分類討論思想在幾何中的應(yīng)用

黃學(xué)芳

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，也是一種解題策略。筆者以人教版數(shù)學(xué)八年級上冊《等腰三角形中的分類討論》教學(xué)片段為例，具體談?wù)劮诸愑懻撍枷朐诮虒W(xué)中的應(yīng)用。

師：等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求三角形各內(nèi)角的度數(shù)。

生1：等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，說明一腰上的高與另一腰的夾角為25°，而這時(shí)又分為腰上的高在三角形的內(nèi)部和外部兩種情況。

生2：還有一種情況， 一腰上的高與另一邊的夾角為25°，另一邊在這里還有可能是底邊。

師：大家根據(jù)這兩位同學(xué)的建議，在草稿紙上畫圖思考。

（學(xué)生畫圖如下。）

師：遇到這種類型的題，首先要對另一邊進(jìn)行理解。這里的“另一邊”說明了條件不確定，也就是說有可能是底，也有可能是腰。

師：請看下一題。在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得△OAP為等腰三角形。你可能找到幾個(gè)點(diǎn)？你能寫出它的坐標(biāo)嗎？

（學(xué)生獨(dú)立思考，教師巡查發(fā)現(xiàn)學(xué)生找點(diǎn)思路不是很清晰，只有少數(shù)學(xué)生對怎么分類找點(diǎn)很清楚。教師點(diǎn)名提問。）

師：P點(diǎn)你能找到幾個(gè)？

生1：有8個(gè)這樣的點(diǎn)。

師：請說明你是怎樣找出來的？

生1：以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA長為半徑畫弧，這樣就與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)，這樣就找到了4個(gè)P點(diǎn)。

師：請說明你的依據(jù)。

生1：我把點(diǎn)O作為角的頂點(diǎn)，那么OA就是其中一腰，OP是另一腰，即OP=OA。

師：非常好，你的思路很清晰，請繼續(xù)。

生1：再以A點(diǎn)為圓心，AO長為半徑畫弧，與兩坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，這樣做是以點(diǎn)A為頂角的頂點(diǎn)，那么AP=AO；最后做線段OA的中垂線，交坐標(biāo)軸于另外兩點(diǎn)，這是把P點(diǎn)作為頂角的頂點(diǎn)，那么PO=PA，P點(diǎn)應(yīng)在OA的中垂線上，這樣就找出了8個(gè)點(diǎn)。

（教師帶頭鼓掌，教室里再次出現(xiàn)了熱烈的掌聲。）

師：請同學(xué)們再在圖上找一找，思考你沒有找完整的原因。

生2：我沒找完整，是因?yàn)榉诸惒粔蚯宄?，思維比較模糊，沒考慮以A為頂點(diǎn)、OA為腰的情況。

生3：我沒有考慮OA為底的情況。

最后，師生小結(jié)解分類討論問題的一般步驟。①分類的原因：條件或結(jié)論不確定。②分類的標(biāo)準(zhǔn)：對不確定的條件或結(jié)論進(jìn)行合理分類；③逐類討論：對各類問題詳細(xì)討論，逐步解決。④檢查總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納。

（作者單位：宜昌市五峰土家族自治縣漁洋關(guān)鎮(zhèn)中學(xué)）

責(zé)任編輯 孫愛蓉