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    從主動獲取走向自覺內(nèi)化

    2019-03-29 10:14葉先玖尤桂林
    湖北教育·教育教學 2019年2期
    關(guān)鍵詞:求根邊長一元二次方程

    葉先玖 尤桂林

    從小學到高中,數(shù)學教材中的數(shù)學實驗活動、素材、案例一直都有,教師也可以自己發(fā)掘和設(shè)計有趣的數(shù)學實驗,幫助學生學好數(shù)學。

    數(shù)學實驗給學生提供了動手操作的機會。在實驗中,學生會經(jīng)歷觀察猜想、情感經(jīng)歷、經(jīng)驗積累到建模驗證等過程,并在這一過程中獲取基本的數(shù)學知識,形成基本技能,積累基本數(shù)學活動經(jīng)驗,感悟基本數(shù)學思想方法。在主動獲取數(shù)學知識中,學生走向數(shù)學知識、方法、技能、經(jīng)驗、數(shù)學思想等的自覺內(nèi)化,學會思考數(shù)學,拓展數(shù)學眼光。

    本期,我們一同思考怎樣用好數(shù)學實驗來教學。

    《一元二次方程求根公式》被安排在人教版九年級上冊,教材是利用配方法推導(dǎo)出[ax2+bx+c=0(a≠0)]的求根公式的,即由得[ax2+bx+c=0(a≠0)]得[(x+b2a)2=b2-4ac4a2],從而得到[x=-b±b2-4ac2a]。教材這樣處理,意圖是讓學生通過活動理解并掌握公式,感悟配方法。筆者在多年教學中發(fā)現(xiàn),如果單純地這樣去處理,部分學生感覺抽象、枯燥,對求根公式和配方法僅停留于套公式、套步驟、套方法的層次,不能真正理解這部分內(nèi)容。于是,筆者立足教材,對這部分內(nèi)容作了如下調(diào)整。

    環(huán)節(jié)一 拼圖喚醒,回顧完全平方公式

    出示圖1:如圖1分別是邊長為[a],[b]的兩個大小一樣的長方形和邊長分別為[a],[b]的兩個正方形。

    問題1:你可以用上述四個圖形,拼圖驗證完全平方公式嗎?說說你的操作過程與方法。

    學生先用紙版拼圖,然后交流展示。在學生表述結(jié)論后,教師用計算機動畫展示拼圖過程,得到圖2。

    在學生解決好上述問題后,教師用計算機展示古代尼羅河因為河水定期漲水,土地測量人員不得不多次丈量土地,久而久之,形成了利用“出入相補”原理推導(dǎo)一元二次方程求根公式,為學生后續(xù)學習作好思維啟迪和鋪墊。

    環(huán)節(jié)二 拼圖探索x(x+b)=c的求根公式

    出示問題2:一個邊長為x的正方形與另一個以此正方形的邊為長的長方形(寬為b)的面積之和為c,求此正方形的邊長。

    學生得出方程[x]([x]+[b])=[c]后,追問:你能構(gòu)圖直觀表示出這個方程代表的意思嗎?

    如圖3,將長方形分割為兩個相等的小長方形,把其中一個小長方形放到正方形的底端,然后在右下角補上一個邊長為[b2]的小正方形,可得到一個邊長為[x]+[b2]的大正方形,如圖4,其面積為[(x+b2)2=c+b24],由此求出[x]=[c+(b2)2±b2]。

    把圖3變形為圖4的方式,可以得到[(x+b2)2=c+b24],從而得到[x]=[c+(b2)2±b2]。(因為面積為邊長都為正數(shù),所以開平方時負值舍去)。

    問題3:若把上述問題看作一個代數(shù)問題,應(yīng)當怎樣表示,從這個實驗過程中你會得到什么結(jié)論?

    結(jié)論:方程[x]([x+b])=[c],即[x2+bx=c]解為[x]=[±c+(b2)2][±][b2]。

    問題4:你會拼圖求解[x2+bx=c]嗎?它與問題3是否相同?學生容易得到[x2+bx=c]即為[x]([x+b])=[c]。

    環(huán)節(jié)三 借圖推理[ax2+bx=c(a≠0)]的求根公式

    問題5:你會在問題2和問題4的基礎(chǔ)上,直接說出[ax2+bx=c(a≠0)]的解嗎?

    在學生充分思考交流的基礎(chǔ)上,教師和學生一起把問題5轉(zhuǎn)化到問題2即問題4并推導(dǎo):若將等式兩邊同除以[a],得[x2+bax=ca],這就得到了形如[ax2+bx=c(a≠0)]的方程,即變形為[x]([x+b])=[c]的形式了。同樣可利用上面的公式求解,即把原公式中的b換成[ba],c換成[ca],則得的解為[x]=[±ca+(b2a)2]-[b2a]。

    環(huán)節(jié)四 從拼圖實驗感悟配方法推導(dǎo)求根公式

    問題6:相信你會在上述基礎(chǔ)上求[ax2+bx+c=0(a≠0)]的解了吧,說說你的思路。

    把[ax2+bx+c=0(a≠0)]與[ax2+bx=c(a≠0)]進行比較,先把[ax2+bx=c(a≠0)]寫成[ax2+bx+c=0(a≠0)]的形式,不難發(fā)現(xiàn),求一元二次方程[ax2+bx+c=0(a≠0)]的根,只需把[ax2+bx+c=0(a≠0)]中的c替換成[-c],相應(yīng)地把求根公式中的[c]也替換成[-c],即得到[x]=[±-ca+(b2a)2]-[b2a],化簡得[x]=[±][-b±b2-4ac2a]。

    環(huán)節(jié)五 配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式

    問題7:從問題5的推導(dǎo)過程,結(jié)合完全平方公式,你會從代數(shù)角度,進行一元二次方程[ax2+bx+c=0(a≠0)]的求根公式嗎?學生自行推導(dǎo),教師歸納配方法的步驟和注意要點。

    環(huán)節(jié)六 反思與提升

    問題8:從代數(shù)推理角度,你還有其他思路嗎?

    結(jié)論:利用等式基本性質(zhì),可以對方程兩邊同時乘以4[a],得[4a2x2+4abx+4ac=0],兩邊加上[b2],得[4a2x2+4abx+4ac+b2=b2],從而有[(2ax+b)2=b2-4ac],整理得[x]=[±-b±b2-4ac2a]

    問題9:一元二次方程[ax2+bx+c=0(a≠0)]是否一定有實數(shù)根?或者說,以上述推導(dǎo)過程,有沒有失誤?如果有,請指出并說明理由。(過程和答案略)

    教學反思

    “教什么?”本課數(shù)學實驗,著眼于數(shù)學思考,從激發(fā)學生學習興趣入手,浸潤獲取知識與技能的方式,積累發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的經(jīng)驗。從以上實驗教學環(huán)節(jié)可以看出,實驗教學側(cè)重于一元二次方程求根公式的來由、過程和其蘊含的數(shù)學結(jié)合、轉(zhuǎn)化、配方、“出入相補”等基本的數(shù)學思想和方法,并在實驗中經(jīng)歷情感體驗、人文價值和數(shù)學思考。

    “怎么教?”走進數(shù)學發(fā)展歷史,觸摸學生思維心理活動,精心設(shè)計實驗步驟,制作必要的演示課件,漸次呈現(xiàn),展示思路。在選題之后,需要精心設(shè)計問題,優(yōu)化講評方式,利用計算機動畫漸次呈現(xiàn)的方式,把一元二次方程求根公式推導(dǎo)及配方法的思路富有啟發(fā)式地展示出來,讓學生在講評過程中懂得觀察系數(shù)的特點,感悟思路貫通的方式。

    “教給誰?”認真研判所教學生的學情水平、未來發(fā)展可能。教學經(jīng)典問題最重要的就是學情研判,針對所教學生開展教學是教學預(yù)設(shè)最需要重視的。因為如果學生對完全平方公式還不能很好地掌握,或?qū)W生內(nèi)心根本就覺得單純的代數(shù)運算沒有幾何拼圖那樣直觀有趣,那么他們會因為抽象或枯燥而覺無趣,他們還會主動獲?。窟€會覺得非常重要?如此,配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式,也將會是一個難以實現(xiàn)的教學目標。

    (作者單位:葉先玖,宜昌市秭歸縣歸州鎮(zhèn)初級中學;尤桂林,宜昌市秭歸縣水田壩鄉(xiāng)初級中學)

    責任編輯 陳建軍

    責任校對 張 敏

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