大者就是函數(shù)[fx]的最大值.由此可見,求可導(dǎo)函數(shù)的最值就歸結(jié)為求可導(dǎo)函數(shù)在駐點及區(qū)間端點函數(shù)值中的最值.

    評注:第(1)問考查含參多項式函數(shù)的單調(diào)性.因為導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù),所以需要對參數(shù)分類討論,這對考生嚴(yán)密的邏輯推理能力和掌握的數(shù)學(xué)思想方法都有一定的要求.第(2)問以更為開放的形式呈現(xiàn),討論閉區(qū)間上的最值問題,考生既可以借助第(1)問所得函數(shù)[fx]的單調(diào)性,結(jié)合題設(shè)解決問題,也可以根據(jù)函數(shù)[fx]在閉區(qū)間[0,1]上的特征和最值的求解原理解決問題.試題從多角度考查考生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,綜合考查考生的邏輯推理能力、運算能力和分類討論的思想.試題命制的原型來源于教材,同時又兼具高等數(shù)學(xué)的背景知識,一方面引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)注重四基的落實,另一方面也為學(xué)生在大學(xué)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

    二、解法探究

    (1)解法1. [fx=6x2-2ax=2x3x-a].令[fx=0],得[x=0]或[x=a3].

    若[a=0], [fx]在[-∞,+∞]上單調(diào)遞增;

    若[a>0],則當(dāng)[x∈-∞, 0?a3,+∞]時,[fx>0];當(dāng)[0,a3]時,[fx<0],故[fx]在[-∞, 0]和[a3,+∞]上單調(diào)遞增,在[0,a3]上單調(diào)遞減;

    若[a<0],則當(dāng)[x∈-∞,a3?0,+∞]時,[fx>0];當(dāng)[a3,0]時,[fx<0],故[fx]在[-∞,a3]和[0,+∞]上單調(diào)遞增,在[a3,0]上單調(diào)遞減.

    解法2. [fx=6x2-2ax=2x3x-a],

    令[fx=2x3x-a≥0],則不等式解集為[a=0,x∈R,]或[a>0,x≤0或x≥a3,]或[a<0,x≤a3或x≥0.]

    令[fx=2x3x-a<0],則不等式解集為[a=0,x∈?,]或[a>0,0

    綜上所述,①[a=0]時,[fx]的遞增區(qū)間為[-∞,+∞];②[a>0]時,[fx]的遞增區(qū)間為[-∞,0],[a3,+∞],遞減區(qū)間為[0,a3];③[a<0]時,[fx]的遞增區(qū)間為[-∞,a3],[0,+∞],遞減區(qū)間為[a3,0].

    評注:第(1)問要求討論函數(shù)的單調(diào)性.從解法來看,解法1依據(jù)兩根的大小分類討論,是絕大多數(shù)考生習(xí)慣的作答方式;解法2從不等式解集的基本原理入手,別具一格.像這樣涉及含參函數(shù)單調(diào)性的討論,需要依據(jù)參數(shù)對導(dǎo)數(shù)正負(fù)的影響進(jìn)行分類討論,要求不重不漏,是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性的有效載體.

    (2)解法1.滿足題意的[a],[b]存在.

    (?。┊?dāng)[a≤0]時,由(1)知[fx]在[0,1]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)[x∈0,1]時,[fxmin=f0=b=-1],[fxmax=f1=2-a+b=1],解得[a=0],[b=-1].

    (ⅱ)當(dāng)[0

    若[-a327+b=-1],[b=1],則[a=23],與[0

    (ⅲ)當(dāng)[a≥3]時,由(1)知[fx]在[0,1]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)[x∈0,1]時,[fxmax=f0=b=1],

    [fxmin=f1=2-a+b=-1],解得[a=4],[b=1].

    綜上,當(dāng)[a=0],[b=-1]或[a=4],[b=1]時,[fx]在[0,1]的最小值為[-1],最大值為[1].

    解法2.滿足題意的[a,b]存在.

    因為[fx]在[0,1]的最小值為[-1],最大值為[1],所以[-1≤f0≤1],[-1≤f1≤1],即[-1≤b≤1],[-1≤2-a+b≤1],解得[0≤a≤4].

    (ⅰ)當(dāng)[3≤a≤4]時,由(1)知[fx]在[0, 1]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)[x∈0, 1]時, [fxmax=f0=b=1],

    [fxmin=f1=2-a+b=-1],解得[a=4],[b=1].

    (ⅱ)[0≤a<3]時,由(1)知[fx]在[0,1]的最小值為[fa3=-a327+b],最大值為[b]或[2-a+b].

    所以由題意知[-a327+b=-1],即[b=a327-1],而且此時[b=a327-1<0],因此[2-a+b=1],解得[a=0],[b=-1].

    綜上,當(dāng)[a=0],[b=-1]或[a=4],[b=1]時,[fx]在[0,1]的最小值為[-1],最大值為[1].

    解法3.滿足題意的[a],[b]存在.

    因為函數(shù)[fx]在[0,1]連續(xù),在[0,1]可導(dǎo),所以[fx]的最值必在區(qū)間端點或平穩(wěn)點處取得.

    (?。┊?dāng)[a≤0]或[a≥3]時,由(1)知[fx]在[0,1]沒有平穩(wěn)點,所以[fx]在[0,1]的最值必在區(qū)間端點處取得,又[f0=b],[f1=2-a+b],所以[f0-f1=2],解得[a=0]或[a=4],從而[a=0]時[b=-1],[a=4]時[b=1].

    (ⅱ)當(dāng)[0

    由于[fa3-f0=a327<2],[f1-f0=2-a<2],[fa3-f1=-a327+a-2<2],

    綜上,當(dāng)[a=0, b=-1]或[a=4, b=1]時,[fx]在[0,1]的最小值為[-1],最大值為[1].

    評注: 解法1是在第(1)問的基礎(chǔ)上依據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐段求解滿足條件的[a],[b]的值,也是解決此類問題的通法;解法2從最大值和最小值的概念入手縮小參數(shù)[a]的范圍,再依據(jù)函數(shù)[fx]在區(qū)間[0,1]上的單調(diào)性求解參數(shù)[a],[b]的值,有利于考生進(jìn)一步深入探究相關(guān)問題(見變式2);解法3從高等數(shù)學(xué)背景入手,因函數(shù)[fx]在區(qū)間[0,1]上的特征可知,其最值必在駐點或區(qū)間的端點處取得,解法簡練有高度.

    三、變式拓展

    美國著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中說道:“在我們工作結(jié)束時,當(dāng)我們得到了解答以后,我們對題目的概念要比一開始更加豐富,更加充分.由于我們期待將對于題目最初的概念進(jìn)展到一個更加充分、更加適合的概念,我們嘗試不同的立場,從不同的方面來觀察題目.”同時,問題又是數(shù)學(xué)思維的載體和驅(qū)動力.由此可見,解題后的反思與變式研究對于激活學(xué)生思維,提升學(xué)生能力都非常必要.下面從改變問題的提問方式、改變問題的知識背景、改變問題的提問角度等方面對試題展開變式研究.

    1.改變提問方式

    變式1: 若[fx]在[-1, 1]上是單調(diào)函數(shù),求[a]的值.

    解:[fx=2x3-ax2+b],則[fx=6x2-2ax=6xx-a3],令[fx=0],解得[x1=0],[x2=a3].

    (?。?[a=0]時,[fx=6x2≥0],[fx]在[R]上單調(diào),則在[-1,1]上單調(diào).

    (ⅱ)[a>0]時,[fx]在[-1,0]上單調(diào)遞增,[0,a3]上單調(diào)遞減,則[fx]在[-1,1]上不是單調(diào)函數(shù),不合題意.

    (ⅲ)[a<0]時,[fx]在[a3,0]上單調(diào)遞減,在[0,1]上單調(diào)遞增,則[fx]在[-1,1]上不是單調(diào)函數(shù),不合題意.

    綜上,[a=0].

    變式2: 若對[x∈0,1],[fx≤1]恒成立,求[f12]的取值范圍.

    解:以導(dǎo)函數(shù)[fx]的兩個零點為界點討論.

    (?。?[a=0]時,[f(x)=2x3+b]在[0,1]上單調(diào)遞增,則對[x∈0,1],[f(x)≤1]恒成立[? f(0)≤1, f(1)≤1;]

    (ⅱ)[0

    (ⅲ)[a≥3]時,[a3≥1],[f(x)]在[0,a3]上單調(diào)遞減,則在[0,1]上單調(diào)遞減,則對[x∈0,1],[f(x)≤1]恒成立[? f(0)≤1, f(1)≤1;]

    (ⅳ)[a<0]時,[f(x)]在[0,1]上單調(diào)遞增,則對[x∈0,1],[f(x)≤1]恒成立[? f(0)≤1, f(1)≤1;]

    綜上,對[x∈0,1],[f(x)≤1]恒成立[? f(0)≤1, f(1)≤1,?b≤1,b≤a-1.]

    在平面直角坐標(biāo)系[aOb]中作出不等式組[b≤1,b≤a-1]表示的可行域如圖1,

    設(shè)[f12=14-14a+b=z],則[b=14a+z-14],

    當(dāng)直線[b=14a+z-14]經(jīng)過點[A2,1]時截距

    [z-14]最大,即[z]最大,

    所以[f12max=14-14×2+1=34];

    當(dāng)直線[b=14a+z-14]向[y]軸負(fù)方向無限平移時,截距[z-14→-∞],所以[f12]的取值范圍為[-∞,34 ].

    評注:變式1、2是對試題原來的問題換一個提問方式,變換學(xué)生思維模式.原題第(1)問還可以改變?yōu)椤扒骩fx]的極值點”“若[fx]在[-1,1]上不單調(diào),求[a]的范圍”.都是考查函數(shù)[fx]的單調(diào)性,考查的基本原理都是相同的.變式2在原題的基礎(chǔ)上減少了一個條件,從而不能準(zhǔn)確求解出[a],[b]的值.但是恰好因為減少了一個條件,問題非常精彩地和線性規(guī)劃交匯在一起,這樣的變式對培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力大有裨益.

    2.改變問題背景

    變式3:已知函數(shù)[fx=ln x+ax2+2a+1x],討論[fx]的單調(diào)性.

    解:[fx]的定義域為[0,+∞],[fx=1x+2ax+2a+1=x+12ax+1x],若[a≥0],則當(dāng)[x∈0,+∞]時,[fx>0],故[fx]在[0,+∞]單調(diào)遞增;若[a<0],則[-12a>0],由[fx>0]得[0-12a],故[fx]在[0,-12a]上單調(diào)遞增,在[-12a,+∞]上單調(diào)遞減.

    變式4: 已知函數(shù)[fx=x-2ex+ax-12],討論[fx]的單調(diào)性.

    解: [fx=x-1ex+2ax-1=x-1ex+2a],

    若[a≥0],由[fx>0]得[x>1],由[fx<0]得[x<1],所以[fx]在[-∞,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞]上單調(diào)遞增.

    若[a<0],由[fx=0]得[x=1]或[x=ln-2a],

    當(dāng)[ln-2a=1],即[a=-e2]時,[fx≥0],所以函數(shù)[fx]在[-∞,+∞]單調(diào)遞增;當(dāng)[ln-2a>1],即[a<-e2]時,由[fx>0]得[x<1]或[x>ln-2a],由[fx<0]得[1

    當(dāng)[ln-2a<1],即[a>-e2]時,由[fx>0]得[x>1]或[x

    評注:借著試題第(1)問和變式1對含參函數(shù)的單調(diào)性的討論,改變試題背景,繼續(xù)對依據(jù)二次方程兩根大小分類討論的思想方法進(jìn)行深入探究.如變式3增加了[ln x]的函數(shù)背景,函數(shù)的定義域發(fā)生了改變,對學(xué)生思維的嚴(yán)密性提出了更高的要求,不僅要對兩根大小分類討論,還需要注意兩根與[0]的大小比較.變式4引入了[ex]的運算背景,函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果[f ′(x)=x-1ex+2a]為類二次型,解法與二次型是一致的.像這樣從不同的背景和知識結(jié)構(gòu)入手,改變題目背景的變式拓展,有助于學(xué)生構(gòu)建知識體系、內(nèi)化核心概念和解題方法,激活學(xué)生的思維.

    3.改變提問角度

    變式5:當(dāng)[a=1],[b=0]時,若過點[P(1, t)]存在[3]條直線與曲線[y=f(x)]相切,求[t]的取值范圍.

    解:設(shè)過點[P1, t]的直線與曲線[y=fx]相切于點[x0, y0],則[y0=2x30-x20],且切線斜率[k=6x20-2x0],所以切線方程為[y-y0=6x20-2x0x-x0],因此[t-y0=6x20-2x01-x0],整理得[4x30-7x20+2x0+t=0],

    構(gòu)造函數(shù)[gx=4x3-7x2+2x+t],則“若過點[P(1, t)]存在[3]條直線與曲線[y=f(x)]相切”等價于“[gx]有三個不同零點”,[gx=12x2-14x+2],[gx]與[gx]的關(guān)系如下表:

    [[x] [-∞,16] [16]

    [16,1] [1] [1,+∞] [gx] [+] [0] - [0] + [gx] ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ]

    所以[gx]的極大值為[g16=17108+t],極小值為[g1=t-1],要使[gx=0]有三個解,即

    [g16>0]且[g(1)<0],解得[-17108

    因此,當(dāng)過點[P(1, t)]存在[3]條直線與曲線[y=f(x)]相切時,[t]的取值范圍是[-17108,1].

    變式6:當(dāng)[b=1],[a<3]時,求證:[fx]只有一個零點.

    證法1.當(dāng)[b=1],[a<3]時,[fx=2x3-ax2+1],[fx=2x3x-a],

    (?。┊?dāng)[a=0]時,[fx=2x3+1],由[fx=0]得[x=-123],此時[fx]只有一個零點;

    (ⅱ)當(dāng)[00]得[x<0]或[x>a3],由[fx<0]得[00],[f-1=-1-a<0],由零點存在定理知,[? x0∈-1,0],使得[fx0=0].

    又[fx]在[0,a3]上單調(diào)遞減,[a3,+∞]上單調(diào)遞增,故[x∈0,+∞]時[fx>fa3=-a327+1>0].

    所以當(dāng)[0

    (ⅲ)當(dāng)[a<0]時,由[fx>0]得[x0],由[fx<0]得[a30],[fa-1=a3-4a2+5a-1<0],由零點存在定理知,[? x0∈a-1,a3],使得[fx0=0].

    又[fx]在[a3,0]上單調(diào)遞減,[0,+∞]上單調(diào)遞增,故[x∈a3,+∞]時[fx>f0=1>0].

    所以當(dāng)[a<0]時,[fx]在[-∞,+∞]只有一個零點.

    綜上,當(dāng)[b=1],[a<3]時,[fx]只有一個零點.

    證法2:當(dāng)[b=1],[a<3]時要證[fx]只有一個零點,即[2x3-ax2+1=0]只有一個解,顯然[x=0]不是方程[2x3-ax2+1=0]的解.

    當(dāng)[x≠0]時,由[2x3-ax2+1=0]得[a=2x+1x2],

    令[gx=2x+1x2],則[gx=21-1x3],[gx<0]得[x∈-∞, 0?0, 1],[gx>0]得[x∈1 ,+∞].

    故[gx]在[-∞,0]、[0,1]上單調(diào)遞減,在[1,+∞]上單調(diào)遞增,[x<0]時,[x→-∞],[gx→-∞];[x→0],[gx→+∞];[x>0]時,[gx≥g1=3],函數(shù)[gx]的圖像如圖2所示.

    所以,當(dāng)[b=1],[a<3]時,[a=2x+1x2]只有一個交點,即[fx]只有一個零點.

    評注:變式5、6一改原題的單調(diào)性和最值問題,換個角度,在導(dǎo)數(shù)知識體系下考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),不僅見了“樹木”還走進(jìn)了知識體系的“森林”深處.

    高三復(fù)習(xí)課要充分利用好高考真題,溯本探源,通過一題多解、一題多問、一題多變等來激活學(xué)生的思維,提升學(xué)生的能力,培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì),使學(xué)生會用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實世界.

    [? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

    [1]? 張乃達(dá).數(shù)學(xué)思維教育學(xué)[M].南京:江蘇教育出版社,1990:4.

    [2]? 波利亞.怎樣解題:數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂泓,馮承天,譯.上海:上海科技教育出版社,2007:5.

    [3]? 任子朝,趙軒.高考試題創(chuàng)新設(shè)計的研究與實踐[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2019(19):2-5+11.

    [4]? 教育部考試中心.高考試題分析(理科數(shù)學(xué)分冊)[M].北京:高等教育出版社,2020:1.

    (責(zé)任編輯 黃桂堅)

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